WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 1 01;05 Коллективные возбуждения в системе компенсированных дислокаций 2 © Ш.Х. Ханнанов,1 С.П. Никаноров 1 Институт физики молекул и кристаллов Уфимского научного центра РАН, 450075 Уфа, Россия e-mail: imcp@anrb.ru 2 Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, 194021 Санкт-Петербург, Россия e-mail: nikanorov@pop.ioffe.rssi.ru (Поступило в Редакцию 17 апреля 2006 г.) Теоретически исследованы колебательные коллективные возбуждения в системе компенсированных дислокаций, возникающие благодаря дальнодействующим упругим полям, связанным с неоднородной дислокационной поляризацией. Получены аналитические выражения для дисперсионных соотношений.

Показано, что в случае винтовых дислокаций имеются две, а в случае краевых — три ветви коллективных возбуждений. В каждом случае для одной из ветвей характерно наличие пороговой частоты, зависящей от плотности дислокаций.

PACS: 61.72.Bb Теоретическое исследование эволюции и свойств дис- заряды появляются в результате дислокационной полялокационной структуры с учетом возможных коллектив- ризации (перераспределения дислокаций), что приводит ных эффектов — одна из актуальных задач в физике к дальнодействию и возможности коллективных колереальных кристаллических тел. Хорошо известным кол- бательных возбуждений. В последующем теоретическом лективным эффектом является дислокационное внутрен- рассмотрении мы будем опираться на указанную аналогию с электрически поляризующейся средой.

нее трение, на котором основан широко используемый метод экспериментального изучения субструктуры [1–3].

В существующих теориях внутреннего трения взаимо1. Постановка задачи действие колеблющихся дислокаций не учитывается, что оправдано только при малой плотности дислокаций.

Компенсированность дислокаций означает, что в равВ настоящее время в связи с интенсивным исследованиновесном (невозбужденном) состоянии системы тензор ем больших деформаций [4–6] необходимо изучить влиплотности дислокаций pl равен нулю яние дальнодействия дислокаций, которое может привоpl = 0. (1) дить к коллективным колебательным возбуждениям. Это необходимо не только для продвижения метода внутренУсловие (1) эквивалентно условию равенства нулю диснего трения в область высоких плотностей дислокаций.

локационного заряда. Если речь идет о прямолинейных Полученные здесь результаты могут найти применение параллельных дислокациях одного типа, то (1) означает при создании новых резонансных методов воздействия равенство плотностей положительных + и отрицательультразвуковыми полями на субструктуру материалов ных - дислокаций.

и процессы пластической деформации и разрушения в Макроскопической величиной, однозначно характених. Данная работа предпринята именно с такой целью.

ризующей макросостояние системы компенсированных Ниже будет рассмотрена система компенсированных (с дислокаций, является тензор дислокационной поляриравным нулю дислокационным зарядом) дислокаций, зации Pik [9]. Можно считать, что в невозбужденсостоящих из винтовых или краевых прямолинейных ном состоянии Pik = 0. При коллективном возбуждении дислокаций, движущихся в своих плоскостях скольже- Pik = Pik(r, t) есть функция от пространственного полония. Система винтовых дислокаций одного знака, образу- жения r и времени t. Пусть в качестве возмущающего ющих правильную суперрешетку, рассматривалась ранее фактора выступают упругие напряжения lm(r, t). Тогда в работе [7]. величина Pik(r, t), зависящая от значений lm(r, t ) во Кристалл с распределенными в нем дислокациями в все предшествующие моменты времени t < t, выражанекоторых отношениях сходен со средой с электриче- ется через интеграл скими зарядами. В частности, это сходство выражается в рассмотренном ранее [8] эффекте дислокационной поPik = iklm( )lm(t - )d, (2) ляризации. В системе компенсированных дислокаций в начальном невозбужденном состоянии дислокационные заряды и обусловленное ими дальнодействие отсутству- где iklm( ) — восприимчивость к дислокационной поляют. Однако при возбуждении системы дислокационные ризации. Интегральное соотношение (2) является частКоллективные возбуждения в системе компенсированных дислокаций ным случаем общеизвестного соотношения (см. (123.2) используя тензорную функцию Грина упругой задачи на с. 410 в [10]). Когда Pik(r, t) и lm(r, t) представляют Gik(r, t), получаем для ui(r, t) [9] собой гармонические функции от t, ui(r, t) = cklmnGik(r - r, t - t )Pmn,l(r, t )dr dt.

