WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ционарный поток образующихся зародышей переполя0W =0W + Ez00Dzризации. Для его нахождения необходимо определить коэффициент Wn,n+1, минимальную работу образования 0Ez =0W + Ez00Pz0 +0. (15) зародыша Rmin(nc) и критический размер зародыша переполяризации nc. Для определения этих величин можно использовать два эквивалентных подхода. Первый — В уравнении (14) p0, T0, µ0 — соответственно давлеклассический [18], требующий знания равновесной функ- ние, температура, химический потенциал среды, 0V, ции распределения для определения потока зародышей.

0S — соответствующие изменения объема и энтропии Во втором подходе, разработанном в [19], используют- среды, Ez0 — напряженность электрического поля в ся определенные соотношения между коэффициентами среде, D0 — электрическая индукция среды, а Pzo —попоглощения Wn,n+1 и испускания Wn+1,n. Они позволяют, ляризация среды. Величина 0Ez /2 — работа, связанная не используя равновесной функции распределения, полу- с возбуждением электрического поля между обкладками чить выражение для стационарного потока зародышей. конденсатора. Поскольку исследуется внутреннее поле Оба подхода приводят к одному и тому же результату. сегнетоэлектрика, эта величина не будет учитываться и все параметры будут выражаться не через индукцию, Для вычисления потока зародышей переполяризации а через поляризацию. Знак минус перед выражением воспользуемся последней методикой.

работы электрических сил в (14) появился из-за того, Итак, для зародышей с n < nc функция распределения что среда совершает работу, связанную с образованием f (n) exp ( - R(n)/kBT ) (T < Tc) обращает в нуль зародыша.

левую часть (11), т. е. f /t = 0. Это означает, что Давление, объем и температура в системе остаются вероятности перехода Wn,n+1, En+1,n, изменяющие разменеизменными, поэтому p0 = p, T0 = T, n0 = n, ры зародышей на один структурный элемент, точно такие 0V = -V. Для изменения энтропии имеем же, как и для гетерофазных флуктуаций, находящихся в S +0S = 0. Компоненты поляризации и поля в среде равновесных условиях.

и зародыше направлены противоположно друг другу, т. е.

Используя развитый в [19] подход, можно получить 0Pz0 = -Pz и Ez0 = -Ez. Отсюда для Rmin(n) получим соотношения между коэффициентами поглощения и испускания, справедливые для всех значений n. РассмоRmin(n) =(W + p0V - T0S - Ez0Pz) - µ0n. (16) трим вспомогательный сегнетоэлектрический кристалл с таким значением поляризации, что зародыш размера, Перепишем выражение (16) в более удобной форме, соответствующего n > nc, будет находиться с ним в замечая, что электрическое поле в зародыше размером n 6 Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 84 С.А. Кукушкин, А.В. Осипов есть Ezn. С учетом (15) получим Найдем величину Rmin, входящую в формулу (13), Rmin Rmin(n) =(W + p0V - T0S - EznPz) Rmin = =(µ - µ0) +(Ezn - Ez0) Pz, (20) n Ez,p,T n +(Ezn - Ez0)Pz - µ0n. (17) где Pz/n есть поляризация на один структурный элеРассмотрим энергию зародыша W, входящую в (16). мент в зародыше, т. е. величина pzi, введенная выше (см.

Она состоит из объемной части энергии зародыша Wv уравнение (9)).

