WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

sh = 0.39. Отметим, что ”оборванному” идеальному Допустим вначале, что профиль полюса (участок мепрофилю с тем же угловым размером без оптимизации жду точками A0 и AM-3 на рис. 2) совпадает с идеальным, отвечает величина Bmax = 0.0042.

и разместим на нем равномерно по углу N = M - Для секступоля с размером полюса P = 0.6 и промежуточных точек A1, A2,..., AN = AM-4. Каждая числом вершин M = 10 в пределах рабочей апертуры из этих точек определится своими угловой и радиальной |ra 0.9| максимальное относительное отклонение поля 0 координатами n, rn n = 1, 2,..., N, найденными в Bmax = 0.011 при значениях подгоночных параметров соответствии с формулой (3.6) Приложения 3. Наша T = 0.99, Tr = 0.86 шимма отсутствует. ”Оборванный” практика показала, что процесс оптимизации требует отидеальный профиль с тем же угловым размером имеет хода от идеального профиля и координаты точек полюса величину Bmax = 0.071.

необходимо изменять. Подчеркнем, что обе координаты условной нулевой вершины 0 = /4, r0 = 1 и угловая координата M-3 = N+1 вершины AN+1 (определяющая Заключение угловой размер полюса) всегда неподвижны.

Для осуществления указанного изменения координат мы используем зависимости, в которые входя два ре- Описанная в предыдущем разделе процедура оптимизации, направленная на улушение качества создаваемого гулировочных параметра T по углу и Tr по радиусу линзой поля, может быть, по нашему мнению, развита (n = 0, 2,..., N + 1) далее в двух направлениях. Первое предполагает разра Tr 0 N+1-n ботку алгоритмов, позволяющих существенно увеличить n = 0 + n - 0 T, rn = rn. (23) число подвижных вершин многоугольника, аппроксимиНетрудно видеть, что при любых значениях этих пара- рующего сектор линзы. Выше уже отмечалось, что в метров отмеченное выше соглашение о неподвижных ко- нашем методе при значительном числе таких вершин ординатах выполняется. Еще одно ограничение связано могут возникнуть трудности со сходимостью процесса с тем, что вершина A0 условная, то она не представлена построения конформного отображения (раздел 1). Эта скобкой в интеграле (2), т. е. угол в ней должен быть проблема хорошо известна из теории и практики мноравен. По этой причине во всех случаях радиальные гопараметрической минимизации при применении декоординаты соседних с ней вершин корректировались терминированных алгоритмов типа градиентного спуска:

так, чтобы отрезок A1A-1 был перпендикулярен линии система попадает в локальный минимум и сама не может симметрии сектора линзы. из него выбраться [8]. Указанное обстоятельство являИзвестно (см., например, [7]), что иногда для улуч- ется серьезным ограничением и побуждает искать друшения качества поля используются так называемые гие способы нахождения глобального минимума. Первая ”шиммы” — плоские участки относительно небольших подсказка в этом направлении содержится в работе [6], размеров, располагаемые, как правило, на краю полюса. где предложена ”встряска” текущего состояния системы В случае, показанном на рис. 2, присутствие шиммы с целью выбросить ее из локального минимума. Мы пладолжно было бы ”расщепить” вершину AM-3 на две: AN+1 нируем испробовать комбинации элементов регулярного и AM-3 (которые в отсутствие шиммы совпадают). Мы и случайного поисков [9].

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 86 В.В. Вечеславов, О.В. Логинова В настоящее время последовательное улучшение проIkr = Ck Qk()k (1 - )k+1d. (1.3b) филя линзы (раздел 3) осуществляется ”вручную” в режиме интерактивного диалога оператора с компьюте1/ром. Вторым направлением дальнейшего развития этой Вторая замена различна для различных частей интерметодики мы считаем разработку программного обеспевала. Для левой части замена чения, позволяющего исключить оператора и доверить весь процесс оптимизации компьютеру.

() =[(k + 1)]1/(k+1), Авторы благодарят В.Н. Корчуганова и Е.Б. Левичева = k+1/(k + 1), d = kd за поддержку и обсуждения и А.Н. Дубровина за возможность использования созданной им универсальной приводит первое слагаемое Ikl к виду вычислительной программы MERMAID.

