WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 7 01;09 Электромагнитные волны в круглом стержне при произвольном направлении внешнего магнитного поля либо оси анизотропии © Ю.Ф. Филиппов Институт радиофизики и электроники АН Украины, 310085 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 10 января 1996 г.) Развита строгая теория распространения электромагнитных волн в круглых анизотропных и полупроводниковых стержнях при произвольном направлении оси анизотропии либо внешнего магнитного поля. Обнаружены новые типы независимых волн. Для них получены точные дисперсионные уравнения, определяющие зависимость спектральных характеристик их от параметров полупроводника, анизотропного кристалла, величины и направления постоянного внешнего магнитного поля. Приведены результаты численных исследований для стержней, изготовленных из полупроводника либо одноосного кристалла.

Исследование спектральных характеристик электро- а в полупроводнике, помещенным во внешнее магнитное магнитных волн, распространяющихся в анизотропных поле, имеем и полупроводниковых стержнях, проводилось лишь для 11 = 22 = L 1 - 2 /, случаев, когда направление внешнего магнитного поля p H0 либо оси анизотропии были параллельны их геометрической оси. Весьма актуально установление связи 13 = 31 = 23 = 32 = 0, между компонентами тензора диэлектрической прони12 = -21 = iL 2 H()-1, цаемости и спектральными характеристиками волн при p произвольном их направлении.

33 = L 1 - 2 ( + i)-1/, (2) p Теория 2 где =( +i)2 -H; L — постоянная решетки;

Рассмотрим круглый однородный стержень, ограниP, H и — плазменная, циклотронная частоты ченный при r = r0 вакуумом и изготовленный из матеи эффективная частота столкновений частиц сорта ;

риала, электрические параметры которого описываются суммирование проводится по всем частицам.

компонентами тензора диэлектрической проницаемости Решение системы уравнений Максвелла (k = /c) следующего вида rotE = ikH, divH = 0, a11 a12 aa = a22 a23. (1) rotH = -ikE, divE = 0 (3) a31 a32 aдля крутого стержная удобнее искать в цилиндрической системе координат (t,, z), в которой тензор принима Здесь ет вид = a11 = 11C2 + 33S2 +(13 + 31)SC, a22 = 22, + + -C2 + +S2 --S2 + +C2 - - a13C1 + a23Sa12 = 12C + 32S, a21 = 21C + 23S,, --S2 + +C2 + - + - -C2 + +S2 a23C1 - a13S a13 =(33 - 11)SC + 13C2 - 31S2, a31C1 + a32S1 a32C1 - a31S1 aa31 =(33 - 11)SC + 31C2 - 13S2, (4) где a23 = 23C - 21S, a32 = 32C - 12S, 2± = a11 ± a22, 2± = a12 ± a21, a33 = 11S2 + 33C2 - (13 + 31)SC, Sm = sin(m), Cm = cos(m).

S = sin, C = cos, — угол наклона внешнего магЗависимость компонент этого тензора от азимутальнонитного поля либо оси анизотропии 33 к геометрической го угла существенно затрудняет исследование. Однако оси стержня в плоскости 1–3, i j — компоненты тензора и в этом случае точное решение может быть получено.

диэлектрической проницаемости при =0.

Для монохроматических волн, зависяших от времени и В частности, в одноосном кристалле (кварц, рубин, аксиальной координаты в виде лейкосапфир) последние равны 11 = 22 = 33, 12 = 21 = 13 = 31 = 23 = 32 = 0, (z, t) =exp i(kzz - t), (5) Электромагнитные волны в круглом стержне при произвольном направлении внешнего... исследование системы (3) приводится к нахождению Влияние операторов b± и ± на волновые функции решений связанных дифференциальных уравнений для n(ri) приводит к изменению лишь азимутальных инаксиальных компонент полей вида дексов.

Подставляя (4) в (3), учитывая (5), приравнивая LHHz = -k+Ez, коэффициенты при n(ri), получаем систему алгебраических уравнений относительно An и Bn LEEz = -k3-Hz, (6) (L - 2V)An + 2k2(P+An-2 + P-An+2) где LH = L + V + k2(P++ + P--), = k S+Bn+1 + S-Bn-1 - ikz 2 LE = k2T +(L+kzV) - k2kz (P++ + P--) Bn-2P+ - Bn+2P- - -Bn, + ikzk2 (S+ + G+)b+ +(S- +G-)b-, — поперечный оператор Лапласа. 2 k2T - 2(L + kzV ) Bn - 2k2kz P+Bn-2 + P-Bn+ ± = S+b+ - S-b- + ikz P++ - P-- ± -, - ikzk2 (S+ + G+)Bn-1 - (S- + G-)Bn+V = +k2 - kz, 2P± = - +, = k2 G+An-1 + G-An+1 - ikz T = a33L - k2 (a31213 + a32123)k P+An-2 - P-An+2 + -An. (9) - (a13a31 + a23a32)kz, Для класса решений 2S± =(213 i123)k2 - (a13 ia23)kz, 2G± =(231 i132)k2 - (a31 ia32)kz, An-1 = An+1, Bn-1 = Bn+1 (10) 2 ike = aiiake - aieaki, L = L11L22 +(- -+)k4.

