WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

член учитывает пространственную диффузию кластеров, Второе слагаемое в правой части (4) учитывает Dc(a) — коэффициент диффузии. Поток кластеров, влияние кривизны поверхности кластеров на темперауходящих из зоны нуклеации, может быть сравним с туру ФП. Формула (4) при (q/C)a 1 описывапотоком в конфигурационном пространстве или даже ет динамику роста кластеров в кинетическом, а при превосходить его. Скорость ухода частиц из зоны нукле- (q/C)a 1 — в диффузионном режиме, лимитируации определяется временем c(a). При диффузионном емом скоростью отвода тепла с поверхности кластеров.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Самоорганизация пространственно неоднородных структур при объемной кристаллизации... Система уравнений (1)-(3) представляет собой силь- где нонелинейную систему с пространственно распределен s ными параметрами. Она составляет диффузионно-киa2 f (a) s k2 = 4 da, V = V ( Ts ), нетическую модель пространственной самоорганизации /q + a ансамбля растущих кластеров в процессах объемной кристаллизации переохлажденных бинарных систем.

Нелинейность, необходимая для возникновения проs s 0 = 4(1 - ) da a2V (a) f (a).

странственной неустойчивости, содержится в слагаемом, учитывающем изменение плотности функции распределения за счет скорости роста кластеров, зависящая в Из уравнения (6) для возмущений функции распредесвою очередь от функции распределения (через уравнеления кластеров имеем ния баланса температуры и концентрации растворенных компонентов).

f (, a) = k s (a)V (a) Анализ устойчивости пространственно a s d f (a ) однородных решений da (a ) (Tk + mLnk), (9) da 1 + (q/)a acr Исследуем устойчивость пространственно однородного режима кристаллизации, который задается решением где s s ( f, T, ns) системы уравнений (1)-(4), где все проa странственные производные равны нулю. Величины f, T + Dc(a )k2 + c-1(a ) и n представим в виде (a) =exp da s V (a ) s f = f (a) + f (x, a, t), acr s n = ns + n(x, t), T = T + T (x, t), (5) — интегрирующий множитель; acr = 2 T0/q T — где f (x, a, t), T (x, t) и n(x, t) — возмущения великритический радиус кластера. При a > acr кластеры s s чин f, T и ns.

устойчиво растут, а при a < acr — растворяются в поле s s Заметим, что явный вид решения ( f, T, ns) несущепереохлаждения. Кластеры не меняют свои размеры, ствен, важно лишь то, что характерное время эволюции если a = acr.

этого решения значительно больше характерного вреВыражение (9) совместно с уравнениями (7) и (8) сомени эволюции для возмущений f (x, a, t), T (x, t) и ставляет замкнутую систему уравнений для определений s n(x, t). Следовательно, решение ( f, Ts, ns) во времени s s Фурье — амплитуд возмущений решения ( f, T, ns) на меняется достаточно медленно по сравнению с масштаначальной стадии развития неустойчивости.

бами развития неустойчивости, и этими изменениями можно пренебречь.

Подставим выражение (5) в (1)-(4). Считая возмущеДисперсионное уравнение ния решения ( f, T, n) вида неустойчивости ( f, T, n) = f (, a), Tk(), nk() exp(t + ikx), k Для получения дисперсионного уравнения подставим ( — инкремент неустойчивости, k — волновое чисрешение (9) в уравнения (7) и (8). В результате приs s ло возмущений) малыми по сравнению с ( f, T, ns), ходим к системе линейных алгебраических уравнений линеаризуем получившиеся уравнения в окрестности относительно Tk и nk. Из условия разрешимости этой однородного решения. В результате приходим к системе системы получим следующее характеристическое уравуравнений нение для определения (k):

s ( + k2Dc + c-1) f + (V f ) k k a + k2 = - 1(k, ) s d nf (a ) = (Tk + mLnk), (6) C + kda 1 + (q/)a 1+ mL (1- )ns, (10) q + k2D - q s +(k2+ k2) Tk+ k2mLnk = 4 da a2V f, (7) 0 0 k где C C a + k2D +(1 - )mLns k2 - 0 nk 1(k, ) =4 da q (a) C s a +(1 - )ns k2Tk = 4(1 - )ns da a2V f, 0 k s + Dc(a )k2 + c-1 (a ) f (a ) q da.

s V (a ) /q + a (8) acr Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 78 Ф.Х. Мирзаде Дисперсионное уравнение (10) описывает неустойчи- Учитывая эти выражения в (12), имеем вость однородного состояния ансамбля растущих кла + k2 acr стеров при кристаллизации переохлажденных бинарных = k2.

