WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1998, том 68, № 4 01;06;12 Моделирование некоторых гетерогенных процессов полупроводниковой технологии © Б.А. Зон, С.Б. Ледовский, А.Н. Лихолет Воронежский государственный университет, 394693 Воронеж, Россия (Поступило в Редакцию 9 декабря 1996 г.) Поставлены и решаются две задачи: диффузия в двухфазной системе с движущейся границей раздела и учет конечной скорости реакции при образовании новой фазы. Для нахождения численных решений использован вариационный метод, что имеет ряд преимуществ для практики.

Введение Здесь C(·) — концентрация примеси, удовлетворяющая начальному условию Развитие микроэлектроники потребовало создания математических моделей технологических процессов, исC(x, 0) =F(x), (2) пользующихся при изготовлении полупроводниковых приборов. Данному вопросу посвящена обширная литеD(·) — коэффициент диффузии примеси, зависимость ратура (см., например, [1–7]). Тем не менее большое которого от координат и времени связана с процессом количество проблем в настоящее время еще не получили своего решения. Настоящая работа посвящена постанов- образования фазы b.

ке и решению двух задач: 1) диффузия примеси в поКраевое условие для уравнения (1) лупроводнике в условиях, когда в этом полупроводнике происходит образование новой фазы (окисление, силиC(x, t) цидообразование и др.), и 2) образование новой фазы = 0 (3) x x=0 полупроводника при конечной скорости гетерогенной реакции. Обе эти задачи являются задачами стефановского означает непроницаемость поверхности твердого тела типа, хотя первая из них линейная, а вторая нелинейная.

для примеси. Коэффициент диффузии в нашей модели Нахождение их численных решений проводится единым можно записать в виде двух эквивалентных выражений методом вариационным, что имеет ряд преимуществ для практики, а именно интерпретируемость результатов и возможность их описания с помощью графиков или D(x, t) =Db +(Da -Db) x - l(t), (4) таблиц относительно небольшого объема.

D(x, t) =Da -(Da -Db) l(t) - x. (5) 1. Диффузия примеси при гетерогенной реакции Здесь (·) — единичная ступенчатая функция Хевисайда, Da и Db — постоянные величины — коэффициенты a) О с н о в н о е у р а в н е н и е. Пусть ”чистый” диффузии примеси в фазах a и b. Для решения задачи полупроводник (фаза a) расположен в полупространстве можно воспользоваться методом, изложенным в [8]. Одx > 0. Начальное распределение примеси описывается функцией F(x). В момент t = 0 температура образца нако в данном случае более простым является метод, повышается. Для простоты будем считать, что повыше- излагаемый ниже. После подстановки формулы (4) в ние температуры происходит мгновенно. При этом на уравнение (1) получим поверхности полупроводника начинает образовываться фаза b, толщина которой изменяется по закону l(t), C 2C причем l(0) =0. - Db =(Da -Db) t xПри низкой температуре диффузией примеси можно 2C C пренебречь. При высокой температуре примесь начинает x -l(t) + x -l(t), (6) диффундировать и требуется определить распределение x2 x примеси в фазах a и b в произвольный момент времени.

Поставленная задача описывается уравнением диффузии где (·) — дельта-функция Дирака.

Рассматривая правую часть уравнения как неоднородC(x, t) C(x, t) = D(x, t). (1) ность перепишем это уравнение в виде интегродиффеt x x 76 Б.А. Зон, С.Б. Ледовский, А.Н. Лихолет ренциального уравнения Если вместо (4) при выводе использовать соотношение (5), то вместо формулы (9) получим C(x, t) = dy Gb(x, y; t)F(y) +(Da -Db) C(x, t) = dy Ga(x, y; t)F(y) t l(t ) t C(y, t ) dt Gb x, l(t ); t - t Db - Da y y=l(t ) + dt dy Ga(x, y; t - t ) Db 0 2C(y, t ) C(y, t ) + dy Gb(x, y; t - t ). (7) - Ga(x, l(t ); t - t ), (10) yt l(t ) где Ga(·) отличается от Gb(·) заменой Db на Da.