эта бесконечная система при = ±1 разбивается на независимые блоки вида Влияние на характеристики распространяющихся волн азимутальной неоднородности, возникающей в компо+ + HAn = 1 Bn+1 + 2 Bn, нентах тензора при переходе в цилиндрическую си стему координат, описывается операторами - - + EBn + ikkz(1 + 1 )Bn+1 = k2(1 An+1 - 2 An), + + i HAn+1 = 1 Bn + 2 Bn+1, b± = e±i ±, r r - - + EBn+1+ikkz(1 +1 )Bn = k2(1 An-2 An+1), (11) 2 i где ± = e±2i - 1 i ±.

r r r H = L - 2-, E = k2T - 2(L + kz +), Решение (3) ищем в виде ± = V ± -k2, ± = - ± +, Hz = Ann(ri)(zit), + ± 1 = k(S- ± S+), 2 = ikkz2±, n ± 1 = k(G- ± G+).

Ez = Bnn(ri)(zit). (7) Нетривиальное решение (11) существует при n Здесь An и Bn — постоянные, n(zi) = Jn(r)ein, + - + + HE + k2(2 2 - 1 1 ) и kz — радиальная и аксиальная компоненты волнового вектора, n — азимутальное число. Используя рекур+ + - + - = k2 k1 2 - 2 2 + ikz(1 + 1 )H 2. (12) рентные соотношения между функциями Бесселя Jn(x) и их прооизводными (штрих здесь и ниже обозначает Это уравнение определяет радиальные компоненты производную по аргументу) волнового вектора. Из (11) замечаем, что в стержне возникает связь между парциальными колебаниями, хаxJn(x) =nJn(x) - xJn-1(x) =-nJn(x) +xJn+1(x) рактеризующимися смежными значениями азимутальных индексов n и n + 1. Ниже мы будем говорить, можно показать, что что неаксиальность оси анизотропии либо внешнего магнитного поля приводит к взаимодействию этих коb±n(ri) =n±1(ri), лебаний. В структуре при этом возникают независимые ±n(ri) =2n±2(ri). (8) волны, называемые нами симметричными при = 1 и Журнал технической физики, 1997, том 67, № 88 Ю.Ф. Филиппов асимметричными при = -1. Радиальные компоненты где волнового вектора этих волн определяются решенияF0 = R12 -2 T12, R12+1G12 + 1 R12, G12-1Rми уравнения (12). На поверхности стержня должны быть непрерывны тангенциальные компоненты волновых 2 2 2 +22 R11, R22 +(1+2) T12 +(1+2) Gполей. Для того чтобы удовлетворить им, необходимо рассматривать по два решения его. Решения системы (5), 2 2 2 - R21, 1(1 +2)G12 - R21, 1(1 +2)Gконечные на оси стержня и удовлетворяющие условию 2 2 2 2 2 Зомерфельда на бесконечности, могут быть представле- 1(1 + 2)T12 +(1 +2)(1 + 2) R21, ны в виде разложений F1 = 2 1 R22, S11 + S12, T12 - 1R21 + 1 T12P AnjJn(jr) r r0, 2 Hz =(z, t) ein j ( +(1 +2) R21, P12 - R22, PG Hn1)(0r) r r0, n n + 2 R12, 1S21 - P21 + R11, P22 - 1S BnjJn(jr) r r0, 2 Fz =(z, t) ein j ( (13) + 1 T12, P21 -(1 +2) T12, S21, R Hn1)(0r) r r0, n n 2 F2 = S12 -1 1 S11, S22 +(1 +2) P21, Sj здесь определются решениями (12), а индекс j при2 нимает значения 1 и 2, 0 = k2 - kz.

