WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 5 01;05 Энергетический подход к определению уровня мгновенной поврежденности © А.В. Каштанов, Ю.В. Петров Санкт-Петербургский государственный университет, 199034 Санкт-Петербург, Россия e-mail: kashto@mail.ru (Поступило в Редакцию 21 сентября 2005 г.) Построен вывод кинетического уравнения типа Качанова-Работнова из уравнения сохранения массы для случая изотропной повреждаемости. На основе энергетического баланса предложен способ оценки начального уровня поврежденности (мгновенной поврежденности). Это понятие сродни понятию мгновенной деформации, которая возникает сразу при приложении к образцу внешней нагрузки для испытаний на ползучесть или вязкоупругость. Используя мгновенную поврежденность в качестве начального условия для обычного эволюционного уравнения поврежденности типа Качанова-Работнова, удается более корректно описать диаграмму длительной прочности конструкционных материалов в сравнении с описаниями, применявшимися ранее.

PACS: 05.20.Dd, 62.20.Mk В 1958 г. Л.М. Качановым [1] было введено понятие Можно только сказать, насколько хорошо модель припараметра сплошности, характеризующего изменение ближает некоторый набор экспериментальных данных.

площади поперечного сечения образца при его разру- Конкретный вид функции f в соотношении (1) вышении в условиях ползучести. Под ползучестью пони- бирается исключительно из соображений наилучшего описания конкретных экспериментальных данных при мают неупругую деформацию, которая увеличивается помощи набора определяющих параметров: нагрузки, со временем под действием постоянного напряжения температуры, параметра повреждаемости, деформации при постоянной температуре. Время, в течение которого ползучести и т. п. Но смысл кинетического уравнения необходимо удерживать нагрузку для полного разрушеповреждаемости гораздо шире, оно тесно связано с ния образца, называется временем до разрушения.

одним из фундаментальных законов физики — законом Классическое кинетическое уравнение для случая изосохранения массы.

тропной поврежденности было предложено Ю.Н. РаботРассмотрим подверженный равномерному растяженовым [2] в виде d нию однородный образец и выделим в его средней = f (P, ), (1) части некоторый материальный объем. Обозначим массу dt объема через m, а его величину до деформирования — где — параметр повреждаемости (разрыхления) матечерез V0. Предположим, что в результате приложения к риала, t — время, P — величина постоянной приложенобразцу нагрузки F в выделенном материальном объеме ной нагрузки. Обычно принимают, что до приложения сформировались микроповреждения (поры, микротренагрузки материал бездефектен, т. е. начальное условие щины и т. п.) суммарным объемом V, за счет чего к для уравнения (1) записывается в виде данному моменту времени произошло деформирование образца. Таким образом, V определяет степень „разрых|t=0 = 0. (2) ления“ материала. После приложения нагрузки величина материального объема становится равной V = V0 + V.

В качестве критерия разрушения выбирается условие В результате образования микроповреждений происхоравенства параметра повреждаемости единице: поверхдит изменение локальной плотности. Выпишем закон ность разрушения занимает все поперечное сечение сохранения массы образца. Это условие позволяет определить время до 1 d разрушения образца t = -divv. (4) dt |t=t = 1. (3) Здесь v — скорость движения частиц материала. Введем Таким образом, основным направлением развития текущую локальную плотность континуальной теории повреждаемости является уточнение определяющих соотношений вида (1) по мере dm dm dV0 dm dV = = = 1 -.

накопления экспериментальных данных. Зачастую это dV dV0 dV dV0 dV приводит к увеличению количества вводимых структурdm Пусть 0 = — плотность материала до деформироных параметров и сложности получаемых уравнений dVdV повреждаемости. К сожалению, проверить правильность вания, = — безразмерный параметр, который хаdV той или иной модели повреждаемости невозможно. рактеризует относительный объем накопившихся в теле 72 А.В. Каштанов, Ю.В. Петров повреждений и является параметром повреждаемости материала. Тогда текущая локальная плотность может быть выражена как = 0(1 - ). (5) Подставив (5) в уравнение (4), получим d =(1 - )divv. (6) dt Таким образом, кинетическое уравнение повреждаемости типа (1) — это не что иное, как закон сохранения Рис. 1. Решение логистического уравнения при C = 2 и массы, записанный в терминах параметра повреждаемо- (0) =0.001.

сти. Естественно, что невозможность экспериментально го определения скорости движения частиц материала v заставляет выбирать ту или иную аппроксимацию для должна быть достаточно простой, чтобы обеспечить индивергенции скорости. Различные аппроксимации дают тегрируемость уравнения (6). Значит, при соответствуразличные уравнения повреждаемости.

