WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ческим распределением влетающих в линейный ускоСредний вклад в увеличение среднеквадратичного ритель с начальными поперечными амплитудами (x0, эмиттанса найдем, усреднив полученное выражение по x 0) когерентных бетатронных колебаний. Фокусирующие текущей фазе бетатронных колебаний µ в пределах элементы ускорителя предполагаются идеально устано(0.2). Учитывая, что в нашем приближении мы превленными по отношению к оси ускорителя. Пренебрегая небрегаем дисперсией амплитудной бетатронной функдисперсией амплитуды, бетатронные колебания частицы ции, для величины дисперсионного уширения эмиттанса сгустка с малым начальным относительным отклонением сгустка в ускорителе получим энергии 0 от равновесной (член xb в (3)) можно представить в виде a2 0 = - = 1 - exp(-µs ), (19) x(z, ) =xc(z, ) +x(x, ), (13) где и есть естественный и среднеквадратичный где текущие эмиттансы пучка.

Учитывая, что величина a2 соответствует площади 0 1/xc,(z, ) =a0, (z) начального центрального фазового эллипса, величина (z) уширения эмиттанса ограничена половиной площади эллипса когерентных бетатронных колебаний пучка cos [µ(z) +µ(z, ) - 0,], (14) 1 где a0, 0 определяют начальный центр тяжести сгустка max = xx2 + 2xx0x 0 + xx 2, (20) 0 на фазовой плоскости (x, x ), a, определяют начальные координаты частицы относительно центра сгустка.

где x, x, x есть параметры матрицы Твиса в начале Тогда текущий центр тяжести x и среднеквадратичный ускорителя.

1/размер x = x2 сгустка будут определяться как Заметим, что величина дисперсионного уширения пучсредние по энергетическому разбросу и начальным кока не зависит от естественного эмиттанса и при высокой ординатам частиц в сгустке степени расщепления пучка является критичным при ускорении пучков с малым вертикальным эмиттансом, так как машинный элллипс может значительно преx(z) = P0() x(z, ) d, (15) a, восходить естественный эмиттанс пучка. В дальнейшем мы будем предполагать, что начальный фазовый эллипс когерентных бетатронных колебаний совпадает с есте ственным фазовым эллипсом, или, другими словами, наx (z) = P0() x2(z, ) - x2(z) d, (16) a, чальные амплитуды (отклонение и угол) центра тяжести пучка лежат на односигмовом контуре (a2 = 0). На где P0() есть начальное некоррелированное распределе- рис. 2 приведены нормализованные фазовые эллипсы ние частиц по энергиям, которое мы будем предполагать частиц с разной энергией по мере их ускорения в основгауссовским со среднеквадратичным разбросом. ном линейном ускорителе SBLC. Как видим, по мере Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 78 В.М. Цаканов от начальной фазы когерентных бетатронных колебаний (рис. 3). Важное следствие состоит в том, что при этом центр тяжести пучка стремится к оси ускорителя и амплитуда когерентных бетатронных колебаний экспоненциально затухает со степенью дисперсионного расщепления пучка, что обусловлено затуханием Ландау [5].

Выражение для параметра затухания Ландау для некоррелированного начального гауссовского разброса частиц в сгустке по энергиям следует из формул (12), (17) 1 1 µ1 0 L(z) = µs = tg (1 - g). (21) 2 8 При малой степени расщепления пучка ( 1) величину дисперсионного уширения пучка можно приближенно оценить как µ1 0 2 2 2 tg2 (1 - g)2. (22) 2 На рис. 4 приведена динамика дисперсионного уширения эмиттанса пучка вдоль основного линейного ускорителя столкновителей SBLC и TESLA, описываемая формулой (19) (пунктир). Для сравнения сплошной кривой Рис. 2. Расщепление фазовых эллипсов частиц на инвариантпоказана также динамика уширения эмиттанса пучка при ной фазовой плоскости (x, x ) при когерентных бетатронных численном моделировании трассировки частиц в ускоколебаниях пучка в основном ускорителе SBLC. Показаны рителе. Отметим хорошее согласие результатов трека фазовые эллипсы равновесной частицы (сплошная линия) и частиц с аналитическим описанием. Сказанное также частиц с энергией больше (штриховая линия) и меньше (пунктирная линия) равновесной энергии. E, GeV: a — 3.15, b — 25, справедливо для величины затухания Ландау по мере c — 100, d — 250.

