WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 8 01;07 Обобщенный вывод уравнений для четырехволнового взаимодействия в фоторефрактивных средах © В.Ю. Петрунькин,1 И.В. Мурашко,1 Е.В. Мокрушина2 1 Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия 2 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия e-mail: evmo@mail.ioffe.ru (Поступило в Редакцию 28 декабря 2005 г.) Формирование световых волн в фоторефрактивной среде из оптического шума (фенинга) рассмотрено нетрадиционным способом, с применением леммы Лоренца и процедуры усреднения по ансамблю. Приведен подробный вывод уравнений, описывающих четырехволновое взаимодействие по схеме двойного некогерентного обращающего зеркала. На основании полученной системы проведены компьютерные расчеты, что позволило численно исследовать влияние уровня шумов на пороговые условия генерации, а также обнаружить эффект „верхнего порога“ для сильношумящих материалов без насыщения.

PACS: 03.65.Ge Введение Так как исходные волны взаимно некогерентны, взаимодействие их с фоторефрактивной средой можно Динамика записи и стирания решеток показателя рассматривать независимо. Предположим, что их волнопреломления, связанных с четырехволновым взаимодейвые фронты имеют сложную структуру, а направления ствием световых пучков в фоторефрактивных материраспространения характеризуются усредненными волноалах, является одним из самых сложных вопросов в выми векторами k1 и k2. Представим в среде поле волны, теории фоторефрактивного кристалла (ФРК). Известны разные подходы к решению этой проблемы: в частности, динамика обращения волнового фронта в схемах двойного обращающего зеркала (DPCM) и полулинейного генератора рассматривалась в работах [1–4].

В статьях [3–4] для описания динамики процесса использовалась система усредненных по ансамблю уравнений, связывающих средние амплитуды световых пучков с корреляционными параметрами, отражающими степень согласования вариаций показателя преломления среды со световыми полями.

В настоящей работе приводится подробный вывод этих уравнений для случая DPCM-геометрии, а также некоторых вариантов численного решения системы, позволяющие получить зависимости амплитуды обращенной волны от времени при разных условиях.

Постановка задачи Общая схема двойного обращающего зеркала приведена на рис. 1, a. На фоторефрактивную среду, обладающую голографическим усилением, слева и справа падают две волны E1 и E2, не когерентные между собой. В результате взаимодействия этих волн со средой из голографического шума (фенинга) формируются две волны, фазово-сопряженные исходным, т. е. из усиленных беспорядочных вариаций показателя преломления Рис. 1. a — схема двойного обращающего зеркала с комповыделяется и усиливается особая решетка. Дифрагируя нентами исходных волн; b — поверхность S и объем V, по копо ней, световое поле E1 образует волну, фазового торым производится интегрирование полей волны, падающей сопряженную E2, и наоборот.

слева.

86 В.Ю. Петрунькин, И.В. Мурашко, Е.В. Мокрушина падающей слева, как сумму трех компонент (рис. 1): В результате взаимодействия света с фоторефрактивной средой в ней возникает решетка показателя E1 = E1s + E1c + E1 f, (1) преломления, которую можно рассматривать как возмущение диэлектрической проницаемости. В общем где E1s — прямая волна, имеющая структуру волны, случае решетка имеет сложную форму, но, учитывая падающей на кристалл слева; E1c — обращенная волна, узконаправленное усиление среды, мы можем записать фазово-сопряженная по отношению к волне, падающей ее в виде на кристалл справа. Через E1 f обозначено рассеянное = m(r, t)ei(r) + m(r, t)e-i(r), (10) световое поле, вызванное случайными неоднородностями показателя преломления. где m — комплексная амплитуда решетки, а волновой Запишем компоненты волны E1 в следующем виде: вектор удовлетворяет соотношению E1s = A1s(z, t)e1(r)e-i(k r), k1 + k2 + = 0. (11) E1c = A1c(z, t)e(r)ei(k r); (2) 1. Вывод основных уравнений E1 f = A1 f (z, t)e1 f (r, t)ei(k r), (3) Система, полученная в этом разделе, состоит из двух где e1(r) — пространственное распределение поля частей: одни уравнения выводятся из общих законов невозмущенной волны, падающей слева; e2(r) — проэлектродинамики, другие — из соотношений, описываюстранственное распределение поля невозмущенной волщих взаимодействие света с фоторефрактивной средой.

