WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 9 01;05 Пиннинг линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и возможные расстояния между ними © М.А. Зеликман Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 16 декабря 2005 г.) Предложен метод расчета конфигурации двух взаимодействующих линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, а также минимально возможного расстояния между ними при данном значении параметра пиннинга. Оси рассматриваемых вихрей располагаются в среднем ряду бесконечной полосы шириной 9 или 13 ячеек при различных условиях на границах полосы.

Система уравнений в конечных разностях вдали от центров вихрей становится линейной. При решении системы граничными являются условия квантования флюксоида в близких к центрам вихрей ячейках.

Используется также идея приближения к точному решению путем последовательных итераций по значениям тех скачков фазы, которые не могут считаться малыми. Точность расчетов по этой методике значительно выше, а ее применимость намного шире, чем у предыдущих.

Рассчитаны критические значения параметра пиннинга Id, при которых исходные два вихря еще могут удерживаться на заданном расстоянии d друг от друга. Рассчитаны максимальные силы пиннинга для различных конфигураций и исследована их зависимость от параметра пиннинга, а также от расстояния до ближайших вихрей. Показано, что близость параллельных вихрей уменьшает силу пиннинга, а антипараллельных — увеличивает.

PACS: 03.75.Lm Введение ними [4], то это пренебрежение является довольно грубым допущением даже при малых расстояниях между Одной из важнейших проблем в физике высокотемпе- вихрями. Например, при расположении центров вихрей ратурных сверхпроводников является анализ структуры, в соседних ячейках и расстоянии 7 ячеек до центра движения и пиннинга вихрей, возникающих в образце дополнительной конфигурации, соотношение сил равно при внесении его во внешнее магнитное поле. примерно 1 : 7. Для рассмотренных в [4] случаев вихрей В работах [1,2] предложена модель трехмерной упо- с центрами через одну или две ячейки это соотношение рядоченной джозефсоновской среды и получена систе- увеличивается до 2 : 7 и 3 : 7, что говорит о том, что полученные результаты справедливы лишь на качественном ма уравнений квантования флюксоида в ячейках, на основе которой проведен анализ структуры возмож- уровне, а полученные критические значения параметра пиннинга являются очень приблизительными.

ных экранирующих, ламинарных и вихревых токовых В настоящей работе на базе предложенного в [3] месостояний. В статье [3] исследованы различные контода расчета токовых конфигураций в среде такого вида фигурации линейного вихря в такой среде, в [4] расвычисляются точные критические значения параметра считаны минимальные возможные расстояния между пиннинга для сколь угодно больших расстояний между двумя линейными вихрями при различных значениях вихрями. Анализ полученных результатов позволяет параметра пиннинга I. При этом система уравнений сделать ряд интересных выводов относительно пиннинга для двух взаимодействующих вихрей решается внутри линейных вихрей в трехмерной джозефсоновской среде ограниченной области размером в несколько ячеек в такого типа.

предположении равенства нулю токов за границей этой области. В [4] указано, что такой подход соответствует существованию еще одной, симметричной конфигураМетодика расчета и основные ции, находящейся на некотором расстоянии от расуравнения сматриваемой. Это утверждение весьма приблизительно, поскольку похожие дополнительные конфигурации Рассмотрение будем, как и в [4], проводить на модолжны существовать со всех сторон от границ области, дели, представляющей собой кубическую решетку с причем ситуация зависит от формы области, расстояния периодом h, состоящую из сверхпроводящих проводов между рассматриваемыми вихрями и т. д. В [4] все диаметром, каждая связь которой содержит один эти неточности снимаются предположением о том, что джозефсоновский контакт, причем все контакты имеют влиянием „удаленной“ конфигурации можно пренебречь малые размеры и обладают одной и той же величиной в сравнении с взаимодействием двух рассматриваемых критического тока JC. Токовые распределения имеют вихрей. Однако поскольку сила взаимодействия вихрей плоскую структуру, т. е. во всех параллельных плоскоубывает примерно пропорционально расстоянию между стях, перпендикулярных оси вихря и расположенных 5 66 М.А. Зеликман через m-ю ячейку; — квант магнитного потока;

Km — целое число, равное единице для центральной ячейки вихря и нулю для всех остальных. Величины джозефсоновских токов Jk = Jc sin k по мере удаления от центров вихрей убывают, причем скорость убывания возрастает с ростом величины критического тока Jc.

В результате расчета мы увидим, что можно считать малыми (sin k k) скачки фаз на всех контактах, кроме самых больших по величине скачков фазы 1-7.

Участки, на которых скачки фаз не считаются малыми, на рис. 1 выделены жирными линиями.

Чтобы избежать выписывания условий баланса токов в узлах, удобно воспользоваться методом „контурных токов“ ячеек. Пусть в каждой ячейке протекает контурный ток против часовой стрелки, равный произведению JC на соответствующий „контурный“ скачок фазы. На рис. 1 указаны обозначения „контурных“ скачков фазы в каждой ячейке. Тогда значения скачков фазы k на контактах (кроме 1-7) определяются как разности соответствующих „контурных“ значений.