ускорения частиц. Таким образом, полученные формулы Рис. 3. Машинный фазовый эллипс (M) иактуальныйфазовый портрет пучка (A) после расщепления частиц на фазовой плоскости при когерентных колебаниях пучка в линейном ускорителе SBLC. E = 250 GeV.

ускорения частиц фазовые эллипсы расщепляются на фазовой плоскости, причем частицы с большей энергией Рис. 4. Относительное увеличение среднеквадратичного эмитзапаздывают по фазе, тогда как частицы с меньшей танса сгустка при когерентных колебаниях пучка. Сплошная энергией опережают по фазе равновесную частицу. Чакривая — результаты трассировки частиц, штриховая — анастицы сгустка стремятся заполнить машинный фазовый литическое описание. a — SBLC, 0 = 0.01; b —TESLA, эллипс когерентных бетатронных колебаний независимо 0 = 0.014.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Дисперсионное уширение эмиттанса пучка в линейных ускорителях электронов... можно считать точным аналитическим описанием некоррелированного дисперсионного уширения эмиттанса пучка при когерентных бетатронных колебаниях пучка в линейных ускорителях. Заметим, что при выполнении условий автофазировки частиц [8] ( = 0.5) существенно подавляется также некоррелированное дисперсионное уширение эмиттанса пучка, что видно из рис. для проекта столкновителя SBLC (пунктир). Заметим, что рассмотренный процесс дисперсионного уширения эмиттанса пучка при когерентных колебаниях обратим и, как показано в [17], увеличение эмиттанса пучка можно подавить при предварительном перераспределении частиц на фазовой плоскости в бездисперсионной Рис. 5. Эволюция площади среднеквадратичного возмущенноарке с положительной хроматичностью, располагаемой го машинного эллипса вдоль линейного ускорителя (трассировна стадии инжекции пучка в основной ускоритель.

ка частиц), усредненное по 100 наборам случайных отклонений линз от оси со среднеквадратичным значением 0.1 mm (1 — SBLC) и 0.5 mm(2 —TESLA). 3, 4 — аналитическое описание.

Возмущение центральной траектории и ее коррекция Теперь исследует возмущенную часть уравнения дви- мы воспользовались следующими соотношениями для жения, вызванную неточностью установки квадруполь- амплитудных функций симметричной ФОДО ячейки пеных линз вдоль ускорителя. Для начала рассмотрим риодичности [25]:

возмущение центральной траектории пучка с учетом 2Lc µ случайных отклонений квадрупольных линз от оси ускоmax + min =, KLqLc = 4 sin. (26) sin µ рителя. Как следует из (3), (5) и (6), частное решение уравнения движения, соответствующее возмущенной Заметим, что среднеквадратичное смещение линз свяцентральной траектории пучка ( = 0, x0 = 0, x 0 = 0), зано с допуском aq соотношением a2 = 3 x2. Как покаq q можно представить в виде зано в [20], выражение (25) для площади среднеквадратичного возмущенного фазового эллипса, определяемое (z) через основные параметры ускорителя, является точным xd(z) = KkLqkxqk kk (z) описанием среднеквадратичного возмущения центральk ной траектории при наличии некоррелируемых случай sin[µ(z) - µ(zk)], (23) ных отклонений квадрупольных линз от оси ускорителя.

