WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 6 01;09;10 Амплитудная характеристика циклотронного резонанса © В.Н. Комаров Саратовский государственный университет, 410601 Саратов, Россия (Поступило в Редакцию 8 июня 2000 г. В окончательной редакции 8 ноября 2000 г.) Найдена кривая нелинейного резонанса при движении заряда в поле циркулярно поляризованной волны, распространяющейся вдоль постоянного однородного магнитного поля с фазовой скоростью u > c. Получены некоторые интегралы движения.

В однородном магнитном поле в присутствии элек- преобразований тромагнитной волны циркулярной поляризации, распроdp vz страняющейся вдоль поля с фазовой скоростью u = c, = 1 - eE cos, dt u резонансные эффекты рассмотрены в [1]. В этом случае циклотронная частота содержит интеграл движения d eE sin vz ecH 3 = - upz и остается постоянной. Здесь — = g - · 1 - +, полная энергия релятивистского заряда, pz —проекция dt p u импульса на направление постоянного однородного магнитного поля. Если u = c, то зависимость этой частоты = g -, = m2c4 + c2p2 + c2p2. (5) z от проекций импульса не образует интеграл движения и Полученная система уравнений позволяет найти амрезонанс становится нелинейным. Представляют интерес плитудную характеристику стационарных колебаний в некоторые закономерности движения заряда для этого поперечной плоскости.

случая.

1. Предположим, что постоянное однородное маг- 2. Из системы (5) исключим cos и sin, тогда нитное поле направлено вдоль оси z, H = (0, 0, H), 2 электромагнитная волна задана векторным потенциалом vz 2 dp 1 - · (eE)2 = u dt cE () =- ( sin - g j cos ), = t - kz, (1) 2 w -d vz ecH + + g 1 - + · p2. (6) — частота волны, k — волновое число, g — параметр dt u поляризации, тогда уравнения движения имеют вид При стационарных колебаних dp/dt = 0, dpx vz e d/dt = 0 [2], тогда = eE 1 - cos + vyH, dt u c 2 2 eE ecH dpy vz e = g + · p2. (7) = eE 1 - g sin - vxH, (1 - vz/u) dt u c dpz eE Здесь p — амплитуда установившихся колебаний. В ис= (vx cos + vyg sin ). (2) ходной системе уравнений (2) первое уравнение умноdt u жим на vx = pxc2/, второе —на vy, сложим полученные Первое уравнение исходной системы (2) умножим равенства. С привлечением третьего уравнения после на px, второе на py и сложим, тогда интегрирования найдем интеграл движения p2 + pd vz x y = 1 - eE(px cos + pyg sin ). (3) 3 = - upz. (8) dt 2 u Первое уравнение исходной системы умножим на py, Без постоянного магнитного поля он описан в [3], отсюда второе — на px. Вычтем второе, тогда dpx dpy vz -u3+ c22 +(u2-c2)(m2c4+c2p2)sign(u-vz) py - px = 1 - eE(py cos - pxg sin ) dt dt u pz =.

u2 - ce (9) + H(vypy + vxpx). (4) c После преобразований В поперечной плоскости перейдем к полярной системе c (1 - vz/u) = 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2)sign(u - vz) координат, так что px = p cos, py = p sin. После u 76 В.Н. Комаров уравнение резонансной кривой имеет вид eHu sign(u - vz) eE A2 = g+ ·p2, A =.

2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2) (10) Если поперечный импульс мал p mc, то возможно разложение, тогда получим уравнение слабо нелинейных колебаний [2,4] ecH sign(u - vz) A2 = g + 2 +(u2 - c2)m2c(u2 - c2)p 1 - · p2. (11) 2 2(u2 - c2)m2cДля u = c слагаемое с магнитым полем в (10) равно ecH/(3) и резонансная частота постоянна [5].

Из (9) следует ограничение на рост поперечного импульса p, если u < c. В дальнейшем считаем u > c, sign(u - vz) =1. Из уравнения резонансной кривой (10) dp2 2p2euH euH euH(u2 - c2)p2 -= g + -, d 2X X XX = 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2). (12) Производная обращается в бесконечность при двух значениях частоты (см. рисунок, a) euH 1 = 0, 2 = -2 - (u2 - c2)m2c2. (13) gX3 Из выражения для 2 следует, что резонанс возможен при условии eH/g < 0, например, для электрона e < и правополяризованной волны g = +1, распространяющейся по направлению постоянного магнитного поля H > 0. В интервале частот 1 <<2 возможно одно из трех значений установившейся амплитуды, для частот >2 значение амплитуды одно.

3. Уравнения движения (2) представляют систему a — общая форма и характерные частоты резонансной кривой;

обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняb — зависимость f (X) при значениях параметров: 1 — A = 0, ющимся аргументом, причем отклонение (запаздывание) H = 0; 2 — A = 2 · 10-17, H = 0; 3 — A = 2 · 10-17, зависит от времени. В общем случае их можно решать eH eH 2 = -10-7; 4 — A = 2 · 10-17, 2 = -5 · 10-7; c — k k методом шагов на отдельных интервалах времени [6].