Магнитный поток через m-ю ячейку можно записать в виде [1]:

Рис. 1. Распределение скачков фазы для двух вихрей в бесконечной полосе шириной 13 ячеек в плоскости, перпен = µ0S h J(m) + b J(m), (2) m k дикулярной осям вихрей. В центре каждой ячейки указан ее k „контурный“ скачок фазы. Все контурные токи направлены против часовой стрелки. Картина симметрично продолжается где b — коэффициент неоднородности поля из-за дисвлево и вниз.

кретности токового распределения вдоль оси вихря; S — площадь ячейки; J(m) — сумма токов, пересекаемых при прохождении из m-й ячейки в бесконечность; J(m) — k на расстоянии h друг от друга, токи распределены k алгебраическая сумма токов в контактах m-й ячейки.

идентично.

При толщине провода h параметр b определяется Рассмотрим два параллельных линейных вихря, оси выражением которых проходят посредине бесконечной в двух направлениях плоской пластины толщиной (2N - 1) ячеек b = - ln 2sh.

и находятся на расстоянии d ячеек друг от друга.

2 h Сечение этой картины плоскостью, перпендикулярной осям вихрей, будет представлять собой бесконечную Далее мы будем рассматривать малые значения I, т. е.

полосу шириной (2N - 1) ячеек, в среднем ряду которой Ib 1, где I — параметр пиннинга, определяемый ниже.

находятся центры двух рассматриваемых вихрей. Тогда после подстановки (2) в (1) появляется возможНа рис. 1 изображен один квадрант такой конфигу- ность пренебречь вторым членом в (2). Отметим, что рации для полосы шириной 13 ячеек (N = 7). Точкой такое рассмотрение справедливо также для структуры, обозначена центральная ячейка одного из двух вихрей. созданной из сверхпроводящих нитей, склеенных друг Центр второго вихря расположен внизу (вне рис. 1) с другом по всей длине, так что длинными джозефсосимметрично или центральной линии нижнего ряда новскими контактами являются поверхности соединения ячеек, или нижней токовой линии. В первом случае нитей. Поперечное сечение структуры должно представлять собой квадратную решетку, при этом форма расстояние d между центрами вихрей равно четному ячейки не обязательно будет квадратной, в частности, числу ячеек (2M), во втором — нечетному (2M + 1).

она может быть образована нитями круглого сечения.

Это означает, что между центральными ячейками вихрей находится соответствнно (2M - 1) и 2M ячеек.

Что касается величины J(m), то для ячеек, из котоВ каждой из ячеек выполняется условие квантования рых можно пройти в бесконечность, пересекая только флюксоида [1]:

контакты с малыми значениями k (т. е. не пересекая толстые линии), она равняется соответствующему кон(m) 2 / + k = 2Km, (1) m 0 турному току данной ячейки. И только для двух ячеек, k ограниченных толстыми линиями со всех сторон, J(m) (m) соответственно равны JC(sin 3 + 0) и JC(sin 4 + 1).

где k — сумма скачков фазы на джозефсоновских Использование контурных токов обеспечивает выполk контактах m-й ячейки; — полный магнитный поток нение условий баланса токов во всех узлах, в которые m Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Пиннинг линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде... не входит ни одна толстая линия. Для узлов же, отме- Подставив (12) в (7), найдем собственные числа i ченных на рис. 1 темными кружками, условия баланса (i от 1 до 7):

токов придется записывать отдельно.

Подставив (2) в (1) и наложив дополнительное услоi = 4 + I - ki - (4 + I - ki)2 - 4 2. (13) вие 4 = 0 - 1, для всех ячеек с индексами контурных токов больше или равными 1 (выше центрального ряда Мы отбросили варианты с плюсами перед корнем вихря) получим следующую систему уравнений (для в (13), так как выражения (5) в рассматриваемой геоk 1);

метрии не должны неограниченно возрастать с ростом k, т. е. все |i| должны быть меньше единицы.

(4 + I)k - k+1 - k-1 - 2k = Решив систему (6), выразим коэффициенты B, (4 + I)k - k+1 - k-1 - k - k = 0 C,... G в (5) через A:

(3)...................................

2B = kA; 2C =(k2 - 2)A; 2D = k(k2 - 3)A;

(4 + I)k - k+1 - k-1 - µk = 0, 2E =(k4 - 4k2 + 2)A; 2F = k(k4 - 5k2 + 5)A;

где параметр пиннинга I определяется выражением 2G =(k6 - 6k4 + 9k2 - 2)A. (14) I 2µ0Jch/. (4) Общее решение системы (3) имеет вид (при m 0) Решение системы линейных разностных уравне7 ний (3) будем искать в виде m m m = Aii ; m = 0.5 Aikii ;

i=1 i=k = ak; k = Bk; k = Ck; k = Dk;

7 k = Ek; µk = Fk; k = Gk. (5) m m m = 0.5 Ai(k2 - 2)i ; m = 0.5 Aiki(k2 - 3)i ;

i i Подставив (5) в систему (3), преобразуем ее к виду i=1 i= a -2 0 0 0 0 0 A m m = 0.5 Ai(k4 - 4k2 + 2)i ;

- a - 0 0 0 0 B i i i=...............................

