WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 7 01;03;08 САЗЕР (Sound Amplification by Stimulated Emission of Radiation) в нелинейном режиме работы с различными излучателями © С.Т. Завтрак, И.В. Волков Научно-исследовательский институт ядерных проблем при Белорусском государственном университете, 220050 Минск, Белоруссия (Поступило в Редакцию 21 февраля 1996 г.) Рассмотрена работа сазера (от SASER — Sound Amplification by Stimulated Emission of Radiation) в нелинейном режиме. В качестве активной среды выбрана жидкость с газовыми пузырьками. Накачка осуществляется переменным электрическим полем. Аналитически исследованы процессы усиления полезной моды в плоском резонаторе для случаев однородного и неоднородного распределения пузырьков по размерам.

Введение Основные уравнения Недавно в ряде работ [1–4] была предложена теоретиСхема сазера приведена на рисунке. Активная среда ческая схема акустического аналога лазера на свободзаключена между двумя плоскостями. Излучение происных электронах — сазера (от англ. SASER — Sound ходит вдоль оси z, L — длина резонатора в этом напраAmplification by Stimulated Emission of Radiation). В качевлении. Активная среда помещена в переменное электристве активной среды выбран жидкий диэлектрик с равноческое поле, которое играет роль накачки [1]. Объемы мерно распределенными в нем дисперсными частицами.

пузырьков изменяются за счет явления электрострикции.

Такими частицами могут служить газовые пузырьки, Результирующее давление, действующее на пузырьки, полученные, например, путем электролиза. В активной можно представить в виде P(r, t) =PE exp(it)+P (r, t) среде, заключенной в резонатор, создается волна накачки (статическое давление опущено), где PE exp(it) —дас помощью переменного электрического поля [1–3] или вление, связанное с воздействием электрического поля;

механических колебаний стенок резонатора [4]. ПервоP (r, t) — давление полезной моды.

начально распределение частиц пространственно одноДинамика газожидкостной среды описывается следуюродно, их суммарное излучение равно нулю, но затем они щей системой уравнений [1–4]:

начинают группироваться под действием акустических радиационных сил. Это приводит к автосинхронизации 1 2P колеблющихся частиц и усилению полезной моды.

P - - ( + i)P =(+i)PE exp(it), (1) c2 tВ работах [1–4] исследовался процесс автофазировки l газовых пузырьков на начальном этапе работы сазера и были найдены стартовые условия для начала генерации.

U =(Re A)|P|2 - i(Im A)(PP - PP), (2) Было показано, что для начала генерации необходимо преодолеть потери двух типов [2]. Первый из них связан n + div(nU) =0. (3) с диссипацией энергии внутри активной среды, второй t тип обусловлен радиационными потерями на торцах резонатора. В работах [1–3] предполагалось, что все Уравнение (1) представляет собой волновое уравнение пузырьки имеют одинаковый радиус и находятся вдали для жидкости с пузырьками газа. Здесь cl —скорость от области резонанса. В работе [4] был рассмотрен бо- звука в чистой жидкости; величины и описываются лее реалистичный случай неоднородного распределения пузырьков по размерам. Найденные для этого случая стартовые условия оказались аналогичными полученным ранее.

Во всех предыдущих работах предполагалось, что изменение пространственной концентрации пузырьков и полезная мода малы по сравнению с начальным значением концентрации и волной накачки, т. е. рассматривался начальный этап работы сазера. В настоящей работе мы отказываемся от этого предположения и рассмотрим работу сазера в произвольные моменты времени для случаев однородного и неоднородного распределения пу- Схема сазера с электрической накачкой: 1 — активная срезырьков по радиусам. Для простоты будем рассматривать да; 2 — твердые стенки резонатора; 3 — электромагнитная система, создающая периодическое электрическое поле; 4 — схему сазера с плоским резонатором и электрической полезная акустическая мода; 5 — звуковое излучение.

накачкой.

САЗЕР (Sound Amplification by Stimulated Emission of Radiation) в нелинейном режиме работы... следующими уравнениями: Полагая |n | n0 и |P| PE, линеаризуем систему (9), (10) по n и P = (r, R0, t) =-4 (Re A)n(r, R0, t)dR0, (4) 2 2 2i + - - 0 - i0 P =( +i )PE, (12) z2 l l t 0 c2 c n n0PE 2P 2P = - A + A. (13) = (r, R0, t) =-4 (Im A)n(r, R0, t)dR0, (5) t z2 zПри выводе этих уравнений было учтено, что где |0 + i0| 2/c2 [1,2]. Будем искать выражение для l RA = (6) полезной моды в виде стоячей волны - 1 + i P(z, t) =P0(t) cos(kLz), (14) — амплитуда рассеяния звука на пузырьке с радиусом Rи резонансной частотой 0; — константа поглощения.

где kL =(m)/L, m=1, 2,....