+ Dck2 + c-1 0 4Vm(1 - ) систем. Неустойчивость возникает в определенном интервале волновых чисел возмущений и бифуркационного Подставив сюда явные формулы для и Vm, оконпараметра p (пропорционального переохлаждению T) чательно получим следующее дисперсионное уравнение (см. ниже).

неустойчивости:

Оценка интегралов, входящих в уравнение (10) для скорости роста кластеров V (a) вида (4) не представляет2 - b1(k2) + b2(k2) =0, (13) ся возможной. Поэтому ограничимся предельным случаем диффузионного режима роста кластеров, представля- где b1(k2) =p - ( + Dc)k2 - k2 - c-1, ющим наибольший практический интерес. В этом случае скорость роста лимитируется диффузионной кинетикой b2(k2) = (k2 + k2)(Dck2 + c-1) - pk2, вытестения примесей растущей поверхностью кластера, а также отводом тепла с их поверхности и определяется p =.

kBT0aформулой cr Tacr a Найдем условия, при которых происходит рост V (a) = - 1.

qa2 acr пространственно неоднородных флуктуаций f (x, a, t), T (x, t), n(x, t), отражающий неустойчивость ансамбля Кроме того, для простоты полагаем, что коэффициент кластеров относительно периода, снижающего симметдиффузии и время удаления кластеров не зависят от их рию системы.

размеров Dc(a) =Dc = const, c(a) =c = const. Тогда в Из (13) следует, что если управляющий параметр случае однокомпонентного расплава из (10) получим превышает некоторое критическое значение p > pcr, a то для каждого k2, удовлетворяющего неравенству s + k2 a2 f (a )(a ) k2 < k2 < k2, где k2 — корни уравнения = -4 da da s.

cr(-) cr(+) cr() (a) a V (a ) + Dck2 + c-b2(k2 ) =0, инкремент неустойчивости (+)(k2) > 0.

acr cr() (11) В интервале (kcr(-), kcr(+)) инкремент с ростом k сначала s Для (a) и f (a) имеем следующие выражения:

растет, при a > acr достигает максимума = m, а при k > km уменьшается.

(a + acr)Волновое число периодической структуры, соответ(a) =(a - acr) exp, 2aствующее m, определяется выражением cr acr 1/C0qa2 (a + acr)s 4cVm km = p - Dck2 - c-1. (14) f (a) = (a - acr)-( +1) exp -, 2Dc T 8acrcVm где Vm = V (2acr), =( + Dck2 + c-1)acr/4Vm.

Так как km — действительная величина, из (14) Изменив порядок интегрирования в правой части для критического значения управляющего параметра уравнения (11) представим его в виде следует pcr = Dck2 + c-1. (15) acr a s + k2 f (a)(a) a Таким образом, если p достигает критического зна= 4 da da s aV (a) (a ) + Dck2 + c-1 чения pcr, то в процессе кристаллизации развивается 0 неустойчивость (тьюринговского типа) с образованием пространственно организованных стационарных струкs f (a)(a) a тур из кластеров, а также периодических распределений - 4 da da.

s aV (a) (a ) высокотемпературных и низкотемпературных зон в сиacr стеме.

