WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 10 01;10 Построение оптимальных профилей многополюсных линз © В.В. Вечеславов, О.В. Логинова Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера РАН, 630090 Новосибирск, Россия E-mail: vecheslavov@inp.nsk.su (Поступило в Редакцию 29 сентября 1999 г.) Предложен достаточно гибкий и простой в реализации метод вычисления потенциала и поля многополюсной линзы, сочетающий технику конформных отображений с численными подходами. Описана использующая этот метод процедура последовательной оптимизации геометрической формы полюса, направленная на улучшение характеристик линзы. Приведены примеры.

Введение можно найти в [2,3]). Чаще всего усилия разработчиков направлялись на то, чтобы построить подходяОткрытие принципа жесткой фокусировки [1] поло- щее приближение (например, в виде части окружности) жило начало весьма широкому использованию в уско- к ”оборванному” идеальному профилю. По-видимому, рительной технике квадрупольных (число пар полюсов первая удачная попытка кардинально отойти от этой P = 2) линз для формирования и транспортировки практики для квадруполя была сделана в работе [4], где предложен полюс, ограниченный не гиперболической, а потоков заряженных частиц. В настоящее время наряду плоской поверхностью, и его размеры подобраны так, с квадруполями применяются также секступоли (P = 3) что в спектре потенциала линзы отсутствует шестая и октуполи (P = 4). Условимся линзу с любым числом гармоника.

пар полюсов P называть P-линзой. На рис. 1 приведены В последние годы допуски на отклонение поля от эскизы поперечных сечений квадруполя и секступоля и идеального резко ужесточились и задача определения указана используемая ниже система координат.

оптимальных, обеспечивающих требуемое качество поля Качество создаваемого линзой поля определяется геопри минимальных размерах, профилей линз стала весьма метрической формой полюса и положением на нем актуальной. Наиболее часто к решению этой проблемы обмотки. Для каждой P-линзы известен теоретический привлекают алгоритмы численного построения картины профиль, дающий ”идеальное” поле: линейное — для поля на достаточно густых сетках, что предполагает квадруполя, квадратичное и кубичное — для секступоля использование мощных компьютеров и требует замети октуполя (см. раздел 2 и Приложение 3). Но все ных вычислительных затрат. На заключительной стадии такие профили не могут быть реализованы на практике, проектирования это вполне оправдано, но для стартопоскольку не оставляют места для размещения обмотки вых прикидок и при сравнительной оценке различных и замыкания магнитного потока. По этой причине создаконструктивных решений, когда приходится перебирать ваемые реальными линзами поля всегда кроме основной большое число вариантов, желательно применение более компоненты содержат также (как правило, нежелательпростых и быстрых средств анализа.

ные) высшие гармоники.

В настоящей работе предлагается достаточно гибкий Поиску ”хороших” профилей линз посвящено огроми простой в реализации метод, сочетающий технику ное количество работ (соответствующую библиографию конформных отображений с численными подходами.

Рис. 1. Эскизы поперечных сечений квадруполя (a) и секступоля (b). Жирными линиями показаны границы секторов.

6 82 В.В. Вечеславов, О.В. Логинова Его применение позволяет проектировать линзы с лю- и с точностью до подобия исходный многоугольник бым числом пар полюсов и достаточно высоким в может быть описан заданием M - 1 относительно длин пределах рабочей апертуры качеством поля. Отметим, его сторон что описанные ниже алгоритмы одинаково пригодны как k = Ik/I0; k = 1, 2,..., M - 1. (4) для магнитных, так и для электростатических линз. Мы ограничимся рассмотрением магнитных линз, поскольку Отметим, что интегралы (3) могут иметь сингулярнотолько они применяются в физике высоких энергий.

сти на одном или обоих концах интервала, для ликвиПредполагается также, что выполняются обычные для дации которых в Приложении 1 предлагаются удобные аналитических методов условия: линза длинная, имеет замены переменных.

место полная симметрия и не учитывается насыщение Отыскание значений оставшихся неопределенными пажелеза.

раметров a2, a3,..., aM для рассматриваемой области A является центральной и в общем случае достаточно сложной задачей, от решения которой зависит успех 1. Отображение верхней построения отображающей функции (2). Мы используем полуплоскости на сектор линзы для этой цели следующую процедуру последовательных приближений, подробно описанную в работе [6].

Сектор P-линзы (принадлежащая одному полюсу часть Выберем начальные значения свободных параметров поперечного сечения; рис. 1) аппроксимируется многоa0, a0,..., a0 произвольно, соблюдая лишь имеюугольником A с общим числом вершин 2M + 1 (рис. 2), M 2 щее место в силу правила обхода границ неравенство на который конформно отображается верхняя полуa1 < a0 < a0... < a0 < и выполним интегрирование плоскость вспомогательной комплексной переменной 2 3 M (2) вдоль вещественной полуоси 0 u <. Тогда w = u + iv. Это отображение выполняет интеграл (с учетом симметрии) на плоскости z получится некий Кристоффеля–Шварца [5] 2M + 1-угольник A0 c вершинами в точках A0, A0, A0, 1 -1 w 2M+A0,..., A0, A0, A0. Если подобрать значение -2 M -M M+z(w) =C0 (w - am)mdw + C1, (1) постоянной C0 в (2) так, чтобы отрезки A0A0 и A0Aw0 m=где m = m - 1, m — измеренные в долях внутренние по отношению к области углы; am —точки вещественной оси u плоскости w, являющиеся образами вершин многоугольника Am.