ны, падающей справа; e1 f (r, t) — пространственноПредполагается, что исходное распределение показателя временное распределение случайно рассеянного поля;

преломления в среде является случайной функцией, величины A1s,1c,1 f — медленно меняющиеся амплитуды поэтому в уравнения входят усредненные по ансамблю соответствующих световых полей.

значения шумовых составляющих.

Соотношения, описывающие компоненты поля E2, 1. 1. Уравнения, полученные на основе лемможно записать по аналогии мы Лоренца E2 = E2s + E2c + E2 f ; (4) Лемма Лоренца, слудующая непосредственно из уравнений Максвелла, связывает в некотором объеме V комE2s = A2s(z, t)e2(r)ei(k r), плексные амплитуды двух независимых гармонических полей одной частоты. Вообще говоря, лемма Лоренца E2c = A2c(z, t)e(r)ei(k r); (5) справедлива для стационарных гармонических полей, а в нашем случае амплитуды полей медленно меняются E2 f = A2 f (z, t)e2 f (r, t)ei(k r). (6) во времени. Но так как характерное время изменения Равенства (3) и (6) предполагают, что волна E1 в среде амплитуд (медленное время) на много порядков больше в основном рассеивается в направлении, противоположпериода колебаний, мы можем рассматривать его как ном волновому вектору k2, а E2 — в направлении, протипараметр (т. е. считать поля квазистационарными).

воположном вектору k1. В действительности максимум Лемма Лоренца дает (см., например, [6]):

рассеянной волны должен лежать в области максималь ного усиления, а работа схемы наиболее эффективна (jE) - (jE) dv = ds [HE]n - [HE]n.

при совпадении направлений максимального усиления c V S с векторами -k1 и -k2. Однако следует отметить, что (12) выражения (3) и (6) верны только для сред с узконаправЗдесь E, и H, — соответственно электрические ленным усилением, таких как, например, кристаллы со и магнитные компоненты полей и, j, — токи структурой силленита во внешнем переменном поле [5].

в объеме V, соответственно являющиеся источниками Введем условия нормировки для функций распределеполей и, S — поверхность, ограничивающая этот ния e1(r), e2(r) и e1 f,2 f (r):

объем, n — нормаль к этой поверхности. В качестве токов, возбуждающих поля E1 и E2, введем величины, (e1e)ds = 1, (e2e)ds = 1; (7) 1 эквивалентные возмущению диэлектрической проницаеS S мости, вызванному фоторефрактивной решеткой (e1 f ef )ds = 1, (e2 f ef )ds = 1; (8) j1 = iE1, (13) 1 S S для полей волны, падающей слева, и e1 f = 0, e2 f = 0, (9) где S — любое поперечное сечение среды, а обознача- j2 = iE2, (14) ет усреднение по ансамблю реализаций, образованному случайными распределениями вариаций показателя пре- для полей волны, падающей справа. Будем считать, ломления. что все волны являются квазиплоскими, так что их Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Обобщенный вывод уравнений для четырехволнового взаимодействия... электрические и магнитные компоненты удовлетворяют Подставив (17) и (18) в (12) и продифференцировав соотношению по z, получим одно из искомых уравнений k H = E. (15) µ k A1c i µ = - A1sM. (19) z 2c cos Подставив вместо E в (12) E1 или E2 в виде разложений (1)-(6), можно последовательно получить уравнеЧтобы найти уравнение для A1s, примем E = eei(k r).

ния для всех шести медленно меняющихся амплитуд.