На рис. 5 приведена эволюция площади возмущенного где величины с индексом k соответствуют их значениям фазового эллипса вдоль основного ускорителя проектов в k-й квадрупольной линзе.

SBLC и TESLA. Отметим, что среднеквадратичные знаМы предполагаем, что случайные отклонения линз от чения площади фазового эллипса сходятся к точному оси не коррелированы друг с другом и, следовательно, решению при усреднении трека частиц по 100 и более перекрестные члены не дают вклада в среднеквадратичнаборам случайных отклонений линз от оси ускорителя.

ное смещение центральной траектории ( xqkxql = При наличии начального некоррелированного энергепри k = l). Введя аналогично свободным бетатронным тического разброса частиц в сгустке неравновесные чаколебаниям частиц среднеквадратичный возмущенный стицы будут стремиться теперь заполнить возмущенный текущий фазовый эллипс пучка [20] фазовый эллипс ускорителя. Траектория неравновесной частицы с начальным энергетическим отклонением x x2 + 2x xdx d + x x 2 = A2, (24) d d тогда будет задаваться следующим выражением:

для площади возмущенного эллипса (деленного на ) (z) получим следующее выражение:

xd(z, ) = KkLqkxqk kk sin µ(z) - µ(zk) (z) k xµn q A2 = 16 n tg +µ(zk, z) + x(z, ), (27) Lc(z) n где 2 x0 µ1 1 q 0 µ1 1 k = 16 tg - 1. (25) µ(zk, z) =-20 tg 1 - (28) L2 2 2 - c Здесь x, x, x есть текущие параметры матрицы Твиса, есть смещение фазы бетатронных колебаний неравновесLc — длина ФОДО ячейки. При выводе выражения (25) ной частицы, вызванное k-й квадрупольной линзой.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 80 В.М. Цаканов Опять же предполагая начальное гауссовское распределение частиц по энергиям и проводя усреднение по энергиям и координатам частиц, для среднеквадратичного поперечного размера пучка мы получим следующее выражение:

1 (z) 2 x (z) = x2 Kk L2 kk q qk 2 (z) k 2 1 - exp(-µk) + (z), (29) где µk теперь есть смещение фазы бетатронных ко лебаний неравновесной частицы со среднеквадратичным отклонением энергии.

При определении среднеквадратичного размера пучка проведено усреднение также по текущей фазе µ(z) в пределах (0; 2). Отметим, что при проведении усреднения учтен тот факт, что траектория невозмущенного движения, усредненная по начальным амплитудам (a, ), равна нулю x = 0, а среднеквадратичное отклонение совпадает с текущим невозмущенным среднеквадратичным размером пучка x2 =. Пренебрегая вкладом в смещение фазы в пределах одной ячейки периодичности Рис. 6. Дисперсионное уширение эмиттанса пучка при возму(что оправдано при / 1), выражение для среднещении центральной траектории (сплошная кривая). Штрихоквадратичного размера пучка можно представить в виде вая — аналитическая кривая. a —SBLC, 0 = 0.01, µ = /2;

суммы по ячейкам периодичности как b —TESLA, 0 = 0.014, µ = /3.

x(z) µ1 q x (z) =8 tg n Lc (z) 2 n n квадрупольную линзу с погрешностью отклонения от 2 центра k-й линзы bk, а сама квадрупольная линза имеет 1 - exp(-µn) + (z). (30) случайное отлонение от оси ускорителя xqk. СмещеПереходя от суммирования по ячейкам периодичности ния элементов ускорителя считаем статическими. После к интегралу по энергии, хорошее приближение для измерения центра тяжести пучка в k-й линзе траеквеличины увеличения эмиттанса можно получить при тория последующих сгустков корректируется к центру малой степени расщепления пучка линзы с разрешимостью dk предыдущими дипольными корректорами. Таким образом, центральная траектория x 0 q опять возмущена, но не возрастает вдоль ускорителя, 32 0Lc а смещение центра тяжести пучка в k-й квадрупольной линзе xck после процедуры коррекции есть 2µ1 tg3 - 1. (31) 2 4 - 2 xck = xqk + bk + dk. (32) Отметим очень сильную зависимость дисперсионного Заметим, что все величины случайные и некоррелироуширения эмиттанса пучка от набега фазы за период ваны, а среднеквадратичное отклонение центра тяжести фокусирующей структуры µ1 и прироста энергии на пучка вдоль ускорителя есть ячейку периодичности. Для сравнения на рис. приведено относительное увеличение эмиттанса вдоль x2 = x2 + x2 + x2, (33) c q BPM RES основного ускорителя столкновений SBLC и TESLA.