- P11, S22 + 1 P22, S11 - P12, SИспользуя (8) и (10), легко показать, что азимуталь2 ные компоненты E и H определяются следующими + 22 T12, K12 + S12, S21 +(1 +2) выражениями:

2 2 2 (1 + 2) S21 +(1 +2) PE =(z, t) ein + P21 + P11, P12, n 2 an Anj -bn Bn+1j -ihn Bnj /L, Hj Ej Ej F3 = - K12, 2S12 + 2(1 + 2)S21 ;

j 2 k0GnHni) (0r) -inkzRnHn (0r) /0, ( (i) F4 =(1 +2) K12, + Li j = LnjLnj, Li jGkm = LnjGn+1 + Ln+1Gn, i i i km i j km H =(z, t) ein n n n n n n n n n Rnj = ZHiZEj -VHiVEj, T12 = ZH1VH2 - ZH2VH1, n i n n n an Bnj +ign Bn+1j +ihn Ahj /L, Pinj = ZEibn +VEign, K12 = bn gn - bn gn, Ej Ej Hj Ej Ej E1 E2 E2 E ( (i) n n n n n n n k0RnHni) (0r) +inkzGnHn (0r) /0, Si j = ZHign +VHibn, Gn = ZE1VE2 - ZE2VE1, Ej Ej (14) n 2 ( ( Zqi = 0an - knLJni, n = 0r0Hn1) (0r0)/Hn1))(0r0), qi где n 2 2 2 - an =k -jJnj -ink2-Jnj/r, Hj Vqi = 0hn - nkzLJni/r0, 0 = E + k2kz (1 + 1 ), qi bn =k2 S-Jn+1j -S+Jn-1j, + + Ej 1 = 2 /H =2, 2 = -1 /H =2, hn =kz n+Jnj/r -i+k2jJnj, Ej - + - 1 = k2(E2 - ikkz1 )(1 + 1 )/0 =1, an = k (a11a22 - +)k2 - (+ - -)kz Jnj Ej + - - 2 = E1 - ikkz2 (1 + 1 ) k2/0 =1.

Решения (12) и (15) определяют зависимость спек-inkz +Jnj/r, тральных характеристик от параметров задачи независиgn =kkz S-Jn+1 j + S+Jn-1 j, мых симметричных и асимметричных волн в круглом одEj нородном стержне. Последний изготовлен из материала, hn =kz n-Jnj/r -ik2-jJnj.

Hj электрические характеристики которого определяются Выражения, полученные после подстановки (13), (14) компонентами тензора (1). Интересной особенностью в указанные выше граничные условия и соотношения является то, что эти волны образуются в результате (11), образуют полную систему алгебраических ураввзаимодействия парциальных колебаний со смежными нений относительно An+1 j, Anj, Bn+1j и Bnj. Условие азимутальными индексами.

существования нетривиальных ее решений приводит к Полученные выше результаты могут быть обобшены дисперсионному уравнению на случай, когда характеристики материала, из которого изготовлен стержень, определяются также и компонен2m тами тензора магнитной проницаемости (феррит, ферро0 Fm = 0, (15) магнитный полупроводник).

m=Журнал технической физики, 1997, том 67, № Электромагнитные волны в круглом стержне при произвольном направлении внешнего... В общем случае дисперсионное уравнение может быть исследовано только численно. Ниже мы приведем полученные результаты при распространении волн в стержне, изготовленным из одноосного кристалла при произвольном направлении оси анизотропии, а также для аксиально-однородных колебаний магнитоплазмонов при произвольном направлении внешнего магнитного поля.

Анизотропный стержень На рис. 1 приведены результаты численного исследования зависимости замедления = kz/k от угла наклона Рис. 2. Зависимость замедления симметричных волн от оси анизотропии при n = 5, kr0 = 2.5. Стерпараметра kr0. n = 5; =0 (а), 0.3/2 (б), 0.35/2 (в).

жень изготовлен из одноосного кристалла лейкосапфира (11 = 22 = 9.4; 33 = 11.51). Из рисунка видно, что при, не равном нулю либо 90, в структуре распространяются с различными фазовыми скоростями две асимметричные волны Va. Они возникают в результате взаимодействия двух парциальных мод E поляризаций со смежными азимутальными индексами. Действительно, при = -1 система (11) разбивается на независимые блоки вида (L22 - 2)An = 0, Bn = -2ia13kzBn+1, Bn+1 = 2ia13kzBn, (16) где = 1133k2 - a33kz - a112.

Рис. 3. Зависимость замедления симметричных волн от угла Из (16) замечаем, что в стержне возникают парцинаклона. n = 5; Kr0 = 2.2 (а), 2.3 (б), 2.5 (в).

альные колебания: одна H(Ez = 0) и две E(Hz = 0).