Pik(r, t) =Pik(r, ) exp(-it), (11) D lm(r, t) =lm(r, ) exp(-it), (3) Упругие дисторсии mn, источником которых является дислокационная поляризация Pmn, находятся путем вы(2) запишется в виде читания из полной дисторсии un,m тензора Pmn [9] Pik(r, ) =iklm()lm(r, ), (4) D mn = uT - Pmn. (12) n,m где iklm() — тензор дислокационной поляризуемости D D Внутренние напряжения mn связаны с mn законом Гука D D ik = ciklmmn. (13) iklm() = iklm( ) exp(i )d. (5) 0 Из (11), (12) получаем Напряжения lm(r, t) складываются из внешних (выD mn(r, t) =- ci jklG (r - r, t - t )Pkl(r, t )dr dt A D jn,im нуждающих) lm(r, t) и внутренних lm(r, t) напряжений A D lm(r, t) =lm(r, t) +lm(r, t). (6) - Pmn(r, t). (14) D В случае, когда mn(r, t) и Pmn(r, t) являются гармоничеОбозначим посредством Viklm(r, ) интегральный операскими функциями времени вида (3), имеем тор такой, что D D mn(r, ) =- ci jklG (r - r, )Pkl(r, t )dr jn,im lm(r, ) = Vlmpq(r - r, )P (r, )dr. (7) pq - Pmn(r, ), (15) Используя (6), (7), соотношение (4) можно представить в виде следующего интегрального уравнения относигде тельно Pik(r, ):

G (r, ) = G (r, t) exp(it)dt. (16) jn jn Pik(r, ) =iklm() Vlmpq(r - r, )P (r, )dr pq D Подставив (15) в (13), выражаем lm через P :

pq A + iklm()lm(r, ). (8) D lm(r, ) =clmpq -pr qs(r - r ) Решение (8) описывает вынужденные поляризационные - ci jrsG (r - r, ) Prs (r, )dr. (17) возмущения частоты в системе компенсированных jq,i p A дислокаций. При lm = 0 имеем Сопоставив (7) и (17), находим Pik(r, ) =iklm() Vlmpq(r - r, )P (r, )dr. (9) pq Vlmrs(r - r, ) = - clmpq pr qs(r - r ) + cqhrsGhq,gp(r - r, ). (18) Решениям (9) соответствуют коллективные собственные возбуждения.

Таким образом, уравнение (9) с учетом (18) принимает вид 2. Вывод и анализ уравнений Pik(r, ) +iklm() clmpq pr qs(r - r ) Установим явный вид уравнения (9). Динамическое уравнение теории упругости относительно смещений + cghrsGhq,gp(r - r, ) Prs (r, )dr = 0.

ui(r, t), обусловленных дислокационной поляризацией (19) Plm(r, t), записывается в виде [9] Дальнейшее рассмотрение проведем применительно к случаю, когда дислокации прямолинейны и принадi - ciklmum,kl = -ciklmPlm,k, (10) лежат одной системе скольжения. Выберем, как в [8], где — плотность тела, ciklm — упругие константы; прямоугольную систему координат x, y, z так, чтобы точка сверху обозначает дифференцирование по време- ось z совпала с направлением линий дислокаций, а y ни, индекс после запятой — дифференцирование по со- была нормальной к плоскостям скольжения. Кристалл ответствующей пространственной координате. Отсюда, считаем упругоизотропным. В этой специальной системе Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 76 Ш.Х. Ханнанов, С.П. Никаноров координат единственной отличной от нуля компонентой Поскольку мы рассматриваем прямолинейные дистензора Pik является P2k, а тензора iklm() — компо- локации, т. е. двумерную задачу, k =(k1, k2). Уравненента 2k2k(), где k = 1 в случае краевых и k = 3 —в ния (28), (29) с учетом (27) принимают вид соответслучае винтовых дислокаций. Будем считать дислокации ственно свободно скользящими в своих плоскостях скольжения, µ 2 которые перпендикулярны оси y. Тогда, согласно [8], 2 - 0 + i() + µk2 - имеем с учетом сил инерции и вязкости ( + µ)k2k1 P = P2k = b2(); (20) k2 - 4 = 0; (30) ( + 2µ)k2 - -() =2k2k = b2 L(), (21) µ 2 2 - 0 + i() + 0 = 0, (31) µk2 - где b — вектор Бюргерса дислокации, — полная где = B/M, плотность дислокаций, — смещение положительной b2µ дислокации в направлении оси x. Здесь L() определя0 =. (32) ется выражением M Если задаться единичным вектором n направления -L() =M2 + iB, (22) волнового вектора, полагая k = kn, то уравнения (30), (31) позволяют получить зависимость k = k() для где M — масса дислокации на единицу длины, B — коллективных возбуждений. Ввиду присутствия члена коэффициент трения. Предполагая, что зависит от r i() значение k() при действительной частоте и t как в плоской волне, будет комплексным: k = k + ik. Иными словами, имеет место затухание возбуждений, которое мало только в (r, t) =0 exp[i(kr - t)], (23) области достаточно высоких частот получаем из (19) с учетом (20)–(22) уравнение относи. (33) тельно амплитуды смещения дислокаций Однако, чтобы наблюдать интересные особенности спек тра коллективных возбуждений, надо фактически потре 0 L() +b2µ -1 + ci j21 G kik2 + G kik1 = j1 jбовать выполнения неравенства 0, т. е.