и поверхностной части Ws. Для их вычисления, мы Выпишем в явной форме µ(Ezn, p, T ) - µ0(Ezn, p, T ), должны знать форму зародыша. Форма зародышей пере- учитывая, что равновесное значение поляризации поляризации в отличие от зародышей, образующихся при зародыш–среда определяется соотношением обычных фазовых переходах не может быть произволь(H)1/ной. Этот факт связан с решением уравнений Максвелла µ(Ezn, p, T) =µ(Ezn, p, T) + n1/в диэлектрике [15,16]. Именно из решений уравнений Максвелла следует, что на поверхности раздела доменов = µ0(Ezn, p, T ). (21) нормальная компонента вектора электрической индукции непрерывна, так же непрерывна и тангенциальная Равновесное значение поля z зародыш–среда (зарокомпонента вектора поля E. Это значит, что границы дыш бесконечно большого размера n ) определяетраздела между доменами старой и новой фаз должны ся из условия быть параллельны оси z. Поэтому в процессе переµ(z) =µ0(z). (22) поляризации в сегнетоэлектрическом кристалле будут Вычитая из (21) соотношение (22) и разлагая левую возникать домены в виде плоских пластин или цилини правую части полученного соотношения в окрестности дров, которые при такой форме должны простираться на точки z по малому отклонению (Ezn - z)/z, получим всю толщину кристалла L. Однако, как будет показано для основной части спектра распределения зародышей далее, вероятность возникновения доменов при большой толщине L будет стремиться к нулю. Это связано с µ (H)1/2 µ(Ezn-z)+ = (Ezn-z). (23) затратами энергии системой на образование межфзной Ez|z n1/2 Ez|z поверхности. При анализе обычных фазовых переходов первого рода такой проблемы не возникает [12], посколь- В последнем разложении мы оставили только первый член, учитывая малость отклонения Ezn от z.

ку зародыши имеют форму либо близкую к сферической, Поскольку -µ/Ez|z = pzi2, а -µ0/Ez|z = pzi1, либо это двумерные цилиндрические зародыши, высота где pzi1 — элементарная поляризация среды, а pzi2 — которых H порядка межатомных расстояний. В общем элементарная поляризация зародыша. Эти величины равслучае очевидно, что форма доменов при переключении ны по абсолютной величине и имеют противоположное не будет сохраняться. В одних случаях радиус доменов направление. Обозначим pzi1 = pzi, тогда pzi2 = -pzi, и может уменьшаться по мере его прорастания в глубь из (23) имеем кристалла, в других — домен будет приобретать огранку.

В данной работе для простоты вычислений будем счи(H)1/тать, что в кристалле по всей толщине возникают домены 2(Ezn - z)pzi =, n1/с высотой H по порядку величины, равной размеру элементарной ячейки кристалла H 1/3. Затем они (H)1/n1/2 =. (24) мгновенно сливаются в один длинный цилиндрический 2pzi(Ezn - z) домен. Ширина (или радиус) таких доменов будут изИз рис. 2 видно, что равновесному состоянию сегнеменяться в процессе их зарождения и последующей тоэлектрика отвечает значение поля z = 0. С другой эволюции. В этом случае Ws = 2(H)1/2n1/2, где — стороны, критический размер зародыша переполяризаповерхностное натяжение доменной стенки.

ции, находящегося в равновесии с сегнетоэлектриком Заметим, что выражение, стоящее под знаком в в переключающем поле, определяется соотношением уравнении (17), есть термодинамический потенциал заEznc = Ez0.

родыша с внутренним полем Ezn, т. е.

Учитыая это соотношение и z = 0, из (24) получим (Pzn) =(W + p0V - T0S - EznPz) = µn, (18) (H)1/n1/2 =. (25) c где µ — химический потенциал зародыша новой фазы, 2pziEzразмера n с учетом поверхностного натяжения, т. е.

Опуская индекс 0, указывающий на принадлежность поля к среде (т. е. к той части сегнетоэлектрика, которая (Pzn) = µ(Ezn, p, T ) еще не переполяризована), окончательно имеем n Ez,p,T (H)1/(H)1/n1/2 =. (26) = µ(Ezn, p, T ) +. (19) c 2pziEz n1/Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Термодинамика и кинетика начальных стадий переключения в сегнетоэлектриках Мы получили формулу, определяющую число струк- сегнетоэлектрика, S = 2(H)1/2n1/2 — боковая потурных элементов в критическом зародыше переполяри- верхность цилиндрического домена. Отметим, что мы зации (26). Она аналогична формулам, описывающим рассматриваем домен размера n > nc, находящийся число структурных элементов в критических зародышах, в равновесии со вспомогательным сегнетоэлектриком.

образующихся в растворах и расплавах [12–14,19]. Элек- Будем считать, что процесс роста домена идет посредтрическое поле играет роль пересыщения или переохла- ством перехода атомов в ячейках из одного состояния ждения. в другое непосредственно на границе между доменами.

