WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 12 01;10;12 Характеристики многополюсных линз с идеальной центральной частью полюса © В.В. Вечеславов, О.В. Григорьева Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера РАН, 630090 Новосибирск, Россия e-mail: vecheslavov@inp.nsk.su (Поступило в Редакцию 23 марта 2001 г.) Описывается использующий технику конформных отображений метод вычисления потенциала и поля многополюсных линз, у которых центральная часть полюса образована идеальной кривой. Проводится сравнение характеристик таких линз с линзами, профиль которых является многоугольником. Показано, что при относительно широких полюсах профили с идеальной центральной частью обеспечивают более высокое качество поля, чем многоугольные.

Введение мер этой части и геометрия шиммы подбираются так, чтобы обеспечить высокое качество поля. В раздеВ современной технике формирования и транспорти- ле 3 приводится сравнение обоих типов линз и для ровки потоков заряженных частиц наряду с широким каждого из них определяется своя область применииспользованием квадрупольных линз (число пар полюсов мости.

P = 2) применяются также секступоли (P = 3) и Надо заметить, что качество создаваемого линзой поля октуполи (P = 4) [1–3]. Качество создаваемого линзой принято в общем случае оценивать двумя показателями:

поля, требования к которому в последние годы заметно максимальным (в пределах рабочей апертуры) отклонеужесточились, в решающей мере определяется геоме- нием поля от идеального и/или величиной амплитуды трической формой полюса. Для любой P-линзы можно первой неосновной гармоники потенциала. Поскольку указать теоретический профиль, дающий ”идеальное” сегодня нет ясности, какой из этих показателей важнее, поле: линейное для квадруполя, квадратичное и кубиче- мы проводим оптимизацию по каждому из них отдельно ское для секступоля и октуполя соответственно. Однако (раздел 3). Ниже предполагается, что выполнены обычидеальные профили, как известно, не могут быть выпол- ные для аналитических методов условия: линза длинная, нены (они не оставляют места для размещения обмотки имеет место полная симметрия и не учитывается насыщение железа.

и замыкания потока), поэтому создаваемые реальными линзами поля всегда содержат наряду с основной нежелательные высшие гармоники [2,3].

1. Отображения сектора линзы В практике поиска ”хороших” профилей [2–4] четко обозначилась тенденция строить линзы двух типов:

На рис. 1 в качестве примера показан сектор ква1) оборванный идеальный профиль заменен подходящим друполя, где центральная часть полюса является идеприближением (например, частью окружности) и2) проальной кривой — гиперболой. Здесь нельзя, как это филь линзы является (или допускает аппроксимацию) делалось в [5], представить эту фигуру многоугольником, многоугольником.

поскольку замена гиперболы ломаной с относительно Первая удачная попытка расчета линз второго типа небольшим числом вершин грубо исказит картину поля.

сделана в работе [4], где с помощью конформных отоПредлагается поступить следующим образом. Можно бражений был найден плоский профиль квадрупольной показать (см. Приложение 3 в [5]), что функция линзы с подавленной шестой (первой неосновной) гар(z) =(z) +i(z) =(z exp(-iP))P, моникой потенциала. Заметим, что число подлежащих определению вершин многоугольника при этом было P = (P - 2)/4P (1) равно всего двум. Использованная в [4] техника вычислений получила недавно значительное дальнейшее отображает сектор идеальной — линзы на полосу (двуразвитие в работе [5], что дало возможность аппрокси- угольник) в плоскости промежуточной переменной.

мировать сектор линзы (принадлежащая одному полюсу Экспоненциальный множитель в (1) введен для того, часть поперечного сечения) многоугольником с числом чтобы сделать биссектрису первого квадранта = /вершин до десяти и более.

на плоскости z линией симметрии сектора линзы при В настоящей работе мы продолжаем начатую в [5] любом числе пар полюсов P. Если применить предеятельность по расчету многополюсных линз и рас- образование (1) в отношении сектора реальной P-линзы, сматриваем линзы первого типа, где центральная часть то на плоскости возникает замкнутая фигура, у кополюса строго следует идеальной кривой. Угловой раз- торой центральная часть — точный образ идеального Характеристики многополюсных линз с идеальной центральной частью полюса виде [5,6] M () =C0 (2 - a2 )md + C1, (2) m 0 m=где m = m - 1, m — измеренные в долях внутренние по отношению к области углы; am —точки вещественной оси u плоскости, являющиеся образами вершин многоугольника Am.

Процедура выполнения конформного отображения полностью совпадает с описанной в [5] для многоугольного профиля, что позволяет найти все входящие в отображение (2) параметры. Вместе с тем построение распределений потенциала и индукции, а также вычисление спектра потенциала (см. Приложение) из-за наличия промежуточного преобразования на плоскость выполняется по-другому.

2. Распределение потенциала и индукции магнитного поля Рис. 1. Сектор квадруполя с идеальной центральной частью полюса. Толщина линий соответствует распределению скалярКомплексный магнитный потенциал P-линзы на проного потенциала по границе сектора.