Радиальные компоненты их соответственно равны ± 1 = L22, a112 =[1133L22]1/2 ± a13kz. (17) этом возникают волноводные моды при kz > k и волны тип ”шепчущей галереи” при kz < k. Влияние кривизны Как отмечалось выше, перепутывание H- и E-колебаповерхности стержня приводит к частичному излучению ний возникает на поверхности стержня. В структуре при последних в вакуум. При увеличении азимутального индекса оно уменьшается.

Для симметричных волн ( = 1) система (11) разбивается на независимые блоки вида (L11 - 2)An = ka13Bn+1, (18) L22(1133k2 - a33kz ) - 11L112 Bn+1 = ka13An.

Неаксиальность анизотропии в этом случае приводит к взаимодействию парциальных колебаний E- и H-поляризаций со смежными азимутальными индексами. Возникают симметричные волны, радиальные компоненты волнового вектора которых равны 1 = L22, 2 =[1133k2 - a33kz ]1/2/ 11. (19) 2 При 1 и 2 положительных это волноводные моды и волны ”шепчущей галереи”. Из рис. 1 видно, что для них возникают зона непропускания по углу наклона, неоднозначность фазовой скорости при малых kr0. Это связано с появлением низкочастотных волноводных мод при отклонении оси анизотропии от направления геометрической оси. Зависимость замедления от безразмерРис. 1. Зависимость замедления от угла наклона оси ного параметра kr0 при углах наклона, равных нулю, анизотропии при n = 5, kr0 = 2.5.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 90 Ю.Ф. Филиппов 0.3/2, 0.35/2, приведена на рис. 2, аи от угла наклона при kr0, равных 2.2, 2.3 и 2.5, — на рис. 3. В аксиальноанизотропном стержне ( = 0) волноводные моды Vs существуют только при >кр (рис. 2, а). Критическая частота их кр определяется из уравнения (xk = kr0/c) (1) ( Hn (xk)Jn( 11xk) =Hn1) (xk)Jn( 11xk). (20) Уже при малом отклонении оси анизотропии от теометрической возникают низкочастотные ветви V1 и V(рис. 2, б), спектральные параметры которых при малых kr0 определяются решениями уравнений L3 =(k tg )2 (11k2 tg )2 + L22(L22 + 2), (21) где 2 определена в (19).

Эти волны существуют и на частотах ниже критической, слабо зависят от радиуса стержня. Увеличение угла наклона приводит к росту фазовой скорости у Vи V2, к уменьшению ее у Vs. Область существования у последних сдвигается в сторону низких частот, а фазовая скорость низкочастотных существенно зависит от угла Рис. 4. Зависимость резонансной частоты /p поверхностнаклона. Все это и приводит к появлению указанных ных колебаний от циклотронной частоты H/p при n = 60, выше особенностей в поведении дисперсионных кривых.

=/4, = 20.

Симметричные и асиметричные колебания типа ”шепчущей галереи” экспериментально наблюдались авторами работы [1] в дисковом резонаторе, изготовленным из лейкосапфира с осью анизотропии, лежащей в плоскости распространении волн под углом к последнему возпоперечного сечения стержня ( = 90). никают эффекты, позволяющие создавать устройства с 2 При 1 и 2 отрицательных в структуре при, не новыми функциональными свойствами. Характеристики равных нулю и 90, возникает симметричная поверхност- волн, распространяющихся в круглом полупроводниконая волна Ps. Амплитуда ее экспоненциально спадает по вом стержне, изучены лишь при помещении его в аксиобе стороны от поверхности. Увеличение азимутального альное магнитное поле. Возникает необходимость обобиндекса приводит к уменьшению 2 и исчезновению этой щения полученных результатов на случай произвольного волны. На плоской границе раздела эта волна отсутству- направления внешнего магнитного поля.

ет. Поверхностные волны на последней наблюдаются в Для аксиально-однородных колебаний (kz = 0) систеоптическом диапазоне вблизи полос поглощения [2].

ма (11) разбивается на независимые блоки вида Диэлектрические стержни, применяемые в световодах и в квантовых генераторах, изготавливаются в основном 11af k2 - (+ - -)2 An = k(+ - -)Bn+1, из одноосных кристаллов. Деформации, возникающие в них как в процессе образования текстуры образца, так 11 33f k2 - af 2 Bn+1 = k(+ - -)An, (22) и под влиянием механических напряжений, существенно влияют на работу этих устройств. Они приводят также где к изменению значений компонент тензора диэлектриf = 11 + 12/11, af = fC2 + 33S2, ческой проницаемости, к появлению недиагональных компонент его. Одновременное проведение измерений 2± = -S i3312 L(33 - 11)C.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.