Величина n(r, R0, t) является функцией распределения Тогда, подставляя (14) в (13), находим пузырьков. В начальный момент времени предполагается, что все пузырьки распределены пространственно n n0PEkL = (AP0 + AP0) cos(kLz). (15) однородно. Уравнение (2) описывает поступательное t движение пузырька в звуковом поле. Здесь U —скорость Дифференцируя уравнение (12) по t и подставляя поступательного движения, коэффициент имеет вид в него выражения (14) и (15), получим уравнение, определяющее P0(t), = 4lµl2R0, (7) 2 2 2i d dPгде l и µl — соответственно плотность и вязкость 2 -kL-0-i0- =-4PEkL(I1P0 + I2P0), чистой жидкости.

c2 c2 dt dt l l Уравнение (3) является уравнением баланса числа (16) частиц в элементе фазового объема d3rdR0 (мы прене- где брегаем коагуляцией частиц).

n0A2 n0AA I1 = dR0, I2 = dR0. (17) Будем исследовать одномерные решения системы (1)-(3) (т. е. считать, что все величины изменяются 0 только вдоль оси z). Выделим явно в P быстроосцилДля вычисления величин 0, 0 и интегралов (17) лирующий множитель exp(it) необходимо знать явный вид функции распределения в начальный момент времени n0(R0). Рассмотрим случаи P (r, t) = P(r, t) exp(it). (8) однородного и неоднородного начального распределения пузырьков по радиусам.

Подставляя (8) в (1), (2), а затем(2) в (3) и применяя Од н о р о д н о е р а с п р е д е л е н и е. В этом процедуру усреднения Боголюбова–Митропольского [5] случае все пузырьки имеют одинаковый радиус R0, т. е.

по высокочастотной составляющей exp(it), получим n0(R0) =N0(R0 -R0). Тогда уравнение (16) принимает следующую систему укороченных уравнений:

следующий вид:

2 2 2i 2 2 + - P =(+i)(P + PE), (9) 2 2 2i d dP0 PEkLz2 l l t c2 c-kL-0-i0- =- (P0 + P0), c2 c2 dt dt 4Nl l n A P (18) = - n(P + PE) + к.с. (10) где 0 + i0 = -4AN0.

t z z При выводе уравнения (18) предполагалось, что пузырьки лежат вдали от области резонанса и диссипация Анализ уравнений на начальном этапе энергии в активной среде мала, т. е. |0| |0|. Будем генерации искать решение этого уравнения в виде Исследуем процесс усиления полезной моды в закрыP0(t) =A+ exp(i t) +A- exp(-i t). (19) том резонаторе с абсолютно твердыми отражающими Тогда при условии |A-| |A+| нетрудно получить стенками на начальном этапе работы сазера. Введем отклонение n (r, R0, t) от начальной функции распредеc2 2 L l ления n0(R0), т. е.

Re( ) - -0 -kL -, (20) 2 c2 l n(r, R0, t) =n0(R0) +n (r, R0, t) (11) 2 2 c2 0kLPE l Im( ) 0 +. (21) и = 0 +, = 0 +.

2 4N0 Re( ) 6 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 84 С.Т. Завтрак, И.В. Волков Реальная часть (20) определяет отстройку круговой координате, получаем частоты накачки от резонансной частоты резонатора L = cl kL + 0, мнимая часть (21) — инкремент 2 2 2i d - kL - P0(t) =-8P0 An2dRусиления полезной моды [2,4]. Поскольку 0/0, c2 c2 dt l l то из (21) легко получить, что для начала генерации необходимо, чтобы выполнялись условия L > 0 и - 8PE An1dR0, (28) PE >Pst = 4lµl2| Re( )|. (22) kL где Величина Pst является стартовым (пороговым) давлеn1 = n1(t) = n(z, t) cos kLz, нием накачки [2,4].

n2 = n1(t) = n(z, t) cos2 kLz, Не о д н о р о д н о е р а с п р е д е л е н и е. Как правило, экспериментально наблюдаемое распределение..., пузырьков по радиусам характеризуется следующей зависимостью: ni =ni(t) = n(z, t) cosi kLz.

n0(R0) aR-3, (23) Подставляя (14) в (10) и умножая уравнение (10) последовательно на cos kLz, cos2 kLz... и т. д., после где константа a определяет локальное газосодержание усреднения по z получаем бесконечную цепочку уравнежидкости.

ний (типа цепочки Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда– В предыдущей работе [4] было показано, что в случае Ивона в статистической физике [6]) неоднородного распределения пузырьков по радиусам основную роль будут играть пузырьки с резонансными n1 kL частотами, близкими к частоте накачки. Действи- = [(AP0+AP0 )PE(n0-n2)+(A+A)P0P0 (n1-n3)], t тельно, поскольку диссипация энергии в среде мала, т. е.