· =(0), (6) 0 0 0 0 - a - F m µm = 0.5 Aiki(k4 - 5k2 + 5)i ;

0 0 0 0 0 - a G i i i=где введено обозначение m m = 0.5 Ai(k6 - 6k4 + 9k2 - 2)i. (15) a =(4 + I) - 2 - 1. (7) i i i i=Разложив определитель n-го порядка вида (6) по перЗаписав условия квантования флюксоида (1) для всех вой строке, получим следующее рекуррентное соотноячеек с индексами контурных токов больше или равнышение:

ми единице (ниже центрального ряда вихря) и наложив = af - 22 f, (8) n n n-дополнительное условие 2 = 0 - 1, получим систему f = af - 2 f, (9) уравнений, идентичную (3), для величин k, k, k, k, n n-1 n-k, k, k (для k 1). Для этих величин справедливы все где f — определитель n-го порядка вида n формулы (4)-(14). Единственное изменение связано с a - 0... 0 0 тем, что нет оснований в (13) отбросить решения с плю- a -... 0 0 сом перед квадратным корнем. Вместо этого появляются f =. (10) n......................... условия симметричности конфигурации относительно 0 0 0... - a горизонтальной оси симметрии. Если расстояние d между центрами вихрей равно четному числу ячеек Используя формулы (8)–(10), найдем определитель (d = 2M), т. е. между центральными ячейками вихрей матрицы (6):

расположены (2M - 1) ячеек, то эти условия имеют вид M-1 = M+1, M-1 = M+1,... M-1 = M+1. Если = 7k(k6 - 7k4 + 14k2 - 7), (11) же d = 2M + 1, то условия выглядят иначе: M = M+1, где k = a/. Приравняв (11) к нулю, получим условия M = M+1,..., M = M+1. Однако результат для обоих существования ненулевого решения системы (3): этих случаев один и тот же: величины m, m, m, m, m, m, m описываются выражениями, аналогичными (15) k1 = 0; k2,3 = ±0.867767; k4,5 = ±1.56366; m с i от 8 до 14, но множители i заменяются на d-m m (i + i ), причем набор ki для i от 8 до 14 тот же, k6,7 = ±1.94985. (12) что для i от 1 до 7.

5 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 68 М.А. Зеликман вестных 1 и 2 =[b3 - sin 1 - b21]/b1, (17) 1 =[b6 - sin 2 - b52]/b4, (18) где коэффициенты b1-b6 являются функциями I, а также 0 величин 3-7.

При величинах параметра пиннинга I, меньших некоторого критического значения Id (индекс соответствует расстоянию между центрами вихрей), кривые (17) и (18) не имеют пересечений, это означает, что при таких значениях I вихри не могут удерживаться на столь малых расстояниях. При I > Id эти кривые имеют две точки пересечения, соответствующие разным возможным конфигурациям вихрей (оба „a“ или „b“ [3]). При уменьшении I эти точки сходятся, и при I = Id совпадают. Значения 1 и 2 точек пересечения находятся численным методом, затем находим и все остальные неизвестные. Для следующей итерации возьмем новые 0 значения 3-7, добавив к их предыдущим значениям полученные величины 3-7, и снова решим систему.

Рис. 2. Рассчитанное распределение скачков фазы по кон- Итерационная процедура сходится, т. е. каждая следуютактам для полосы шириной 13 ячеек и расстояния между щая итерация дает на порядки меньшие значения 3-7.

центрами вихрей d = 5 при критическом значении I = 0.01961.

Таким способом исходную систему можно решить с Картина симметрично продолжается влево и вниз.

любой степенью точности всего за несколько шагов.

Отметим, что для вихрей с центрами в соседних ячейках вышеприведенные уравнения неверны, так как 2 = 0. В этом случае можно воспользоваться уравнеДля нахождения Ai(i = 1, 2,..., 14), а также скачков ниями, полученными в [3] для уединенного вихря типа фазы 1-7, запишем: 14 условий (1) для ячеек двух „b“, если в нижнем контакте центральной ячейки вихря рядов на рис. 2 с индексами контурных токов, равзаменить на нуль.

ными нулю; упомянутые выше два добавочных условия 4 = 0 - 1 и 2 = 0 - 1; а также следующие 5 условий баланса токов в узлах, отмеченных темными Результаты расчетов, их интерпретация кружками на рис. 2:

и анализ sin 5 + 0 = sin 4 + 1, Во втором столбце табл. 1 приведены результаты расчета критических значений параметра I для различsin 7 + 0 = 0, ных значений расстояния d между центрами вихрей для рассмотренной полосы шириной 13 ячеек (N = 7). Коsin 6 + 0 = 0, личество ячеек между центральными ячейками вихрей равно (d - 1). Смысл величины L будет пояснен далее.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.