Уравнения (9) и (10) могут быть сведены к интегральЗдесь Gb(·) — функция Грина параболического оператоным заменой ра C(x, t) P(x, t) =.

t - Db После дифференцирования уравнений (9) и (10) по t t t x получим с граничным условием (3). Явный вид этой функции хорошо известен [9] P(x, t) = dy G b(x, y; t)F(y) (x - y)t Gb(x, y; t) =(4Dbt)-1/2 exp - 4Dbt Da - Db + dt dy G b(x, y; t - t ) Da (x + y)0 l(t ) + exp -. (8) 4Dbt - G b(x, l(t ); t - t ) P(y, t ), (11) Для преобразования (7) учтем, что при x > l(t) P(x, t) = dy G a(x, y; t)F(y) функция C(·) удовлетворяет уравнению C 2C l(t ) t - Da = 0, Db - Da t x+ dt dy G a(x, y; t - t ) Db 0 из которого легко получить соотношения - G a(x, l(t ); t - t ) P(y, t ), (12) C 2C 1 C Здесь = - dx = - dx.

G(·) x x=l(t) x2 Da t G (·) =.

l(t) l(t) t Уравнения (11) и (12) являются основными для данного раздела. Для их вывода не потребовалось испольС помощью этих соотношений перепишем (7) в слезование условий сшивания на границе раздела фаз a дующем виде:

и b. При решении вариационным методом эти условия будут учтены выбором пробной функции. Таким образом, уравнения имеют достаточно общий характер. Поскольку C(x, t) = dy Gb(x, y; t)F(y) уравнения (11) и (12) являются математически разными формами записи одного уравнения, то это позволяет t при численном решении контролировать точность вычиDa - Db слений, сравнивая результаты, полученные для каждой + dt dy Gb(x, y; t - t ) Da формы записи.

0 l(t ) Отметим также, что при проведенном рассмотрении не была учтена возможность различия молярных объC(y, t ) - Gb(x, l(t); t - t ). (9) емов фаз a и b. Учет этого различия не изменяет сути t Журнал технической физики, 1998, том 68, № Моделирование некоторых гетерогенных процессов полупроводниковой технологии изложенного метода и может быть достаточно просто где выполнен. Это замечание относится и к разделу 2.

б) М е т о д и к а ч и с л е н н о г о р а с ч е т а. Численное Qa(x, t) = dy G b(x, y; t)F(y) решение уравнений (11) и (12) проводилось вариационным методом. При этом в разных фазах используется различная аппроксимация, а на границе раздела фаз t Da - Db учитываются условия сшивания + dt G b(x, y; t - t ) Da C l(t) - 0, t = C l(t) +0, t, 0 l(t ) C C - G b x, l(t ); t - t P(y, t ) dy - P(x, t).

Db =Da. (13) x x=l(t)-0 x x=l(t)+Для контроля точности вычислений минимизироваУсловия сшивания здесь записаны для полностью лась также норма уравнения (12) проницаемой границы раздела фаз. Предполагая, что в начальный момент времени примесь была распределена по гауссовскому закону Rb(t) = Q2(x, t) dx, b x - x0 F(x) =exp -, где аппроксимируем C(·) следующей пробной функцией:

Qb(x, t) = dy G a(x, y; t)F(y) exp - x-x0(t), x l(t), (t) C(x, t) =N(t) (14) x0(t) exp x l(t ) t, x < l(t).

(t) Db - Da + dt G a(x, y; t - t ) Db Эта функция зависит от пяти функций времени: N(t), 0 x0(t), (t), x0(t), и (t), из которых x0(t) и (t) считались независимыми, а N(t), x0(t), и (t) были опре - G a x, l(t ); t - t P(y, t ) dy - P(x, t).

делены численно из условий сшивания (13) и условия сохранения количества примеси Результаты вычислений зависят от соотношения коэффициентов диффузии фаз a и b и приведены в следующем разделе.