Образы трех вершин могут назначаться произвольно и удобно установить следующее соответствие:

z = A1 w = a1, z = A-1 w = -a1, z = AM+1 = 0 w =.

Постоянная C1 отвечает за смещение многоугольника как целого на плоскости z. При C1 = exp(i/4) точка u = a0 = 0, v = 0 становится образом центра полюса x = y = 1/ 2 (который условно можно считать нулевой вершиной многоугольника A0 с показателем 0 = 0).

С учетом симметрии рассматриваемой области относительно биссектрисы первого квадранта и выполненных нормировок выражение (1) можно переписать в существенно более простом виде w M z(w) =C0 (w2 - a2 )mdw + C1. (2) m w0 m=Длина стороны Ik между вершинами Ak и Ak+1 определяется выражением ak+1 M Ik = |C0| |u2 - a2 |mdu, (3) Рис. 2. Соответствие между вершинами сектора линзы и их m образцами при конформном отображении.

ak m=Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Построение оптимальных профилей многополюсных линз совпали, то сходные стороны многоугольников A0 и A окажутся параллельны, но их относительные длины k и k могут различаться сколь угодно сильно.

Назовем ”расстоянием” между фигурами A0 и A скалярную величину G = max k - k /k ; k = 1, 2... (M - 1). (5) Построение отображения (2) можно считать законченным, когда достигнуто G 0.

Если расстояние между A0 и A велико, то процедуру приближений приходится разбивать на ряд этапов. В [6] показано, что для любого значения параметра K из интервала [0;1] существует расположенный между Aи A многоугольник A1 с вершинами в точках A1, A1, 1 -A1, A1,... A1, A1, A1 и относительными длинами 2 -2 M -M M+1 0 сторон k = k - K(k - k) (при K = 0 он совпадает с начальным A0, а при K = 1 с искомым A). На каждом этапе осуществляется переход от A0 к этому промежуточному многоугольнику A1. С этой целью составляется линейная система уравнений M k (aj-a0) =K(k-k ); K = 1, 2..., M-1 (6) a0 j j j=и отыскиваются ее решения для начинающегося с единицы ряда значений K (например, каждое следующее значение K берется вдвое меньше предыдущего). Этот процесс прекращается, как только выполняется условие G(A1) < G(A0) (см. формулу (5)). Найденное таким образом промежуточное состояние становится начальным для следующего этапа. Отметим, что входящие в систему (6) производные могут быть найдены либо численно, либо по приведенным в Приложении 2 аналитическим соотношениям.

Если число свободных вершин многоугольника не Рис. 3. Распределение потенциала по границам областей.

мало (M > 5), то сходимость описанного процесса многопараметрической оптимизации сильно зависит от удачного выбора стартовых значений образов этих верМы предпочитаем работать со скалярным потенциашин. Здесь оказался полезен следующий прием. Для лом F(z), распределение которого по сектору квадруполюбой идеальной P-линзы нетрудно построить ее точное ля показано на рис. 3, a: на поверхности полюса F(z) =конформное отображение на верхнюю полуплоскость (жирная линия), в области обмотки он спадает до нуля w (соответствующие формулы содержатся в Приложе(линия меняющейся толщины) и равен нулю на всей нии 3). В качестве стартовых мы использовали знаостальной границе сектора (тонкие линии).

чения образцов точек идеального профиля, полученные по формуле (3.6) в Приложении (хотя окончательный Постоенное в разделе 1 конформное отображение попрофиль линзы может заметно отличаться от идеального, зволяет перенести это распределение на действительную см. раздел 3). ось u плоскости w с соблюдением принятого выше соглашения о связи величины потенциала с толщиной линии (рис. 3, b). Первые же вычисления показали, 2. Распределения потенциала что участок обмотки весьма мал (менее 1% от длины и индукции магнитного поля участка с F(u) =1), что позволяет с хорошей точностью заменить истинное распределение F(u) эквивалентным Комплексный магнитный потенциал P-линзы может прямоугольным. В результате получаем быть записан в форме F(u) =1 при - ab u ab, P(z) =D(z) +iF(z) =p0zP 1 + pnz2nP, (7) F(u) =0 для всех других u. (8) n где D(z) и F(z) — векторный и скалярный магнитные Потенциал в любой точке верхней полуплоскости w потенциалы, соответственно [2]. определяется по известной формуле Шварца, которая 6 Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 84 В.В. Вечеславов, О.В. Логинова для нашего случае дает и вытекающее из (11) при v соотношение P ab =. (16) v F()d v d v |C0|P F(u, v) = = (u - )2 + v2 (u - )2 + v- -ab Сравнение выражений (15) и (7) позволяет вычислить точное значение коэффициента основной гармоники по1 ab - u ab + u тенциала = arctg + arctg. (9) v v p0 = ab0, (17) Напомним, что при отображении (2) отрезок A0AM+1 где введено обозначение на линии симметрии сектора линзы (рис. 3) переходит в 0 =(P|C0|)-P. (18) мнимую полуось 0 v < и распределение потенциала (9) вдоль этой полуоси приобретает простой вид В Приложении 4 показано, что значение величин p0 и 0 необходимо и достаточно для построения рекуррент2 ab ной аналитической процедуры определения остальных F(v) = arctg. (10) v коэффициентов pn, n = 1, 2,..., N в представлении (7) (построение спектра потенциала) до любого требуемого Соотношение (9) оказывается основным во всем попорядка N.

