WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

где di — характерные линейные размеры сечений. Следствием (6), (7) является Вынужденные колебания системы C C. (8) D13 D2 µРассмотрим вынужденные гармонические колебания системы. Пусть Таким образом, частотное уравнение (3) может быть приближенно представлено в виде u(0, t) =A sin( t), A = const. (14) 1 + cos(L1) ch(L1) 1 + cos(µL2) ch(µL2) Решением указанной выше задачи являются функции C u(x1, t) = P1 cos(x1) +P2 sin(x1) + sin(µL2) ch(µL2) - cos(µL2) sh(µL2) = 0.

D2 µ+ P3 ch(x1) +P4 sh(x1) sin( t), (9) Уравнение (9) имеет два спектра собственных частот.

Первый спектр определяет собственные частоты колебаv(x2, t) = Q1 cos(µx2) +Q2 sin(µx2) ний кантилевера + Q3 ch(µx2) +Q4 sh(µx2) sin( t), (15) 1 + cos(L1) ch(L1) =0. (10) 1 2 Второй спектр определяет собственные частоты коле- где =, µ =. Константы Pi, Qi опреD1 Dбаний наностержня с подпружиненным концом, ему деляются из граничных условий; они не приводятся соответствует уравнение здесь из-за громоздкости. Заметим, что знаменатели выражений для констант Pi, Qi обращаются в нуль, когда C частота вынужденных колебаний совпадает с одной из 1 + cos(µL2) ch(µL2) + sin(µL2) ch(µL2) D2 µсобственных частот системы n, определяемых уравнением (3). При значениях = n амплитуда колебаний - cos(µL2) sh(µL2) = 0. (11) кантилевера в рассматриваемой модели становится бесТаким образом, указанная проблема, связанная с иден- конечной, а в реальном эксперименте резко возрастает, тификацией спектров каждого из объектов при не очень что и позволяет фиксировать резонансные частоты, сильном допущении (8) оказалась разрешенной, так как совпадающие с собственными частотами системы.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 78 Е.А. Иванова, Д.А. Индейцев, Н.Ф. Морозов Эффект динамического уравнение (11) было получено из частотного уравнения системы (3) путем пренебрежения малыми величинами демпфирования колебаний C порядка, можно утверждать, что „антирезонансные“ DЭкспериментально можно фиксировать не только резчастоты n близки к собственным частотам системы n кое возрастание амплитуды колебаний, но и обращение и отличаются от них на малые величины указанного амплитуды колебаний в нуль. Последнее в системах с порядка.

распределенными параметрами, состоящими из нескольких тел, может иметь место в двух случаях: когда точка, в которой измеряется амплитуда, является узлом данной Анализ форм колебаний формы колебаний и когда происходит динамическое демпфирование колебаний одного тела на парциальной На рис. 2-5 приведены первые две формы колебаний частоте другого (зачастую это явление называют „ан- кантилевера при резонансе и „антирезонансе“. Резонанстирезонанс“). Поставим вопрос так: существуют ли ча- ные формы колебаний представлены на рис. 2 (здесь стоты вынужденных колебаний, при которых правый и далее по вертикальной оси отложены перемещения конец кантилевера, контактирующий с нанообъектом, точек кантилевера, а по горизонтальной — безразмерная остается неподвижным в любой момент времени От- координата x1/L1). Рисунок соответствует случаю одиветом на этот вопрос будет решение уравнения наковых резмеров кантилевера и исследуемого стержня.

При уменьшении размеров исследуемого стрежня форu(L1, t) =0. (16) мы колебаний кантилевера качественно не меняются.

Фиксировать резонансы с помощью АСМ достаточно Подставив в (16) выражение (15) для u(x1, t), после легко, единственным существенным недостатком метонесложных преобразований с учетом выражений для да является то, что резонансные частоты характериконстант Pi, Qi, получим уравнение зуют не исследуемый объект, а систему исследуемый 3 объект-кантилевер. В связи с этим исключительно AD1D2µ 2ch(L1) sin(L1) важен „антирезонанс“, так как он позволяет определить собственные частоты колебаний исследуемой нанострук+ 2sh(L1) cos(L1) +sh(2L1) +sin(2L1) туры. Форма колебаний кантилевера, соответствующая C 1 + cos(µL2) ch(µL2) + sin(µL2) ch(µL2) D2µ - cos(µL2) sh(µL2) = 0. (17) Решив уравнение (17), можно определить частоты n, при которых амплитуда колебаний правого конца кантилевера обращается в нуль. Нетрудно видеть, что (17) распадается на два независимых уравнения. Первое имеет вид 2ch(L1) sin(L1) +2sh(L1) cos(L1) + sh(2L1) +sin(2L1) =0. (18) Второе уравнение выглядит так:

C 1 + cos(µL2) ch(µL2) + sin(µL2) ch(µL2) D2 µ - cos(µL2) sh(µL2) = 0. (19) Уравнение (18) зависит только от параметров кантилевера и не представляет интереса; (19) зависит от параметров наностержня и жесткости связи между кантилевером и наностержнем. Именно оно определяет „антирезонансные“ частоты, при которых происходит динамическое гашение колебаний правого конца кантилевера. Заметим, что уравнение (19) в точности совпадает с уравнением (11), определяющим собственные частоты подпружиненного наностержня. Поскольку Рис. 2. Резонансные формы (L2/L1 = 1, h2/h1 = 1).