Выразим (26) не через число элементарных ячеек nc, В этом случае можно определить потоки (Ezn) и (Ez0) а через радиус критического домена Rc следующим образом. Если сегнетоэлектрик находится в равновесном состоянии (внешнее электрическое поле Rc =. (27) отсутствует и полная его поляризация равна нулю), то 2pziEz потоки элементарных ячеек, возникающие под действием тепловых флуктуаций от доменов с поляризацией, ориТеперь можно получить выражение для работы обраентированной вдоль и против оси z, равны. В неравновесзования зародыша критического размера. Из (17)–(24) ном состоянии поляризация системы будет изменяться.

следует, что она равна Рассмотрим величину Rmin(nc) =(H)1/2n1/2. (28) c 0 = exp(-V0/kBT ), Перепишем уравнение (20), используя полученные где — частота колебаний атомов в элементарных выше соотношения и (21) ячейках, находящихся на поверхности доменов, V0 — высота энергетического барьера, разделяющего домены, Rmin Rmin = = µ0(Ezn, p, T ) - µ0(Ez0, p, T ) находящиеся в двух симметричных положениях с разной n ориентацией поляризации в отсутствие поля. Если умноµжить 0 на число элементарных ячеек на поверхности - (Ezn - Ez0)pzi = (Ezn-Ez0) доменов Ns, то можно получить равновесный поток Ez|Ez0 Ezn элементарных ячеек - (Ezn - Ez0)pzi = -2(Ezn - Ez0)pzi. (29) 0 = Ns exp(-V0/kBT ).

Отметим, что, введя вспомогательный сегнетоэлекВеличину Ns можно оценить как Ns 1/2/3, где 2/3 — трик и найдя соотношения (13), мы получили выражение площадь, занимаемая ячейкой на поверхности домена.

для Rmin, справедливое во всей области значений n, Если сегнетоэлектрик находится во внешнем поле, лежащих вблизи критического размера. Из (29) можно величина барьера V0 изменяется. Для каждой ячейки, навидеть, что Rmin/n для зародыша критического размеходящейся в домене, поляризация которого направлена ра при условии, что Ezn = Eznc = Ez0, равна нулю.

по полю, барьер понижается до величины V0 - pziEz, а Перейдем теперь к вычислению потока зародышей для ячеек, находящихся в доменах с противоположной переполяризации в пространстве размеров.

поляризацией, он повышается до V0 + pziEz. Потоки ячеек с поверхности одного домена в другой при на4. Определение коэффициента личии поля становятся неравными друг другу. Поток диффузии в пространстве ячеек из среды есть (Ezn) = 0 exp(pziEzn/kBT), а поток ячеек с зародыша критического размера равен размеров Wn,n+(Ez0) =0 exp(pziEz0/kBT ). Если pziEz kBT, можно Для вычисления коэффициента диффузии в простран- разложить экспоненты, стоящие в выражении для этих стве размеров Wn,n+1 обратимся к уравнению (12). Из потоков, в ряд. Ограничиваясь линейными членами разнего видно, что скорость роста домена dn/dt размера n ложения из формулы (30), получим зависимость скорозависит как от Wn,n+1, так и от Rmin/n (29). Для того, сти роста боковой поверхности домена размера n > nc чтобы найти Wn,n+1, определим скорость роста n/t dn pzi(Ezn - Ez0) иным образом — запишем ее в виде = 2(H)1/20 n1/2. (31) dt kBT dn Теперь можно найти коэффициент диффузии в про=[(Ezn) - (Ez0)]S, (30) dt странстве размеров Wn. Для этого сравним зависимость (31) c (12), с учетом (29) для Wn получим где (Ezn) — поток присоединящихся к боковой поверхности домена переполяризованных элементарных Wn =(H)1/20n1/2. (32) областей (ячеек), (Ez0) — обратный поток ячеек, приводящий к ”растворению домена”, Ezn — поле во Отсюда для зародыша критического размера вспомогательной среде, находящейся в равновесии с Wnc =(H)1/20n1/2. (33) доменом размера n, Ez0 — поле в среде исследуемого c Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 86 С.А. Кукушкин, А.В. Осипов 5. Поток зародышей переполяризации в которой гидродинамическая скорость роста зародышей переполяризации равна нулю, т. е. dn/dt = 0 и Зная работу образования зародыша критического раз- Rmin(n)/n|n = nc = 0. Ширина этой области n0 равна мера и выражение для коэффициента диффузии в про-1/странстве размеров и следуя стандартной методике, 1 2Rmin(n) n0 = -. (39) можно вычислить стационарный поток зародышей пе2kBT 2n реполяризации, проходящих через критический барьер.