следующем рассмотрении, и мы начнем с вычисления На этом замечании можно было бы закончить данный распределения индукции на отрезке A0AM+1 (рис. 3).

раздел, поскольку знание спектра потенциала позволяет Рaсстояние от центра линзы вдоль этого отрезка равно ответить на любой вопрос о качестве формируемого данv ной линзой поля. Но вычисление спектра — процедура M m достаточно трудоемкая (Приложение 4). Кроме того, в = 1 -|C0| v2 + a2 dv, (11) m нашем случае она написана на языке аналитических выm=числений REDUCE, тогда как все остальные программы пакета выполнены на PASCAL и совместить их работу в откуда дифференцированием по находим соотношение, непрерывном вычислительном процессе пока не удается.

определяющее зависимость v(p), По этой причине мы находили распределения поля M B() и B(s) на отрезках единичной длины, идущих из -m dv = - v2 + a2. (12) m центра линзы вдоль линии симметрии и вдоль левой d |C0| m=границы сектора соответственно. В расчет принималось то распределение, которое давало максимальное отклоРаспределение индукции на отрезке A0AM+1 задается нение от основного поля.

формулой Вычисление B() осуществляется совместным использованием формул (12) и (13). Для простроения B(s) dF dF dv B() = = (координата s отсчитывается от центра линзы вдоль d dv d границы сектора; для квадруполя s y) можно поM 2 ab 1 -m лучить аналогичные зависимости следующим образом.

= v()2 + a2. (13) m v()2 + a2 |C0| Левая граница сектора отображается по положительную b m=полуось aM < u <, v = 0, где отлична от нуля только Из (13) немедленно следует точное значение индукции v-компонента индукции, которая вычисляется через пов центре полюса, которому соответствует v = 0 тенциал (9) F 2ab M Bv(u, 0) =- lim = -.

2 v0 v u2 - aB=1 = a-2m. (14) b m ab|C0| m=Последнее равенство позволяет построить распределение индукции на границе сектора линзы Так как при 0 имеем v, то с помощью(13) du можно также определить индукцию вблизи центра линзы B(s) =Bv(u, 0) ds 2ab 2ab M B0 = v(1-P)/P = PP-1. (15) 2ab 1 -m |C0| (|C0|P)P = - u(s)2 - a2, (19) m |C0| u(s)2 - a2 m=b При выводе этой формулы использовано геометричегде зависимость u(s) определяется интегрированием ское равенство уравнения M M -m du 2 m = -2 - M+1 = -(P + 1)/P = u2 - a2. (20) m ds |C0| m=1 m=Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Построение оптимальных профилей многополюсных линз Для обоих распределений (13) и (19) относительное будем описывать шимму (если она есть) длиной lsh и отклонение поля от основного вычисляется по формуле углом наклона sh отрезка AN+1AM-3.

Распоряжаясь введенными выше параметрами — факB(|s) торами изменения угловой T и радиальной Tr координат B(|s) = - 1. (21) Pp0(|s)P-и характеристиками шиммы lsh, sh, можно конструировать линзы с достаточно высоким качеством поля.

После каждого изменения геометрии линзы выполняется 3. Построение профилей линз:

конформное отображение на верхнюю полуплоскость методика и примеры w (раздел 1), что позволяет вычислить распределения индукции по линии симметрии B() и по границе сектора Условимся измерять ширину полюса P-линзы относилинзы B(s) и найти максимальное в пределах рабочей тельным углом P, который мы определим как отно шение угла P между отрезками AMAM-3 и AMA-M+3 апертуры |ra 0.9| относительное отклонение Bmax индукции магнитного поля от основного (раздел 2).

(рис. 2) к полному углу сектора линзы Приведем два примера использования описанной выше P = PP/. (22) методики. Для квадруполя с относительным угловым размером полюса P = 0.7 с числом подвижных вершин Эту характеристику линзы будем считать величиной M = 10 было получено в пределах рабочей апертуры заданной. Дальнейшее изложение удобно проводить в |ra 0.9| максимальное относительное отклонение поля терминах левого полусектора линзы, поскольку в силу Bmax = 0.0021 при следующих значениях подгоночных симметрии аналогичные события будут происходить и в параметров: T = 0.960, Tr = 0.967, lsh = 0.02, другом полусекторе.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.