Ul Ikl = Ck Qk()(1 - )k+1d, Приложение Ul =(1/2)k+1/(k + 1). (1.4a) Вычисление длин сторон Для правой части замена многоугольника () =1 - [(k+1 + 1)]1/(k+1+1), Запишем выражение (3) для длины стороны много =(1 - )k+1+1/(k+1 + 1), d =(1 - )k+1d угольника в развернутом виде позволяет записать Ikr в форме ak+1 M M Ur Ik = |C0| |u - am|m |u + am|mdu. (1.1) m=1 Ikr = Ck Qk()k d, ak m=Интегрирование проводится только по положительной Ur =(1/2)k+1+1/(k+1 + 1). (1.4b) полуоси u, и потому при отрицательных k или k+сингулярности могут возникать только в первом произОба выражения (1.4) свободны от сингулярности во ведении. Для их ликвидации предлагается выполнить две всем замкнутом интервале интегрирования [ak, ak+1] при замены переменных. Первая (рекомендованная в [10]) любых значениях показателей k и k+1.

замена =(u - ak)/(ak+1 - ak), u = (ak+1 - ak) +ak, du =(ak+1 - ak)d Приложение s приводит интеграл к стандартной форме Вычиление коэффициентов k/aj системы (6) Ik = Ck Qk()k (1 - )k+1d. (1.2) Входящие в систему (6) коэффициенты связаны с производными длин сторон многоугольника соотношеВ последнем выражении ниями [6] k 1 Ik ICk = |C0|(ak+1 - ak)-M+1, = - k. (2.1) aj I1 aj aj M M Для случая j = k, k + 1 производные могут быть Qk() = | + km|m | - km|m, получены прямым дифференцированием под знаком инm=1 m=1,m =k,,k+теграла Ik Ik Ik km =(am + ak)/(ak+1 - ak), = +, aj aj - aj + km =(am - ak)/(ak+1 - ak).

ak+1 M Ik j Представим интеграл (1.2) в виде суммы двух слагае= |C0| |u2 - a2 |m du, (2.2a) m aj - aj - u мых Ik = Ikl + Ikr, где ak m=1/2 ak+1 M Ik j Ikl = Ck Qk()k (1 - )k+1d, (1.3a) = |C0| |u2 - a2 |m du. (2.2b) m aj + aj + u ak m=Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Построение оптимальных профилей многополюсных линз При j = k и j = k + 1 с помощью формул (10), (11) работы [6] находим M Ik = M+1Ik + (am - ak+1) ak ak+1-ak m=1,m =k,k+Ik Ik - (am + ak+1), (2.3a) am - am + M Ik = M+1Ik + (am - ak) ak+1 ak-ak+m=1,m =k,k+Ik Ik - (am + ak). (2.3b) am - am + Приложение Конформное отображение на верхнюю полуплоскость сектора идеальной P-линзы Комплексный потенциал идеальной P-линзы при определенном выборе единиц измерения может быть представлен в форме P(z) =(z exp(-iP))P, (3.1) где P = (P- 2)/4P и цель введения экспоненциального множителя — сделать бессектрису первого квадранта = /4 линией симметрии сектора линзы при любом Рис. 4. Отображение на верхнюю полуплоскость профилей числе пар полюсов P.

идеальных P-линз.

Профиль полюса определяется по условию ImP(z) =1 [2] Для анализа отображения (3.3) его удобно переписать rP sin[P( - P)] = 1. (3.2) в виде Функция (z) =(z exp(-iP))P отображает сектор та P кой линзы на полосу (двуугольник) в плоскости промеw(z) =-cth r (cos + i sin ), жуточной переменной. Функция w() = -(2/) arcth() переводит на эту же полосу верхнюю полу = P( - P). (3.4) плоскость плоскости w. Отсюда нетрудно найти нужное нам отображение сектора линзы на верхнюю полуплос кость v 0 в виде [11] Образом штрихового отрезка (0 1, = /2) плоскости z оказывается мнимая полуось v 0 плоско сти w w(z) =-cth (z exp(-iP))P. (3.3) w() =- cth i P = i cth P.