(24) в случае краевых и B b µM. (34) Как видно из (34), слабое затухание может быть до0 L() +b2µ -1 + ci j23 G kik2 + G kik3 = j3 jстигнуто при высокой плотности дислокаций или (25) малом B (например, в условиях сверхпроводимости, в случае винтовых дислокаций. Здесь Gi j = Gi j(k, ) — когда электронный вклад в B мал [12]).

трансформанта Фурье функции Грина по пространственПредполагая условие (34) выполненным и пренебреным координатам и времени гая затуханием (членом i), получаем из (31) дисперсионное уравнение в случае винтовых дислокаций Gi j(k, ) = Gi j(r, t) exp[-i(kr - t)]drdt. (26) (2 = ct k2) 2 2 2 4 - (0 + ct k2)2 + 0n2ct k2 = 0, (35) В изотропном случае имеем (см. (1.11) на с. 230 в [11]) где ct = µ/ — скорость поперечных волн. Биквадрат1 ( + µ)kik j Gi j(k, ) = i -, (27) ное относительно 2 уравнение (35) имеет два решения µk2 - 2 j ( + 2µ)k2 - 2 2 1,2 = 0 + ct kгде i j — символ Кронекера, µ — модуль сдвига, = 2µ/(1 - 2), — коэффициент Пуассона. Условия 1/ существования нетривиальных решений (23), (24) сво- 2 2 2 ± 0 + ct k2 - 40n2ct k2. (36) дятся к дисперсионным уравнениям Согласно (36), дисперсионная кривая = (k) состоит L() - b2µ 1 - ci j21(G kik2 + G kik1) = 0 (28) j1 j2 из двух ветвей. На первой 1 >0, причем при k в случае краевых и 2 2 1 0 + n2ct k2, (37) L() - b2µ 1 - ci j23(G kik2 + G kik3) = 0 (29) j3 j2 а при k соответственно 2 2 в случае винтовых дислокаций. 1 ct k2 + n20. (38) Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. Коллективные возбуждения в системе компенсированных дислокаций Рис. 1. Вид дисперсионных кривых в случае винтовых дислоРис. 2. Вид дисперсионных кривых в случае краевых дислокаций.

каций.

2 На второй ветви 2 <0. При k и его решения 2 1 1/2 n2ct k2, (39) 2 2,3 = c2k2 ± c4k4 - 4 f (n)c2ct k4. (48) l l l 2 а при k Из (48) следует, что при k 2 2 n20. (40) 1/1 1/Обе зависимости = 1,2(k) представлены схемати2,3 = c2 ± c4 - 4 f (n)c2ct k. (49) l l l чески в координатах (, k) на рис. 1 кривыми 1 и 2 соответственно, пунктиром изображены три асимптоты: из При f (n) =0 тангенс угла наклона 2(0) =cl, а них = 0 и = n10 — горизонтальные, = ctk — 3(0) =0. При максимальном значении f (n) = f = max наклонная.