ющем выборе аппроксимации можно построить вполне Например, раскладывая divv в ряд по степеням удовлетворительную модель, но для того чтобы эта модель корректно описывала экспериментальные данные divv = c0 + c1 + c22 +... (7) по длительной прочности необходимо учитывать еще один момент. Очевидно, что материал, используемый в и предполагая в простейшем случае отсутствие скорости объемного расширения материала в отсутствие повре- экспериментах, имеет некоторую начальную или мгно ждаемости divv|=0 = 0. т. е. c0 = 0, имеем венную поврежденность, т. е. поврежденность, возникающую сразу при приложении к образцу внешней нагрузки d во время испытаний на длительную прочность. Обычно = c1(1 - ) f (). (8) dt этим пренебрегают, выбирая в качестве начального условия для кинетического уравнения повреждаемости В частном случае f () =const, выражение (8) — условие (2). Но, оказывается, что правильный учет уровэто известное в синергетике простейшее логистическое ня мгновенной поврежденности материала позволяет уравнение более корректно описать экспериментальные данные по d = C(1 - ). (9) длительной прочности.

dt Как же можно учесть мгновенную поврежденность В теории накопления повреждений подобные уравнеДля этого необходимо решить задачу о накоплении ния часто используются для различных диффузионных повреждений. Несмотря на то что аналитическое решемоделей [3]. На рис. 1 приведен пример решения уравнение этой задачи не может быть получено при помощи ния (9) при C = 2 и начальном условии (0) =0.001.

доступного нам математического аппарата, в простых Видно, что параметр может рассматриваться как случаях ее можно решить приближенно при помощи характеристика перехода от неповрежденного (слабо уравнения энергетического баланса Гриффитса.

поврежденного) состояния к состоянию полного локальПусть упругая плоскость растягивается на бесконечного разрушения материала.

ности равномерной нагрузкой величины p вдоль оси y.

k Можно ввести зависимость f = A, где A и k — Под действием этой нагрузки по всей оси x образуется некоторые коэффициенты, и пусть P = F/S0, S0 — поверхность разрушения, представляющая собой набор начальная площадь поперечного сечения образца, = микротрещин. Ее можно смоделировать периодической = P/(1 - ) — локальное среднее напряжение в рассистемой трещин (рис. 2). В силу симметрии задачи сматриваемой точке образца. Тогда уравнение (8) принимает вид d CPk =, dt (1 - )k-где C = Ac1 — некоторая постоянная.

Таким образом, уравнение вида (1), вводимое в теориях типа Качанова-Работнова на основе обобщения экспериментальных наблюдений, может быть легко получено из общих соображений. Однако, как уже было сказано, конкретный вид этого уравнения зависит от выбора аппроксимации для дивергенции скорости движения частиц материала. Причем эта аппроксимация Рис. 2. Периодическая система трещин.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Энергетический подход к определению уровня мгновенной поврежденности можно рассматривать разрушение внутри произвольной, Введя обозначение b = tan-1(l/d0) =tan-1(/2) и достаточно широкой полосы — d/2 x d/2. новую переменную t = b tan(x/d0), интеграл (14) можПусть длина одной трещины равна 2l, период систе- но переписать в виде мы — d0 и в рассматриваемую полосу попало N трещин суммарной длиной 2lN. Тогда нетрудно видеть, что bd0 1 + b2 + 1 - t2 dt J(l, ) = ln. (15) 1 + b2 - 1 - t2 b2 + tNd0 = d (10) и среднее напряжение, действующее внутри полосы при Таким образом, с учетом (13) и (15), работа по данной нагрузке p, раскрытию одной трещины может быть определена по формуле pd cp =. (11) p2d0(1 - ) d - 2lN W1 = - F(), (16) 2µ Введя обозначение где 2l =, (12) bdF() = (1 - ) 1 + bполучим cp = p/(1 - ). Очевидно, что полное разрушение произойдет, когда „макротрещина“ (совокупность трещин периодической системы) займет всю ширину 1 + b2 + 1 - t2 dt ln ;

этой полосы, а cp обратится в бесконечность. Другими 1 + b2 - 1 - t2 b2 + tсловами при = 0 материал бездефектный, при развитии разрушения растет за счет увеличения числа периили, принимая во внимание (10), одов N внутри полосы и одновременного увеличения относительных длин трещин 2l/d0 внутри этих периодов.

p2d(1 - ) F() W1 = -. (17) Затем, когда близко к единице, маленькие трещины 2µ N2() начинают объединяться, т. е. количество периодов при больших убывает, а при = 1 происходит разрыв по- Значит, работа по раскрытию всех трещин, распололосы — это и есть критерий разрушения. Таким образом, женных внутри полосы шириной d, равна величина, определяемая формулой (12), может быть p2d(1 - ) F() интерпретирована как параметр повреждаемости [1,2,4].

W = W1N() =-. (18) 2µ N() Решение задачи с одной трещиной в полосе периода может быть получено из решения задачи ВестергарФормула (18) позволяет определить работу по расда [5] с помощью замены комплексной переменной крытию трещин, появившихся в полосе шириной d под z tan(z /d0). Раскрытие берегов каждой трещины действием нагрузки величины p. Логично предположить, выражается формулой что эта работа зависит только от структуры материала и приложенной внешней нагрузки, и не зависит от конpd0(1 - ) 1 + U(l, x) uy = ln, кретной реализации периодической системы трещин, т. е.