межуточной плоскости можно представить в форме ряда [5] P() =D() +iF() =p0 1 + pn2n, (3) n где D() и F() — векторный и скалярный магнитные потенциалы соответственно [2].

Мы работаем со скалярным потенциалом F(), распределение которого по сектору линзы показано на рис. 1: на поверхности полюса F = 1 (жирная линия), в области обмотки величина потенциала спадает до нуля (линия меняющейся толщины) и равна нулю на всей остальной границе сектора (тонкие линии). Отображение (2) позволяет перенести это распределение на действительную ось u плоскости. Вычисления показывают, что участок обмотки весьма мал и истинное Рис. 2. Образ сектора линзы (рис. 1) на промежуточной распределение F(u) можно с хорошей точностью замеплоскости. Штриховая кривая — отображение с помощью нить эквивалентным прямоугольным (рис. 3, b в [5]) функции (1), сплошная — аппроксимация этого отображения многоугольником.

F(u) =1, -ab u ab; F(u) =0, |u| > ab. (4) При отображении плоскости на промежуточную плоскость мнимая полуось 0 v < переходит в участка профиля, т. е. отрезок горизонтальной прямой, отрезок 0 < < 1 мнимой оси, который в свою а остальные звенья в общем случае кривые (рис. 2).

очередь является образом отрезка единичной длины от Эту фигуру можно достаточно аккуратно представить центра линзы до центра полюса x = y = 1 2 на многоугольником с общим числом вершин 2M + 1, плоскости z (рис. 1).

поскольку такая аппроксимация задевает только перифеПотенциал F(u, v) в любой точке верхней полуплосрию линзы.

кости и распределение потенциала F(v) вдоль поОтображение верхней полуплоскости комплексной пелуоси 0 v <, записанные в переменных u, v, ременной = u + iv на этот многоугольник осуществля- даются формулами (9) и (10) в работе [5]. Описанная ет интеграл Кристоффеля–Шварца, который с учетом там техника построения распределений индукции вдоль симметрии рассматриваемой области записывается в биссектрисы линзы и вдоль границы ее сектора также 5 Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 68 В.В. Вечеславов, О.В. Григорьева полностью применима к рассматриваемому случаю. Од- Входящая в последнее выражение зависимость u() нако возврат на исходную плоскоть z должен включить определяется уравнением (оно получено заменой s в себя переменные промежуточной плоскости, поэтому в формуле (20) из [5]) распределения индукции при идеальной центральной M части полюса несколько отличаются от полученных в [5] du = (u2() - a2 )-m. (10) для многоугольного профиля. m d |C0| m=Входящая в распределение потенциала F(v()) вдоль полуоси 0 v < зависимость v от промежуточной Окончательно распределение индукции на границе переменной определяется уравнением (оно получено сектора линзы дается выражением заменой p в формуле (12) из [5]) du d 2ab P M B(s) =Bv(u, 0) = dv d ds |C0| - au2() = - (v2() +a2 )-m. (5) m b d |C0| m=M Распределение индукции на единичном отрезке от [u2() - a2 ]-msP-1 (11) m центра линзы до центра полюса на исходной плоскости z m=с учетом равенства = P задается формулой и вычисляется совместно с (10). Заметим, что из поdF dF dv d следнего соотношения с помощью предельного перехода B() = = d dv d d u() можно подтвердить правильность формул (8) и (9).

M 2 ab P Из двух распределений (6) и (11) во внимание прини= [v2() +a2 ]-mP-1. (6) m v2() +a2 m=|C0| мается то, которое дает наибольшее (в пределах рабочей b апертуры) относительное отклонение поля от основного.

Фактически вычисление распределения B() по бисВыше отмечалось, что объектом минимизации может сектрисе сектора линзы выполняется совместным исбыть также относительная амплитуда первой неосновной пользованием формул (5) и (6). Из (6) можно получить гармоники потенциала. В Приложении описана рекурточное значение индукции в центре полюса, полагая рентная процедура вычисления относительных амплиv = 0, туд, входящих в (3) высших гармоник pn, n N до M 2P любого порядка N. При N > 1 это удается сделать тольB=1 = a-2m, (7) m ab|C0| ко с привлечением средств компьютерной аналитики [7], m=но для N = 1 вычисления оказываются несложными а также определить индукцию вблизи центра линзы из и точное выражение для p1 в рассматриваемом случае условия 0, v линз с идеальной частью полюса имеет вид 2Pab M Bp0 = P-1. (8) |C0| p1 = - a2 + ma2. (12) 3C0 b m=1 m Сравнение выражений (8) и (3) с учетом (1) позволяет написать точное значение коэффициента основной Заметим попутно, что аналогичная характеристика гармоники потенциала для многоугольного профиля, которая в [5] отсутствует, дается формулой 2 ab p0 =. (9) |C0| M a2 P p1 = -(P|C0|)-2P b - ma2.