Эта цепочка отображений показана на рис. 4, где тон- 2 кие линии — границы секторов с нулевым потенциалом Напомним, что потенциал на положительной мнимой переходят в тонкие; жирные линии — профили полюсов полуоси вычисляется по формуле Шварца P(v) =2/ с потенциалом единица переходят в жирные; штриховой отрезок вдоль биссектрисы первого квадранта, на кото- arctg (ab/v) (раздел 2). Из рис. 4 видно, что граница ром отыскивается распределение потенциала, переходит образа любого идеального P-профиля ab = 1, и с в штриховые линии. помощью соотношения (3.4) можно восстановить расЖурнал технической физики, 2000, том 70, вып. 88 В.В. Вечеславов, О.В. Логинова пределение потенциала по радиусу вдоль биссектрисы Перейдем к новой независимой переменной = rP (4.4) P(0 1) = arctg ctg P и будем искать зависимость от в виде ряда N = arctg tg P = P. (3.5) = [1 + ()], () = n2n. (4.5) n=Сравнение (3.5) с (3.1) подтверждает правильность всех построений. Для точек, лежащих на идеальных Поскольку предполагается, что качество создаваемого полюсах (жирные линии), имеем линзой поля достаточно высокое, то можно считать последнее выражение малой поправкой |(r)| 1.

Im P(z) =rP sin = 1, Для вычисления входящих в (4.5) коэффициентов n, n = 1, 2,... предлагается следующий способ. Из опреRe P(z) =rP cos = b = const, деления (4.2) через переменную v находим w(z) =- cth (b + i) d 1 1 dv = -, d 0PrP-1 v2 dr 1 - i cth b ctg = - 2 2 - th rP cos = cth b - i ctg 2 2 где dv/dr задается равенством (13), переписанным в эквивалентной форме = действительное число. (3.6) M Это действительное число и есть образ a соответствуdv = - v(1+P)/P 1 +(am/v)2 -m.

ющей точки идеального профиля, который отображается dr |C0| m=на отрезок -1 u 1 положительной полуоси плоскости w.

После несложных преобразований получаем следующее выражение:

M Приложение d =[1 + ()](P-1)/P 1 +(0m)2 -m, (4.6) d m=Спектр потенциала -1/P при выводе которого учтено тождество 0 = P|C0|.

Распределение потенциала вдоль отрезка A0AM+1 на Раскладывая правую часть (4.6) по формулам бинома и линии симметрии сектора линзы (рис. 3) задается форгруппируя члены, можно получить ряд по степеням, мулой (10), которую при v > ab можно переписать в в коэффициенты которого входят неизвестные величины виде n. С другой стороны, производную d/d можно найти и непосредственно из основного определения (4.5) также 2 ab F(v) = arctg в виде ряда v d 2 ab 1 ab 3 1 ab = 1 + 312 + 524 +... (4.7) = - + -.... (4.1) d v 3 v 5 v Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Поскольку интересен в основном относительный вклад в соотношениях (4.6), (4.7) и используя знание точных высоких гармоник, то удобно вместо v ввести другую значений величин p0, 0 (формулы (17) и (18) соответпеременную ственно), получаем возможность рекуррентного опреде = (4.2) ления входящих в (4.5) параметров n, n = 1, 2,...

0v Это позволяет построить в явном виде зависимость () и представить относительный потенциал в форме и с помощью (4.3) найти амплитуды pn, n = 1, 2,...

гармоник потенциала (см. формулу (7) в разделе 2).

F() =F/pОтметим, что приведенный здесь алгоритм достаточно сложен и выполнить его ”вручную” невозможно. По этой (ab0)2 (ab0)= - 3 + 5 -.... (4.3) причине соответствующая программа была написана на 3 языке аналитических вычислений REDUCE [12], что Входящие в выражения (4.3), (4.2) величины p0 и 0 позволило находить значения pn, n = 1, 2,..., N для определяются формулами (17) и (18) соответственно. любого N.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Построение оптимальных профилей многополюсных линз Список литературы [1] Courant E.D. et al. // Phys. Rev. 1952. Vol. 88. P. 1190.

Проблемы современной физики. Сб. перев. и обз. ин.

период. лит. 1954. Т. 11. C. 169.

[2] Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 310 с.

[3] Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии. М.: Мир, 1969. 222 с.

[4] Плотников В.К. // ПТЭ. 1962. № 2. C. 29.

[5] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 678 с.

[6] Вячеславов В.В., Кокоулин В.И. // ЖВММФ. 1973. Т. 13.

№ 4. C. 865.

[7] Персов Б.З., Трахтенберг Э.М. Основы проектирования экспериментальных физических установок. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1993. 157 с.

[8] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука; ГИФМЛ, 1980. 520 с.

[9] Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука; ГИФМЛ, 1968. 376 с.

[10] Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963. 406 с.

[11] Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. Киев: Наукова думка, 1970. 230 с.

[12] Hearn A.C. REDUCE User’s Manual. Version 3.6. RAND Pub. CP78 Rev. 7/95, 1995.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.