(12) Рассмотрим теперь случай двухкомпонентного расДалее учтем, что выражение 1/(a) при a = acr имеет плава. Действуя аналогичным предыдущему случаю обсингулярность, а с ростом аргумента уменьшается. Поразом, из (10) получаем следующее дисперсионное уравлагая приближенно (a) µ(a - acr), получим оценки нение:

a a 2 a2 (-1)1-2 (a - acr)1cr 3 + B1(k)2 + B2(k) + B3(k) =0, (16) da -, (a ) µ 1 - где B1(k) =- p +(Dc + D + )k2 + c- a 2 a2 (a - acr)1cr da -. C (a ) µ 1 - + k2 1 + mL(1 - )ns, q a Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Самоорганизация пространственно неоднородных структур при объемной кристаллизации... B2(k) =Dk4 + k2( + D)(p - Dck2 - c-1) в двухкомпонентном случае:

6Dc + k2 k2(D + Dc) +c-dL =. (20) p - Dck2 1 + mL(1 - )nsC/qD - c- C + mL(1 - )ns ( + Dc)k2 + c-1, q Как следует из проведенного анализа, процесс формирования пространственно-периодических структур клаB3(k) =k2 Dk2(Dck2 + c-1) стеров в процессе кристаллизации в переохлажденном расплаве носит стадийный характер. Если на начальной C + mL(1 - )ns k2(Dck2+ c-1) стадии процесса формирования структур кластеры расq пределены хаотически, и периодическая структура отсутствует, то, когда параметр накачки (или переохлажде+ Dk4(Dck2 + c-1 - p).

ние) превышает критические значения, определяемые Из анализа корней уравнения (16) с помощью кри(15) и (17), в системе происходит своеобразный ФП:

терия Гурвица, получаем, что пространственная самоороднородное распределение кластеров переходит в неодганизация в ансамбле частиц возможна при B3(k) < 0.

нородное, представляющее собой периодическую струкЭто условие выполняется, если контрольный параметр туру с масштабом, определяемым (19), (20).

превышает критическое значение p cr:

Развитие пространственно-периодической неустойчивости в системе растущих кластеров сопровождается 3 C p > p cr = Dck2 1 + mL(1 - )ns + c-1. (17) также ростом пространственных возмущений темпера2 Dq туры и концентрации примесей в объеме расплава с тем Границы области неустойчивых возмущений k2 при же пространственным масштабом. В результате после cr() кристаллизации в твердой фазе фиксируются периодичеэтом находятся из решения биквадратного уравнения ские структуры полей концентрации примесей и темпеC ратуры. О наблюдении пространственно-периодических k2 D(Dck2 + c-1) +mL(1 - )ns (Dck2 + c-1) q распределений примесей микронного масштаба при объемной кристаллизации ряда бинарных систем (Fe-Si, + Dk4(Dck2 + c-1 - p) =0, Fe-Cu) сообщается в работе [4].

Возникновению периодических структур способствует а максимальное волновое число km —из выражения увеличение поверхностного натяжения и времени жиз2 C ни кластеров, а также теплоты кристаллизации. Стаk2 = (p - c-1)D-1 - k2 1 + mL(1 - )ns.

m c 3 Dq билизирующее же влияние на развитие кинетической (18) неустойчивости оказывает диффузионная подвижность Характерное время развития неустойчивости при этом кластеров.

-составляет m = m (k2 ), m — максимальный корень m Физической причиной возникновения пространственуравнения (16).

ной неустойчивости является нелинейное динамическое Таким образом, при выполнении определенных условзаимодействие между системой растущих кластеров вий в системе хаотически распределенных частиц твери полем концентрационного переохлаждения в матридой фазы возможен переход в неоднородное состояние.

це, а также диффузионная подвижность кластеров в Причина возникновения такого состояния связана с координатном пространстве. Рассматриваемый ФП из тем, что благодаря пространственному диффузионнооднородного состояния в неоднородное носит кинетиму перемещению растущих кластеров дисперсионная ческий характер, так как определяется кинетическими зависимость (k2) приобретает вид кривой, имеющей характеристиками процесса кристаллизации (например, максимум. В ансамбле первоначально однородно раскоэффициентами диффузии кластеров Dc, и компоненпределенных кластеров на фоне однородных флуктуаций тов D, временем жизни кластеров c).