1 - U(l, x) 2µ 1 + tan2(l/d0) F() где = c, (19) N() tan2(l/d0) - tan2(x/d0) U(l, x) =.

где c — некоторая положительная величина, не завися1 + tan2(l/d0) щая от. Из рис. 3 видно, что в этом случае сформуЗдесь µ = E/2(1 + ) — модуль сдвига, E —модуль лированное выше предположение о связи между числом Юнга, — коэффициент Пуассона. Следовательно, периодов системы N и параметром поврежденности работа напряжений cp на перемещенных uy, т. е. работа действительно удовлетворяется.

по раскрытию одной трещины Итак, работа по раскрытию трещин, появляющихся в полосе шириной d в результате действия постоянной l нагрузки величины p, определяется формулой W1 = - cpuy |y=0dx -l p2d(1 - )c W = -. (20) 2µ p2d0(1 - ) = - J(l, ), (13) При этом в соответствии с (10) и (12) поверхностная µ(1 - ) 1 + tan2(/2) энергия системы изменяется на величину где l = -4lN = -2d, (21) 1 + U(l, x) J(l, ) = ln dx. (14) 1 - U(l, x) где — плотность поверхностной энергии.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 74 А.В. Каштанов, Ю.В. Петров баланса энергии Гриффитса удалось построить зависимость между приложенной нагрузкой и уровнем мгновенной поврежденности.

Заметим, что для рассматриваемой задачи о периодической системе трещин можно легко построить фрактальную интерпретацию, моделируя совокупность трещин, образующихся на оси x, разреженным (lacunar) фракталом размерности 0 D 1.

В соответствии с [6] длина фрактальной трещины внутри полосы d/2 x d/2 равна Рис. 3. Связь между числом периодов системы трещин и параметром поврежденности.

L =(d/d)Dd. (26) где d — масштаб измерения длины. Для каждого уровня нагрузки она должна совпадать с суммарной длиной трещин периодической системы внутри рассматриваемой полосы, т. е. 2lN = L, тогда из (10), (12) и (26) следует, что 2l d D- = =. (27) d0 d В соответствии со сформулированным выше критерием разрушения, полное разрушение произойдет, когда станет равным 1. Как и следовало ожидать, в соответствии с формулой (27), в момент разрушения размерность трещины D тоже будет равна 1, т. е. сиРис. 4. Зависимость фрактальной размерности поверхности стема трещин будет представлять собой прямолинейный разрушения и параметра поврежденности от величины прилоразрез во всю ширину полосы.

женной нагрузки.

Теперь, сравнив формулы (25) и (27), получим lg(p/B) D = 2 + 1. (28) Тогда в соответствии с уравнением баланса энергии lg(d/d) Гриффитса W = (22) Выражение (28) дает возможность рассчитать фрактальную размерность D поверхности разрушения, оббудем иметь разующейся в материале под действием растягивающей 22µ p2 =. (23) силы, которая определяется исключительно величиной p d(1 - )c приложенной нагрузки (рис. 4).

Формула (23) позволяет однозначно связать параметр Таким образом, как и задачи о распространении повреждаемости, соответствующий некоторому разрутрещин, задачи о накоплении повреждений допускают шению, с величиной нагрузки p, которую необходимо естественную фрактальную интерпретацию.

приложить, чтобы реализовать это разрушение. При Вернемся к модели повреждаемости типа Качаэтом в соответствии с критерием разрушения в момент нова-Работнова. Рассмотрим кинетическое уравнение разрыва полосы ( = 1) ставится естественное условие повреждаемости (1) в простейшемвиде [1–4] p|=1 = B, где B — временная прочность материала.

Из этого условия определяется постоянная c:

d Apk =, (29) dt (1 - )k+22µ c =. (24) B d(1 - ) где A и k — некоторые коэффициенты. Время до разрушения образца t будем по-прежнему определять Таким образом, получается простое соотношение, свяисходя из соотношения (3), но в качестве начального зывающее приложенную нагрузку с уровнем поврежденусловия для уравнения (29) при t = 0, в соответствии ности материала, соответствующим этой нагрузке, с уравнением баланса энергии, будем рассматривать соотношение (25), т. е. считаем, что при приложении наp =. (25) грузки величины p уровень поврежденности материала B мгновенно, в рамках статической теории, возрастает до Итак, в простейшей задаче континуальной механики разрушения, смоделировав развитие повреждений пе- p|t=0 =. (30) риодической системой трещин, с помощью уравнения B Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Энергетический подход к определению уровня мгновенной поврежденности Видно, что при малых нагрузках, а значит, больших временах до разрушения, когда начальные условия (30) и (33) практически совпадают, формулы (31) и (32) принимают вид (34). Это обусловливает то, что „классическая“ прямая является касательной к графику, полученному с учетом уровня мгновенной поврежденности.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.