(29) 1, то подынтегральные выражения в (4), (5) и (17) n2 2kL будут иметь резкий максимум при = 0. С учетом = [(AP0+AP0 )PE(n1-n3)+(A+A)P0P0 (n2-n4)].

t этого несложно вычислить асимптотики этих интегралов (30) при 0 [4]. В результате имеем Для того чтобы проанализировать эту бесконечную систему уравнений, необходимо сделать ряд допущений 0 0, 0 22/R3 n0(R), (24) (обычно эту цепочку обрывают на каком-либо номере).

Заменим приближенно в выражениях для n2, n3 величину n0(R)R cos2 kLz на 1/2, тогда n2 n0/2, n3 n1/2. В результате I1 0, I2, (25) 2(R) вместо (29) приближенно имеем где R — радиус пузырька с резонансной частотой.

2 n1 kL(A + A) kLPEn Подставляя (24), (25) в уравнение (16) и ища реше- - P0P0 n1 (AP0 + AP0 ). (31) t 2 ние (16), как и в случае однородного распределения, в виде (19), получим выражения, аналогичные (20) и (21), Выделим из P0(t) осциллирующий множитель c2 2 2 L l P0(t) =exp(i t)0(t), (32) Re( ) - -kL -, (26) 2 c2 l где — смещение частоты, которое будет определено 2 2 ниже.

c2 22PEkLn0(R)Rl Im( ) 0 +. (27) Подставляя (32) в (31) и усредняя (31) по фазе 2 (R) Re( ) = t, находим Легко убедиться в том, что стартовые условия, слеn1 =a exp(i t) +a exp(-i t), (33) дующие из (26) и (27), совпадают с полученными в предыдущем случае.

где kLn00PEA a =. (34) ikL(A+A) Нелинейный режим работы сазера 2i 1 + |0|Рассмотрим теперь работу сазера в произвольные мо- Функция n1 характеризует неоднородность плотности менты времени. Зависимость давления от времени и ко- пространственного распределения пузырьков. Выражеординат по-прежнему будем искать в виде (14). Умножая ние (33) показывает, что эта плотность осциллирует с уравнение (9) на cos kLz и усредняя по пространственной круговой частотой, равной сдвигу частоты накачки.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № САЗЕР (Sound Amplification by Stimulated Emission of Radiation) в нелинейном режиме работы... Если подставить (32)–(34) в уравнение (28) и усред- (37), (38) при нить его по медленной фазе = t, то получим n0(R)Rуравнение для смещения частоты F1 0, F2. (43) 2 (R) + 2 2 2 2PEkL|0|Pst + - kL - 0 = F1 (35) c2 c2 l l С учетом этого имеем и для нарастания полезной моды 1/ PE 2 d0 0c2 4PEkL |P0max| = 2PE - 1. (44) l = - 1 + F2 0, (36) Pst dt 2 где Заключение n0|A|2(A + A) F1 = dR0, (37) kL(A+A) Таким образом, в процессе работы сазер выходит в 2 1 + |0|режим насыщения. Этот эффект аналогичен насыщению в теории лазеров на свободных электронах.

n0|A|F2 = dR0. (38) kL(A+A) Список литературы 1 + |0|[1] Zavtrak S.T. // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 2480–2484.

На начальном этапе генерации, когда 0 мало, урав[2] Zavtrak S.T. // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 3767–3769.

нения (35) и (36) дают (F2 I2) [3] Завтрак С.Т. // ЖТФ. 1995. Т. 65. Вып. 6. С. 123–132.

[4] Завтрак С.Т., Волков И.В. // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 4.

= -L/2, (39) С. 92–100.

[5] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические d0 0c2 PE l методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, = - 1 - 0. (40) dt 2 Pst 1958. 354 с.

[6] Исихара А. Статистическая физика. Пер. с англ. М.: Мир, Полученные выражения (39), (40) справедливы на 1973. 472 с.

начальном этапе работы сазера как для случая однородного, так и для случая неоднородного распределения пузырьков по радиусам. Формула (39) ясно показывает, что в начале генерации результирующая круговая частота ( + ) излучения сазера определяется собственным волновым числом резонатора. В более поздние моменты времени более существенную роль начинают играть нелинейные члены (правая часть уравнения (35)), что приводит к дополнительному сдвигу.

Как уже отмечалось выше, если в начальный момент времени PE > Pst, то уравнение (36) описывает возрастание амплитуды полезной моды вплоть до значений, при которых правая часть (36) обращается в нуль. Это позволяет оценить максимальное значение амплитуды давления полезной моды.

В случае однородного распределения пузырьков по радиусам имеем 1/PE 1/4 |0| |P0max| =PE 2 - 1. (41) Pst |0 | Поскольку, то из (41) следует PE 1/|P0max| =PE 2 - 1 -1/2. (42) Pst В случае неоднородного распределения пузырьков по радиусам несложно вычислить асимптотики интегралов Журнал технической физики, 1997, том 67, №




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.