возникают неоднородные флуктуации с волновыми векПроведем численные оценки длины волны торами, близкими к km, нарастающие с максимальной периодических концентрационных структур для скоростью m. При этом скорость нарастания неоднобинарной системы Fe-Cu. При характерных родных флуктуаций значительно (на несколько порядзначениях параметров: N0 = 1018 cm-3, acr = 10-3 cm, ков) превышает скорость роста однородных флуктуаций.

Dc = 10-8 cm2/s, D = 10-5 cm2/s, = 0.01 cm2/s, В результате в среде формируется пространственно = 7.8g/cm-3, (Cu) =0.4, q = 2.8 · 109 erg/g, периодическая структура кластеров с характерным волmL(Cu) =-0.35 K, ns = 0.3%, = 2.04 · 102 erg/cm2.

новым числом k |k|m. Для периода неоднородных Тогда имеем km = 2 · 103 cm-1. Согласно (20), структур имеем в однокомпонентном случае:

для периода сверхструктур и максимального инкремента неустойчивости получаем соответственно 2 2Dc dL =, (19) dL = 3 · 10-3 cm и m = 10 s-1. Полученные оценки p - Dck2 - c-соответствуют экспериментальным данным [4].

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 80 Ф.Х. Мирзаде Заключение процесса генерации кластеров на стадии интенсивного роста новой фазы. Такая нелинейность может быть Таким образом, аналитическая модель пространственобусловлена экспоненциальной зависимостью скорости ной самоорганизации кластеров в процессе объемной возникновения кластеров от переохлаждения, опредекристаллизации переохлажденных бинарных систем, а ляемого полями температуры и концентрации приметакже концентрации компонентов и температуры двухсей. Благодаря наличию у кристаллизующихся систем фазной среды должна включать в себя взаимосвязанную собственных частот колебаний возможно резонансное кинетику нуклеации и роста кластеров, полей теми параметрическое возбуждение различных колебаний.

пературы и концентрации растворенных компонентов.

Это создает новые возможности для управления проОтличительная особенность рассматриваемой модели цессом кристаллизации путем воздействия на различные заключается в том, что она единым образом учитывает параметры процесса: например, на скорость поступления основные процессы, происходящие в процессе кристалв систему кристаллизующегося вещества, интенсивность лизации бинарных систем: рост и испарение кластеров в образования частиц новой фазы, скорость отвода частиц пространстве размеров, увлечение примесей растущими из системы, поверхностное натяжение.

кластерами, диффузионное перемещение кластеров в Автор выражает благодарность Л.А. Шелепину за координатном пространстве, уход кластеров из зоны обсуждение результатов.

нуклеации. Нарушение устойчивости пространственно однородного режима кристаллизации происходит за счет коллективных эффектов, присущих нелинейной полидисСписок литературы персной системе.

Линейный анализ устойчивости стационарных и про[1] Рэди Дж. Действие мощного лазерного излучения. М.:

странственно однородных распределений частиц позвоМир, 1971. 640 с.

лил определить условия существования периодических [2] Laser and Electron-beam Processing of Materials / Ed. by режимов кристаллизации бинарных систем и масш- C.W. White and P.S. Peercy. N.-Y.; Acad. Press, 1980. 769 p.

[3] Углов А.А., Смуров И.Ю., Лашин А.М., Гуськов А.Г.

таб формирующихся кристаллизационных неоднородных Моделирование теплофизических процессов импульсного структур. Необходимая для развития неустойчивости лазерного воздействия на металлы. М.: Наука, 1991. 288 с.

нелинейность обусловлена зависимостью скорости ро[4] Shiganov I.N. // Proc. SPIE. 2000. Vol. 3688. P. 211–220.

ста кластеров от функции их распределения (через [5] Галенко П.К., Харанжевский Е.В., Данилов Д.А. // ЖТФ.

переохлаждение), зависящей в свою очередь от дина2002. Т. 72. Вып. 5. С. 48–55.

мики изменения во времени размеров растущих ча[6] Wood R.F., Giles D.E. // Phys. Rev. B. 1981. Vol. 23. P. 2923– стиц. Пространственная неустойчивость распределения 2927.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.