=(c2 - ct )/c2 тангенс угла наклона 2(0) =ct = l l Полагая i = 0, получаем из (30) в случае краевых = 3(0). Зависимости 1,2,3(k) представлены схематичедислокаций (2 = ct k2, 2 = c2k2) l ски на рис. 2 кривыми 1, 2 и 3 соответственно. Пункти ром изображены асимптоты: = 0 и = f (n)0 — 2 2 2 6 - 0 + c2k2 + ct k2 4 + c2ct k4 + 0c2k2 l l l горизонтальные, = clk и = ctk — наклонные.

2 - 0 f (n)c2ct k4 = 0, (41) l 3. Обсуждение результатов где cl = ( + 2µ)/ — скорость продольных волн, f (n) — функция от n вида (максимум f = Как было показано выше, при выполнении условия max =(c2 - ct )/c2 =( + µ)/( + 2µ) < 1) слабого затухания (34) в системе компенсированных l l дислокаций возможны коллективные колебательные возc2 - ct буждения типа плоских волн поляризации (20), (23).

l f (n) =4 n2n2. (42) В случае винтовых дислокаций мы имеем две ветви возc2 1 l буждений (рис. 1), в случае краевых дислокаций — три Уравнение (41) является кубическим относительно 2 и (рис. 2). Кроме того, вид дисперсионных кривых зависит имеет три ветви положительных решений 1,2,3(k). При от направления волнового вектора n в плоскости xy.

k имеем При k 0 зависимости 2,3(k) k, т. е. ведут себя 1(k) clk; (43) подобно акустическим ветвям колебаний в кристалле.

При k 0 значение частоты 1(k) 0, что типично 2(k) ctk; (44) для оптических колебаний. Можно отметить некоторое сходство спектра коллективных возбуждений на рис. 3(k) f (n)0. (45) со спектром поляритонных возбуждений в диэлектриках При k (см. рис. 16 на с. 66 в [13]). Это сходство вполне 2 2 1(k) 0 + ct k2. (46) естественно, поскольку там и здесь дальнодействие с одинаковым законом спадания связано с поляризацией, Решения 2(k), 3(k) порядка k при k 0. В этом хотя и различной природы.

случае уравнение (41) принимает асимптотический вид Выше мы не учитывали наличие потенциального 2 4 - ct k22 + f (n)c2ct k4 = 0 (47) рельефа кристаллической решетки (рельефа Пайерлса).

l Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 78 Ш.Х. Ханнанов, С.П. Никаноров В случае возбуждений малой амплитуды это можно [4] Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение материалов. М.: Металлургия, 1986. 279 с.

учесть, как и в [9], путем замены 0 (0 + P), [5] Валиев Р.З., Александров И.В. Наноструктурные материагде P — частота колебаний одиночной дислокации, лы, полученные интенсивной пластической деформацией.

находящейся в долине потенциального рельефа решетки.

М.: Логос, 2000. 272 с.

Изложенные результаты относились к бесконечному [6] Буренков Ю.А., Никаноров С.П., Смирнов Б.И., Копыкристаллу. Мнимые упругие поля, связанные с наличием лов В.И. // ФТТ. 2003. Т. 45. № 11. С. 2017.

свободных поверхностей в конечном кристалле, будут [7] Косевич А.М. // ФНТ. 2004. Т. 30. № 3. С. 332.

существенными только тогда, когда средние по объему, [8] Ханнанов Ш.Х. // ФММ. 1992. № 6. С. 34.

равному объему кристалла V0, значения напряжений [9] Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. Киев:

в бесконечном теле отличны от нуля. Напряжения, Наукова думка, 1978. 220 с.

обусловленные поляризацией вида (20), (23), при ука[10] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статическая физика. Ч. 1. М.:

занном усреднении пренебрежимо малы, если величина Наука, 1976. 584 с.

волнового вектора k и линейные размеры кристалла L0 [11] Шермергов Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

удовлетворяют условию, [12] Динамика дислокаций / Под ред. В.И. Старцева. Киев:

kL0/2 1. (50) Наукова думка, 1975. 402 с.

[13] Давыдов А.С. Теория твердого тела. Киев: Наукова думка, Для алюминия b = 2.86 · 10-10 m, µ = 2.7 · 1010 Pa, 1976. 640 с.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.