C(x, t)dx = F(x)dx = const.

в) Ч и с л е н н ы е р е з у л ь т а т ы и и х 0 о б с у жд е н и е.

1) Da Db. Типичным примером этого случая Вид пробной функции P(·) получен из соотношений может служить диффузия фосфора при образовании 2C(x, t) силицида титана TiSi. При T = 600C коэффициенты P(x, t) =Da, x l(t), (15) xдиффузии фосфора Da = DSi = 0.26 · 10-20 cm2/s, Db = DTiSi = 8 · 10-17 cm2/s [1,10]. Результаты расчетов 2C(x, t) P(x, t) =Db, x

Журнал технической физики, 1998, том 68, № 78 Б.А. Зон, С.Б. Ледовский, А.Н. Лихолет рис. 3. Рассмотрен случай Da = 0.26 · 10-20 cm2/s, Db = 0.5 · 10-20 cm2/s.

В частном случае, когда коэффициенты диффузии близки (|Da - Db| Da, Db), в теории возникает параметр малости. В этом случае уравения (9) и (10) могут быть решены методом последовательных приближений.

На этом вопросе мы здесь останавливаться не будем.

2. Влияние конечной скорости химической реакции на структуру границы раздела фаз Рис. 2. То же, что на рис. 1, для случая Da Db.

а) Ма т е м а т и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е п р о ц е с с а. Рассмотрим для определенности реакцию образования силицида, причем будем полагать, что силицид образуется в результате диффузии металла в кремний. Пусть до начала процесса металл занимал область x < 0, а кремний — область x > 0. Уравнение, описывающее процесс, запишем в следующем виде:

M M = DM + S, (17) t x x где M — концентрация свободных атомов металла;

DM — коэффициент диффузии металла, который в общем случае зависит от координаты и времени; S — плотность ”стока” атомов металла, связанная с возможностью обраРис. 3. То же, что на рис. 1, для случая Da Db.

зования силицида.

Краевое и начальное условия к уравнению (17) имеют обычный вид = x/ 4Dat0 — безразмерная переменная, имеющая смысл длины. Вертикальные пунктирные линии обознаM(0, t) =n0, M(x, 0) =0, x >0, (18) чают положение границы раздела фаз. При вычислении где n0 — плотность атомов в чистом металле.

считалось, что граница движется по параболическому Для вычисления величины S рассмотрим скорость закону. В единицах образования силицида. Пусть na — концентрация своt бодных атомов кремния, nb — концентрация силицида.

l(t) =.

t0 Тогда nb = knaM, (19) Плавный профиль распределения и накопления приt меси в фазе b есть результат большого отношения где k — постоянная скорости реакции.

коэффициентов диффузии Db/Da = 3 · 104. Подобное Здесь рассматривается простейший случай, когда поведение примеси наблюдалось экспериментально в устойчивый силицид имеет химическую формулу MeSi.

работах [11–13].

Отметим, что хорошо известный параболический режим 2) Da Db. Такая ситуация возникает при кинетики [5] возникает в пределе бесконечно быстро образовании силицидов металлов платиновой группы протекающих химических реакций, при k. Целью (Pd и Pt) для широкого класса примесей (P, As, Sb данного раздела является учет конечности величины k.

и др.) [11,13–15]. В качестве вычислительного примера Пренебрегая возможностью выделения или поглощения рассмотрены следующие значения коэффициентов дифтепла в процессе реакции, будем считать постоянную фузии: Da = 0.26 · 10-20 cm2/s, Db = 0.8 · 10-24 cm2/s.

скорости реакции k, равно как и коэффициент диффузии Результаты вычислений приведены на рис. 2. Видно, DM, не зависящими явно от времени. Легко видеть, что что этот случай соответствует вытеснению примеси из фазы b.