Усреднение среднеквадратичных размеров пучка прове1/где x2 — среднеквадратичное отклонение квадруq дено по 100 наборам отклонений линз от оси ускорителя.

1/польных линз от оси ускорителя, x2 — средЯсно, что необходима коррекция центральной траектоBPM неквадратичное отклонение датчиков от центра линз, рии пучка вдоль ускорителя.

1/ x2 — среднеквадратичное значение разрешимости Рассмотрим коррекцию возмущенной центральной RES датчиков.

траектории вдоль ускорителя на основе измерения центра тяжести пучка и найдем среднеквадратичное диспер- Нетрудно показать, что по первому порядку малости сионное уширение эмиттанса пучка. Мы будем предпо- относительно энергетического разброса (0 1) смещелагать, что датчики положения пучка встроены в каждую ние неравновесной частицы относительно центральной Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Дисперсионное уширение эмиттанса пучка в линейных ускорителях электронов... квадрата относительного смещения неравновесной частицы, усредненной по текущей фазе и энергетическому разбросу, тогда имеем 1 x2(z) = x2 2(z) B 2 (z) 0 Kn L2 (n max + n min), (36) n qn n где величина x2 = x2 + x2 определяется только B BPM RES точностью установки корректоров относительно центра линзы и их разрешимостью.

Переходя к интегрированию, с учетом выражений для амплитудных функций (26) для относительного увеличения эмиттанса вдоль ускорителя мы получим следующее выражение:

x2 0 µ1 1 = 8 2 B tg · 1 -. (37) 0Lc Заметим, что коррекция центральной траектории приводит к существенному уменьшению размазывания пучка Рис. 7. Дисперсионное уширение эмиттанса пучка в лидаже по сравнению со случаем свободных когерентных нейном ускорителе после коррекции центральной траектории, колебаний пучка вдоль ускорителя. На рис. 7 приведено усредненное по 100 наборам смещений датчиков относительно центров линз и их разрешимости (сплошная линия). Средне- относительное увеличение горизонтального эмиттанса квадратичные значения смещения датчиков и их разрешимости:

пучка для проектов SBLC и TESLA при такой коррекции 0.1 и 0.01 mm (SBLC); 0.5 и 0.05 mm (TESLA). Штриховая центральной траектории. Опять же результаты трассилиния — аналитическая кривая.

ровки частиц усреднены по 100 наборам случайных отклонений центра тяжести пучка от оси линейного ускорителя. Поскольку вертикальный эмиттанс пучка, как обычно, намного меньше горизонтального эмиттанса, возмущенной траектории x = x - xc будет удовлетвото требования к точности установки квадрупольных линз рять следующему уравнению:

и системе коррекции в вертикальной плоскости намного жестче. При выполнении условий автофазировки частиц x + x +Kx(1-)x = Kx(xc-xq)-Gx(z), (34) ( = 0.5) опять же некоррелированное дисперсионное уширение эмиттанса пучка существенно меньше при где Gx(z) = ecB(z)/E = 1/s(z) — текущая кривизаналогичных параметрах корректирующей системы ускона возмущенной центральной траектории, возбужденной рителя (рис. 7, пунктир — проект SBLC).

дипольными корректорами.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.