расположение двух вещественных и двух комплексных корней Некоторые параметры движения можно получить из на комплексной плоскости.

интегралов уравнений (5). Из первого уравнения (5) выразим dt и подставим во второе. После преобразований откуда получим eH 2Ap sin = g(p2 - p2) +k(u2 - c2) d A sin A sin + dp p 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2) eH = g +, (14) k 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2) - 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2) + 2C.

3 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Амплитудная характеристика циклотронного резонанса Здесь p0 — начальное значение поперечного импульса, магнитного поля нарушает симметрию f (X), так как 2C = const. При u c слагаемое с H переходит в коэффициенты при нечетных степенях определяются его (p2 - p2)/(k3). Если постоянного магнитного поля нет значением. Для g = +1, e < 0 включение постоянноили в магнитном поле поперечный импульс мал p mc, го магнитного поля приводит к уменьшению значения то получим известный интерал левого максимума. Поле волны и постоянное магнитное поле оказывают разное действие на значения левого экс p +(e/c)() = const. тремума, если он достигается при X < a. В достаточно сильном магнитном поле левый максимум достигается В дальнейшем слагаемые с нижним пределом p0 при X > -a, тогда поле волны и постепенное магнитное включены в 2C. Объединяя интеграл 2C с первым поле уменьшают значение этого экстремума и увелиравенством системы (5), придем к соотношению на чение одного из них может привести к комплексным модуль поперечного импульса корням. На рисунке, b приведены зависимости f (X) для g = +1, H > 0, u = 1.5c, = 6.28 · 1010 rad/s, 2pdp/dt 2eH k = 1.4 rad/cm, 3 mc2, p0 = mc/10, 0 = 0, m = 4p2A2 - gp2 + (1 - vz/u) k(u2 - c2) и e — масса и заряд электрона. Численные данные в подписи к рисунку выражены в гауссовой системе единиц.

Обозначим действительные корни 4 <3 <2 <1.

2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2) +2C. (15) Вычисляя интегралы (18) для четырех действительных корней [9] и области 2 < X <1, получим С использованием продольного интеграла u2 vz t = 1 - =(u2 - c2)X/(3 · cu + u2X), (16) (u2 - c2) 1 - 3(2 - 4) u тогда 1 - 3F(, k) +(2 - 3),, k 1 - dX c 2 X - 2 = (u2 - c2) f (X), (17) dt u uc - 3 F(, k) + J1, (19) u где где f (X) =4A2(X2 - a2)(u2 - c2) (1 - 2)(3 - 4) (1 - 3)(X - 2) k2 =, sin2 =.

eH (1 - 3)(2 - 4) (1 - 2)(X - 3) - 2Cg(u2 - c2) +(X2 - a2) +2g X, k Здесь и дальше в аргументах k — модуль эллиптических функций. Константа J1 содержит нижние пределы интеa = 2 +(u2 - c2)m2c2.

грирования. В случае кратных корней 3 = 4 получим Без поля волны из (15) следует сохранение поперечut = ного импульса в постоянном магнитном поле. Уравнения (u2 - c2) вида (17) описывают изменение полной энергии [7] и 1 + 2 - 2X 2(3 - 3c/u) другие частные случаи движения релятивистских зарядов -2 arcsin + в поле поперечной волны [8]. После разделения перемен1 - (1 - 3)(2 - 3) ных решение получим в виде эллиптических интегралов (3 - 2)(1 - X) +(1 - 3)(X - 2) arcsin + J2.

X X (1 - 2)(X - 3) 2u2 XdX c dX t - t0 = - 3. (18) (20) (u2 - c2) u f (X) f (X) X0 XВ случае двух комплексных и двух вещественных корней с использованием известных подстановок [10] Их значения зависят от расположения корней на комполучим плексной плоскости.

4. Подкоренное выражение описывается алгебраичеµu2 1 + 2 c 1 - t = - 3 - F(, k) ской кривой четвертой степени, имеющей два максимума (u2 - c2) 2 u и один минимум. Возможны различные положения этой кривой относительно оси X. Четыре корня могут быть 1 - 2 2 1 - 2(1 - 2) +,, k + или все действительные, или два кратных действитель2 2 - 4 2 + k2 - 2 · kных и два различных действительных, или два действи(2k2 - 2k2 · 2 + 2) sin2 + 2 - тельных и два комплексно-сопряженных. При включении arcsin + J3.

поля волны значения f (X) увеличиваются для X < -a и 1 - 2 cosX > a и уменьшается для -a < X < a. Включение (21) Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 78 В.Н. Комаров Здесь или приближенно 1 - cos 1 1 - X 1 - X 2 +(2 - 3) sn2(, k), tg =, k2 = sin2, 1 - 2 cos 2 X - 2 в слабом поле волны еще 1 - 3 2 - 3, тогда 1 - b1 2 - btg 1 =, tg 2 =, c1 cX 2 +(1 - 2)sn2(, k). (25) 2 - 1 2 + = tg tg, 3 = b1 + ic1, 4 = b1 - ic1, Величина k2 содержит множители, составленные из 2 отношений ширины максимумов к расстоянию между µ = cos 1 · cos 2/c1.