Действуя аналогично (16)-(19), в этом случае можно Для нахождения полей волны E1 в качестве объема получить интегрирования будем использовать область, лежащую слева от поперечного сечения S (рис. 1, b). Поверхность A1s i µ интегрирования кроме плоскости S включает некоторую = - A1cM + A1 f Mf, (20) z 2c cos замыкающую поверхность слева от S, лежащую вне области пересечения световых волн, так что поверхностгде ный интеграл сводится к интегралу по S. В качестве M1 f = m(ef e1)ds.

вспомогательного поля, не имеющего возбуждающих S токов внутри объема интегрирования, будем использовать поля единичной амплитуды, фазово-сопряженные Заметим, что усредненный по ансамблю интеграл M1 f искомым. Например, для нахождения амплитуды A1c заведомо не равен нулю, так как амплитуда решетпримем E = e2e-(k r), j = 0. Тогда, с учетом (15), ки m должна содержать компоненты, коррелирующие подынтегральное выражение в правой части (12) записо всеми (в том числе и шумовыми) составляющими шется в виде полей E1 и E2.

Для получения третьего уравнения следует исполь kзовать поле, фазово-сопряженное фенингу. Сложность [H1e2] - [h2E1]n e-i(k r) = A1s e1 eµ k1 n состоит в том, что вспомогательное поле не должно иметь источников внутри объема интегрирования, а k+ e2 e1 e-i(k +k1)r фенинг возникает в среде именно благодаря внутренним k2 n источникам — шумовым решеткам, представленным нами в виде эквивалентных токов; следовательно, поле, k2 k+ A1c e e2 + e2 e сопряженное фенингу, также должно иметь источники µ k2 2 k2 внутри среды. Поэтому в качестве вспомогательного k1 k2 поля мы выберем волну, фазово-сопряженную фенин+ A1 f e1 e2 + e2 e1 f. (16) гу только в области, лежащей вне объема интегриµ k1 f kрования (правее плоскости S). Не имея источников Первое слагаемое в правой части (16) не дает вклада внутри объема V, такая волна свободно распространяв интеграл из-за быстрых осцилляций по оси x. Третье ется в направлении k2, но на поверхности S имеет слагаемое превратится в нуль при усреднении по ансам- распределение, фазово-сопряженное рассеянному полю:

блю вследствие принятных условий нормировки (9). Так E(z, z ) =ef (z )e-i(k r).

что в этом случае интеграл по S сведется к Проведя вычисления, полностью аналогичные предыдущим, получим, что поверхностный интеграл в этом -2 cos 2 A1c(e2e)ds = -2 cos 2A1c. (17) случае равен -2 cos 2A1 f.

µ µ µ S Однако при таком выборе вспомогательного поля его распределение внутри объема интегрирования зависит Для вычисления объемного интеграла используем выот положения плоскости S, т. е. от координаты z. Произражение для эквивалентных токов (13). Учитывая раводная объемного интеграла в этом случае будет равна венство (11), исключим из подынтегрального выражения все осциллирующие члены и в результате получим z A1sdz m(e1ef )ds z i i 0 S z = A1s m(e1ef )ds 4 i i c z c dz ds (E1e2)e-i(k r) = A1s dz, c 4 c S 0 S z (18) (mef ) i где + A1sdz e1 1 ds. (21) c dz M = m(e1e2)ds.

0 S S Покажем, что вторым слагаемым в (21) можно преВвыражении (18) z обозначает координату плоскости S, небречь. Действительно, мы можем принять без ограниа z — текущую координату. чения общности, что величина (e1 f ef ) слабо зависит Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 88 В.Ю. Петрунькин, И.В. Мурашко, Е.В. Мокрушина от z, т. е. ее производная близка к нулю; отсюда В этих случаях уравнение для амплитуды периодического поля Esc, связанного с решеткой пространственноe1 f го заряда, может быть представлено в виде [5,7]:

ef 0, (22) z Esc |Ee| e = -imEe + Esc 1 +. (25) e1 f t Eq что эквивалентно слабой корреляции между e1 f и.

z Так как „шумовая“ часть амплитуды решетки m опреЗдесь e — эффективное время, зависящее от параделяется функцией e1 f из этого также следует слабая e1 f метров среды и условий записи, в простейшем случае корреляция между величинами m и, т. е. близость к z равное времени релаксации фотопроводимости; m — (mef ) нулю производной.