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов Рис. 5. „Антирезонансные“ формы (L2/L1 = 0.04, h2/h1 = 0.01).

Рис. 3. „Антирезонансные“ формы (L2/L1 = 1, h2/h1 = 1).

„антирезонансным“ частотам, — многоузловая. Количество узлов определяется порядковым номером формы и параметром µL2 D12 L2 E12 I1S2 L4 = =. (20) L1 D21 L1 E21 I2S1 LЕсли стержни имеют прямоугольные сечения размером hi ai, то µL2 E12 h1 L=. (21) L1 E21 h2 LЕсли стержни имеют произвольные сечения с характерными линейными размерами di, справедливы оценки µL2 E12 d1 L. (22) L1 E21 d2 LЕсли размеры кантилевера и исследуемого стержня одинаковы, первая „антирезонансная“ форма колебаний кантилевера — безузловая, а вторая имеет один узел (рис. 3). При уменьшении всех линейных размеров исследуемого стрежня в 10 раз значения „антирезонансных“ частот увеличиваются во столько же, а первые формы колебаний кантилевера становятся многоузловыми (рис. 4). Увеличение „антирезонансных“ частот может привести к тому, что они выйдут за рамки частотного диапазона измерительных приборов. При попытке зафиксировать „антирезонанс“ по многоузлоРис. 4. „Антирезонансные“ формы (L2/L1 = 0.1, h2/h1 = 0.1).

вой форме могут возникнуть приблемы, связанные с Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 80 Е.А. Иванова, Д.А. Индейцев, Н.Ф. Морозов тем, что луч лазера, который используется в оптиче- Список литературы ской системе регистрации отклонений АСМ кантиле[1] Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. // ДАН. 2001. Т. 381. № 3.

вера [11] — это не точка, а пятно конечного размера С. 825–827.

и при измерении определяется не амплитуда в точке, [2] Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. // ДАН. 2002.

а ее среднее значение на некотором участке стержня.

Т. 385. № 4. С. 494–496.

Если длина исследуемого стрежня уменьшается не столь [3] Дунаевский М.С., Grob J.J., Забродский А.Г. и др. // ФТП.

существенно, как характерные размеры его сечения, то 2004. Т. 38. Вып. 11. С. 1294.

значения „антирезонансных“ частот и количество узлов [4] Binning G., Quate C.F., Gerber C. // Phys. Rev. Lett. 1986.

на формах колебаний кантилевера увеличиваются не Vol. 31. P. 22–26.

[5] Gotsmann B., Fuchs H. // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86.

так быстро. Для иллюстрации этого факта достаточно P. 2597.

сравнить рис. 4, который соответствует случаю, когда [6] Rabe U., Janser K., Arnold W. // Rev. Sci. Inst. 1996. Vol. 67.

линейные размеры исследуемого стержня уменьшились N 9. P. 3281–3293.

пропорционально, с рис. 5, который отвечает случаю [7] Gibson C.T., Smith D.A., Roberts C.J. // Nanotechnology. 2005.

более существенного, но не пропорционального уменьVol. 16. P. 234–238.

шения линейных размеров исследуемого стержня. Таким [8] Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных образом, при определенных соотношениях параметров значениях. Введение в метод промежуточных задач Вайнкантилевера и исследуемого объекта формы колеба- штейна. М., 1970.

ний кантилевера позволяют использовать существую- [9] Принц В.Я. // Изв. вузов. Физика. 2003. № 3. С. 35–43.

[10] Prinz V.Ya. // Microelectronic Eng. 2003. Vol. 69. N 2–4.

щие лазерные устройства для фиксирования „антирезоP. 466–475.

нанса“.

[11] http://www.ntmdt.ru/SPM-Techniques/Principles/ AFM_mode2.html [12] Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. // ДАН. 2005. Т. 400. № 4.

Обсуждение результатов С. 475–479.

Вопрос об определении жесткостных характеристик наноразмерных объектов рассматривался в работе [12].

В данном случае изгибную жесткость наностержня можно определять как по резонансным частотам, воспользовавшись уравнением (3), так и по „антирезонансным“, воспользовавшись (19). Оба уравнения содержат два неизвестных параметра: изгибную жесткость наностержня D2 и жесткость связи иглы кантилевера с наностержнем C. (Параметры кантилевера известны; массу mи длину L2 наностержня можно измерить, погонная плотность для однородного стержня вычисляется по формуле 2 = m2/L2.) Если измерены две частоты (резонансная или „антирезонансная“), их значения можно подставить в соответствующие уравнения (3) или (19), в результате чего задача определения изгибной жесткости наностержня сведется к решению системы двух трансцендентных уравнений относительно двух неизвестных.

Следует отметить, что (19) проще уравнения (3) и, в отличие от уравнения (3), не содержит малого параметC ра. Таким образом, с вычислительной точки зрения Dметод определения изгибной жесткости наностержня по „антирезонансным“ частотам имеет преимущество.

Однако для повышения достоверности результатов имеет смысл воспользоваться двумя методами и сравнить полученные значения D2 и C.

Авторы благодарят А.В. Анкудинова и А.Н. Титкова за обсуждение работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 05-01-00094 и гранта президента РФ, проект МД-3475.2005.1.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.