ними и в слабом поле волны k2 0, тогда sn sin.

В общем же случае колебания негармонические. При 5. Интересна зависимость X(t), и требуется обраувеличении поля волны и корня 1 коэффициент при щение полученных выражений. Включение поля волны втором слагаемом в правой части (20) может быть мал.

приводит к расхождению корней 1 и 2, 3 и 4.

Тогда обращение для случая кратных корней приводит к Разность 1 - 2 характеризует изменение модуля позависимости перечного импульса и соответствует ширине правого максимума. Разность 1 - 3 характеризует расстояние 1 + 2 1 - 2 (t - J2)(u2 - c2) между одноименными сторонами максимумов f (X), так X - sin. (26) 2 2 2uчто (1 - 2)/(1 - 3) < 1 и неравенство выполняется тем лучше, чем слабее поле волны, тогда в (19) прибли- В случае комплексных корней упрощение можно позительно лучить, если 1 + 2 1 - 2, тогда в (21) µu2 1 + 2 c d t - 3 F(, k)+J3, 1 2, (, n, k) = F(, k) (u2 - c2) 2 u (1 - n sin2 ) 1 - k2 sin(22) 1 - cos 1 - X tg =.

и 2 1 + cos X - u2 Откуда t (u2 - c2) (1 - 3)(2 - 4) 1 + 2 1 - X + 2 c 2 - 3 F(, k) +J1. (23) u (t - J3)(u2 - c2) cn. (27) u2µ (1 + 2)/2 - 3c/u После обращения эллиптического интеграла первого рода [11] Здесь k t2(v) 1 - 2 1 - cn (, k) =, v =, X 2 - 3sn2(, k) 1 - sn2(, k), k t4(v) 2K 1 - 3 1 - (24) 1 9 t2(v) =2 h4 cos v + h4 cos 3v + h cos 5v....

где Если k 1, то cn cos, колебания происходят по (t - J1)(u2 - c2) = (1 - 3)(2 - 4), гармоническому закону. Из интеграла 2C можно найти 4u2(2 - 3c/u) циклотронный угол (t), зная зависимость z(t). Она определяется из условия vz = pzc2/ и интеграла 1 t1(v) sn(, k) =, v =, t4(v) 2K t k -3u + cX(t) 2 z(t) =z0 + c dt. (28) 1 1 · -3c + uX(t) K(k) = 1 + k2 + k4 +..., t2 2 2 · 1 9 Продольная координата z содержит линейную зави4 t1(v) =2 h4 sin v - h sin 3v + h sin 5v..., симость от времени и осцилляции, определяемые характером корней f (X). Причем для случая четыK (k) h = exp -, рех действительных корней дополнительный вклад в K(k) линейную зависимость даст постоянная составляющая, t2(v) =1 - 2h cos 2v + 2h4 cos 4v - 2h9 cos 6v..., содержащаяся в sn2. Она зависит от напряженности поля волны (25). Для корней других типов подобного K (k) =K(k ), k = 1 - k2 вклада нет. Аналогичные особенности проявляются и для Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Амплитудная характеристика циклотронного резонанса циклотронного угла (t). Соответственно X(t) возможны три различные зависимости (t), что согласуется с выводами [12].

6. При произвольной фазовой скорости волны u > c циклотронная частота зависит от проекций импульсов как euH/ 2 +(u2 - c2)(m2c2 + p2). На резонансной кривой для частот > 2 имеется одно значение установившейся амплитуды, для 0 < < 2 значение амплитуды одно из трех. Интегралы 2C, Ji, известный 3, так же как и исходная система уравнений, описывают движение заряда в импульсном пространстве.

Интегралы Ji определяются характером корней f (X).

Корни 1 и 2 определяют точки поворота в импульсном пространстве. Корень 2 слабо зависит от напряженности полей. Во всех случаях колебания негармонические.

В случае четырех вещественных корней после усреднения по периоду колебаний остается зависимость от напряженности поля волны для продольной координаты и циклотронного угла. Флуктуации полей или начальных условий сводит случай кратных корней к двум другим.

Список литературы [1] Болдырев Е.М. // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 2. С. 94–99.

[2] Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука, 1970. 447 с.

[3] Давыдовский В.Я. // Физика плазмы. 1979. Т. 5. № 2.

С. 446–448.

[4] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973.

208 с.

[5] Милантьев В.П. // УФН. 1997. Т. 167. № 1. С. 3–16.

[6] Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

М.: Наука, 1971. 295 с.

[7] Roberts C.S., Buchsbaum S.J. // Phys. Rev. 1964. Vol. 135.

N 2. P. A381–A389.

[8] Терновский В.В., Хапаев А.М. // ЖВМиМФ. 1996. Т. 36.

№ 6. С. 114–122.

[9] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 798 с.

[10] Бейтмен Г., Эрдейи А. Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. 299 с.

[11] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. III. Ч. 2. М.:

Наука, 1974. 672 с.

[12] Володин Б.А., Хапаев А.М. // ЖВМиМФ. 1987. Т. 27. № 2.

С. 245–251.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.