Отсюда следует, что время установления стационарноСогласно [12,13,18,19], этот поток имеет вид го потока может быть оценено следующим образом:

1 1 2Rmin Rmin(nc) (n0)I = NvWnc - exp -, (34) t. (40) 2kBT n2|n = nc kBT Wn,n+где Nv — число элементарных ячеек в единице объема Время существования стационарного потока опредекристалла, которое можно оценить как Ns 1/.

ляется условием, что время прохождения зародышем Подставим в формулу (34) значения Wnc из (33), области n0 в пространстве размеров значительно меньRmin(nc) из (28) и ше времени выхода из области окрестности критической точки n0 в результате движения зародыша критического 2Rmin (H)1/размера, т. е.

=.

n2 nc (n0)2 n4n3/c. (41) Wn,n+1 dnc/dt Окончательно получим Подставляя соответствующие значения n0 и Wn,n+1 в (40), имеем Nv1/40(H)3/41/2 (H)1/2n1/c 8kBTnc I = exp -.

t kBT 2 2n1/4 kBT c H(35) и, учитывая выражение для nc (26), получим Выразим в (35) критический радиус nc через напряженность поля согласно (26), т. е.

2kBT t. (42) 0(pziEz)Nv0(H)1/2(pziEz)1/2 HI = exp -. (36) 2kBTpziEz Таким образом, время установления стационарного 2 kBT потока или время появления первого зародыша (инкуВыражение (36) описывает поток переполяризованных бационный период) обратно пропорционально квадрату доменов в зависимости от величины приложенного поля.

электрического поля.

Логарифмируя (36), получаем Отметим, что нами найдено выражение для стационарного потока (35) (или (36)) зарождающихся доме1 Hнов. В настоящее время развиты методы [12,13], поln I = ln K - ln Ez -, (37) 2 2kBTpziEz зволяющие решать нестационарное уравнение Фоккера– Планка (11) и находить нестационарный поток доменов где переполяризации. Однако основной процесс образования 0(Hpzi)1/K =.

новой фазы начинается на следуеющей стадии, тогда, 2 kBT когда в системе образуется так много зародышей, что они Поскольку логарифм — слабо меняющаяся функция, меняют пересыщение в системе (в нашем случае поле в то в первом приближении можно считать, что второй сегнетоэлектрике), что приводит к зависимости потока член в уравнении (37) от поля не зависит. В этом слузародышей от времени. Эта стадия будет исследована в чае получается удобное для оценок экспериментальных дальнейшем.

данных выражение Список литературы Hln I const -, (38) 2kBTpziEz [1] J.F. Scott. Ferroelectrics review 1, 1 (1998).

[2] В.Я. Шур, Е.Л. Румянцев, С.Д. Макаров. ФТТ 37, 6, где const обозначает первые два члена в (37).

(1995).

Оценим время установления и существования стаци[3] V.Ya. Shur, E.L. Rumyantsev, S.D. Makarov. Ferroelectrics 172, онарного потока зародышей переполяризации. Область 361 (1995).

с n < nc определяется главным образом гетерофаз[4] В.Я. Шур, Н.Ю. Пономарев, Н.А. Тонкачева. ФТТ 38, 6, ными флуктуациями переполяризации. Следовательно, 1889 (1996).

существующий поток устанавливается за время прохо- [5] L.I. Dontzowa, N.A. Tikhomirova, L.A. Shuvalov. Ferroelectждения области n0 окрестности критической точки, rics 97, 87 (1989).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.