Для построения второго распределения индукции B(s) m 3 2P + m=от центра линзы по границе сектора рис. 1 (координата s отсчитывается от центра линзы, для квадруполя s y) можно получить аналогичные (5) и (6) зависимости сле3. Сравнение характеристик линз дующим образом. Левая граница сектора линзы плоскои заключение сти z отображается на отрезке AM 0 вещественной оси промежуточной плоскости. Этот отрезок в свою На базе приведенных выше и в работе [5] алгоритмов очередь отображается на отрезок aM u < вещебыл написан пакет программ MULTIPOL, дающий возственной оси u плоскости, где отлична от нуля только можность в интерактивном режиме вычислять и оптимиv-компонента индукции, которая, как и в работе [5], зировать линзы с любым числом пар полюсов. С помозадается формулой щью этого пакета был получен довольно большой объем F 2ab 1 данных по расчету квадруполей и секступолей как для Bv(u, 0) =- lim = -.

профилей с идеальной центральной частью, так и мноv0 v u2 - ab Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Характеристики многополюсных линз с идеальной центральной частью полюса Рис. 3. Максимальные относительные отклонения поля от идеального для квадруполей (a) и секступолей (b). Сплошная кривая — профиль с идеальной центральной частью полюса, штриховая — многоугольный. P — относительный угол полюса линзы (13).

Логарифм десятичный.

гоугольных. Одним из основных входных параметров в имеется своя область превосходства, что видно из расчете является величина полного относительного угла рис. 3. Профили с идеальной центральной частью полюса P-линзы (рис. 1) обеспечивают более высокое качество поля при ши роких полюсах P 0.65, а для узких полюсов вы P = PP/. (13) годнее использовать многоугольные профили. При минимизации по амплитуде первой неосновной гармоВо всех случаях программа автоматически (без учаники потенциала p1 картина оказывается не столь стия оператора) подбирала длину и угол наклона однозначной, тем не менее наличие профилей, кошиммы так, чтобы минимизировать либо максимальгда эта гармоника сильно подавлена, не вызывает ное (в пределах рабочей апертуры ra 0.9) отсомнений.

клонение поля B/B от идеального, либо относиОтметим также, что относительная доля шимм (разтельную амплитуду p1 первой неосновной гармони ность между полным угловым размером полюса и углоки. Для многоугольных профилей кроме того таквым размером его идеальной или многоугольной части) же автоматически подбирались значения регулировочтем больше, чем уже полюс. Так, во всех обследованных ных параметров T и Tr, корректирующих угловые случаях при P 0.75 она составляет около 10%, а при и радиальные координаты вершин многоугольника [5, P 0.4 возрастает примерно до 30%. Возможно, что раздел 3]. Полное число вершин многоугольников 2M + 1, аппроксимирующих сектор линз второго ти- использование для узких полюсов более сложных, чем па [5, рис. 2] и для квадруполей, и для секступолей, было показано на рис. 1, шимм позволит улучшить рабочие равно 21. характеристики линз.

Анализ численных данных позволяет сделать следующие выводы. Для обоих типов профилей полю- Авторы глубоко благодарны Е.Б. Левичеву и В.Н. Корсов при оптимизации по отклонению поля B/B чуганову за обсуждения и советы.

Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 70 В.В. Вечеславов, О.В. Григорьева Приложение Список литературы [1] Courant E.D. et al. // Phys. Rev. 1952. Vol. 88. P. 1190. Пробл.

Спектр потенциала P-линзы с идеальной соврем. физ. 1954. Т. 11. С. 169.

частью полюса [2] Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 310 с.

С помощью соотношений (3) и (9) относительное [3] Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии. М.: Мир, распределение потенциала вдоль отрезка на линии 1969. 222 с.

симметрии линзы (рис. 2) можно представить в виде [4] Плотников В.К. // ПТЭ. 1962. № 2. С. 29.

[5] Вечеславов В.В., Логинова О.В. // ЭТФ. 2000. Т. 70. Вып. 10.

F(µ) =F/pС. 81.

[6] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций (ab/|C0|)2 (ab/|C0|)комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 678 с.

= µ - µ3 + µ5 -..., (П1) 3 5 [7] Hearn A.C. REDUCE User’s Manual. Version 3.6 (RAND Pub.

CP78 Rev. 7/95, 1995). М.: Наука, 1973. 678 с.

где введена новая переменная |C0| µ() = (П2) v() и предпологается выполненным неравенство v > ab (см. (4)). Зависимость µ() также ищется в виде ряда N µ = [1 + ()], () = n2n, (П3) n=где последнее выражение считается малой поправкой |()| 1.

Из определения (П2) через переменную v находим -m M dµ |C0| dv µam = - = 1 +, (П4) d v2 d |C0| m=где dv/d задается формулой (5) и учтено геометричеM ское равенство m = -1.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.