M nb S = = -, (20) 3) Da Db. Этот случай редко встречается в теории t t R диффузии примесей в полупроводниках, однако рассмотрен здесь, так как полученные результаты могут быть где (M/t)R означает изменение числа атомов металла полезны для решения других задач, например теории в некоторой малой области пространства, обусловленное теплопроводности. Результаты вычислений приведены на протеканием реакции.

Журнал технической физики, 1998, том 68, № Моделирование некоторых гетерогенных процессов полупроводниковой технологии Не учитывая изменения объема твердого тела в про- От интегродифференциального уравнения (26) можно цессе реакции, можно наряду с уравнением (19) записать перейти к дифференциальному, если ввести новую искосоотношение мую величину na + nb = na0, (21) f (, ) = g(, ) d.

где na0 — концентрация атомов кремния в ”чистом” кремнии.

Формула (21) выражает закон сохранения плотности Уравнение для f (, ) имеет вид уравнения Колмогоатомов кремния, имеющий место в отсутствие диффузии рова–Петровского–Пискунова кремния. Подставляя (21) в (19), получим f 2 f = + 2 exp(- f ) - 1, (27) nb =k(na0 - nb)M. (22) t f (0, ) =, f(, 0) =0. (28) Решение этого уравнения при условии nb(x, 0) = При этом дополнительное условие имеет вид f t g(, 0) = nb(x, t) =na0 1 -exp -k M(x, t ) dt. (23) удовлетворяется автоматически. Аналитическое решение краевой задачи (27), (28) можно получить в двух предельных случаях.

Подставляя это выражение в (20), (17), найдем урав1) Область f 1. Условия физической реализации нение для распределения свободного металла в области этой области будут выяснены ниже. Разлагая exp(- f ) x > в (27) в ряд и оставляя два члена, получим линейное уравнение M(x, t) M(x, t) = DM f 2 f t x x = - 2 f. (29) t Решение этого уравнения с дополнительными услови- kna0M(x, t) exp -k M(x, t ) dt. (24) ями (28) имеет следующий вид:

f (, ) = - exp(-) 1 + Уравнение (24) является нелинейным интегродиффе2 ренциальным уравнением, поэтому аналитическое иссле дование его вызывает значительные трудности. Суще - + + 2 ственное упрощение уравнения получается, если предположить, что коэффициент диффузии металла в чистом кремнии и в силициде одинаков. Именно этот случай мы exp() 1 - +. (30) и рассмотрим.

б) Аналитическое рассмотрение случая Здесь (·) — интеграл вероятности [9]. Формула (30) DM = c o n s t. Введем безразмерные переменные упрощается при 1. (31) na0 kn0 В этом случае 2 =, = kn0t, = x, n0 DM f (, ) 1 -. (32) M(, ) g(, ) = (25) nНетрудно видеть, что условие (31) возникает в начальи перепишем уравнение (24) и дополнительные усло- ный период протекания реакции вблизи границы раздела вия (18) металл–кремний. В этой области плотность атомов металла меняется по линейному закону g(, ) 2g(, ) = - 2g(, ) 2 g(, ) 1 -. (33) Как известно, интеграл вероятности весьма быстро exp - g(, ) d, (26) достигает асимптотического значения. Поэтому при выполнении условий g(0, ) =1, g(, 0) =0., > 2 (34) Журнал технической физики, 1998, том 68, № 80 Б.А. Зон, С.Б. Ледовский, А.Н. Лихолет формула (30) также упрощается При получении последних формул оценка последнего члена в (39) проводиласьследующим образом. После 8 422 -2 2 замены переменных /(2 - ) = s функция (·) f (, ) - exp -2 -, была разложена в ряд 3 2 2 2is2i+2 422 -1 2 (s) = exp(-s2) (42) g(, ) 1- exp -2 -. (35) (2i + 1)!! 2 i=Условия (34), а следовательно, и формулы (35) имеют и почленно проинтегрирована. Как и в случае (33), место вдали от границы раздела фаз силицид–кремний, плотность атомов металла в этом предельном случае где плотность атомов металла мала. Наконец, в области меняется по линейному закону.

Pages:     || 2 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.