глубина модуляции записывающей интерференционной z Отбросив второе слагаемое в правой части (21), картины; Ee — эффективное поле, которое определяется получим уравнение, аналогичное предыдущим диффузионным полем ED и внешним приложенным полем E0; Eq — значение так называемого предельного A1 f i µ поля уровня, пропорциональное концентрации компен= - A1sM1 f. (23) z 2x cos сированных (свободных) донорных центров в материале.

Из (25) следует уравнение для амплитуды решетки Действуя таким же образом, можно получить уравнедиэлектрической проницаемости, вызванной полем Esc ния для компонент волны E2. В этом случае в качестве (считаем, что свойства материала позволяют записать объема интегрирования берем область, лежащую справа это уравнение в скалярном виде, что справедливо для от плоскости S, и используем выражение (14) для экбольшинства практических случаев):

вивалентных токов. Вследствие зеркальной симметричности задачи полученные уравнения будут полностью m |Ee| e = im n + m 1 +. (26) аналогичны (19), (20) и (23), за исключением знака t Eq производной по z :

Здесь — длина волны света, n — средний показатель A2s i µ преломления среды, = n3rEe — коэффициент нели = A2cM + A2 f Mf ;

z 2c cos 2 нейной связи, r — электрооптический коэффициент.

На основании (26) можно получить соотношения A2c i µ для величин M, M1 f и M2 f. В нашем случае глубина = A2sM;

модуляции интерференционной картины может быть z 2c cos представлена как A2 f i µ = A2sM2 f, (24) (A1sA1c +A2sA2c(e1e2)+A1sA1 f (e1ef )+A2sA2 f (e2ef ) z 2c cos 1 m=, Iгде (27) M2 f = m(ef e2)ds.

2 где I0 — суммарная интенсивность всех световых волн в среде. Подставив (27) в (26), домножим обе части S получившегося уравнения на ee, проинтегрируем его 1 Используя лемму Лоренца, мы получили систему по S и усредним по ансамблю. При этом исчезнут из шести уравнений, включающих шесть компонент члены, содержащие шумовые составляющие световых исходных волн, и три новые неизвестные M, M1 f и M2 f.

полей e1,2 f, и мы получим уравнение для M:

1. 2. Уравнения, следующие из фоторефрак тивных свойств среды M n A1sA1c + A2sA2c |Ee| Уравнения для корреляционных интегралов M, M1 f e t = -i I0 B + M 1 + Eq, и M2 f можно получить, рассматривая взаимодействие (28) световых волн с фоторефрактивной средой. Будем счигде тать, что решетка показателя преломления, возникаюB = (ee)(e1e2)ds.

1 щая в результате такого взаимодействия, сдвинута на S /2 относительно записывающей интерференционной картины. Это характерно для диффузионного механизма Величина B определяет степень перекрытия исходных записи, а также для записи во внешнем переменном световых волн E1 и E2.

электрическом поле в кристаллах с большой дрейфовой Чтобы получить уравнение для Mf, нужно домнодлиной свободного пробега носителей. Будем также жить (26) с подстановкой (27) на (ee1 f ) и усреднить считать, что пространственные частоты записываемых по ансамблю. При этом следует учитывать, что e1 f решеток лежат в области максимального двухволнового зависит от t и от z. При усреднении по ансамблю усиления (что соответствует выбранному нами направ- будем считать, что e1 f и e2 f не коррелируют, что лению фенинга). эквивалентно пренебрежению обращенным фенингом;

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.