WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 1 Расчет состояний мелких доноров в квантовых ямах в магнитном поле методом разложения по плоским волнам ¶ © В.Я. Алешкин, Л.В. Гавриленко Институт физики микроструктур Российской академии наук, 603950 Нижний Новгород, Россия (Получена 1 июня 2004 г. Принята к печати 14 июня 2004 г.) Предложен невариационный метод расчета состояний мелких доноров в квантовых ямах в магнитном поле, применимый в широком диапазоне магнитных полей, начиная с нуля. В основе метода лежит разложение волновой функции электрона по базису собственных функций гамильтониана, описывающего прямоугольную квантовую яму. Результаты, полученные предлагаемым методом, сравниваются с экспериментальными данными и результатами расчетов другими теоретическими методами. Из сравнения видно, что предлагаемый метод более точно описывает наблюдаемый спектр состояний мелких доноров в квантовых ямах в магнитном поле по сравнению с методами, использованными в работе R. Chen и др.

1. Введение 2. Метод расчета Без потери общности можем предположить, что исРезультаты экспериментальных исследований состояследуемый образец имеет цилиндрическую форму и ний мелких примесей в гетероструктурах с квантовыми ось z — нормаль к плоскости квантовой ямы (КЯ). Магямами в магнитных полях приводятся уже достаточно нитное поле, направленное вдоль оси роста структуры, давно. Для объяснения полученных данных применяются не нарушает аксиальной симметрии задачи, следователькак вариационные, так и невариационные теоретические но, Lz = m — проекция момента импульса на ось z — методы [1,2]. Хотя в последнее время с помощью сохраняется. Для определения энергетического спектра вариационных расчетов описывают даже возбужденные волновые функции примесных состояний разлагаются в состояния примеси, вплоть до состояний 4p± [1], но ряд по собственным функциям гамильтониана в отсутдля вычисления волновых функций таких состояний ствие магнитного поля и потенциала примеси:

необходимо использовать пробные функции с большим числом вариационных параметров. Что касается невариexp im m m (,, z ) = f (k)n(z )Jm(k), (1) n n ационных методов, их точность сильно зависит от выR n,k бора базиса, по которому ведется разложение волновой функции. Например, если выбрать в качестве базисных где, — полярные координаты, лежащие в плоскофункций собственные функции электрона в магнитном сти КЯ; k — модуль двумерного волнового вектора;

поле [2], то в слабых магнитных полях потребует- R — радиус цилиндрического образца; n(z ) —волновая ся учитывать большое количество членов ряда, чтобы функция, описывающая движение электрона по оси z, точно описать локализованные примесные состояния. соответствующая n-й подзоне размерного квантования и Несмотря на то что эксперимент обычно проводится удовлетворяющая одномерному уравнению Шредингера без потенциала примеси и магнитного поля; Jm(k) — в достаточно сильных магнитных полях (от 1-2Тл), полезно знать поведение уровней энергии при уменьше- функция Бесселя m-го порядка. Отметим, что в разложении (1) мы опустили слагаемое, соответствующее нии магнитного поля. Это помогает идентифицировать вкладу непрерывного спектра. Это допущение справедпримесные уровни, выяснить их принадлежность к той ливо в том случае, если энергия связи описываемых или иной группе.

донорных состояний много меньше глубины квантовой В данной работе представлен метод расчета донорных ямы и состояния локализованы внутри нее.

состояний в гетероструктурах с квантовыми ямами в В случае изотропного параболического закона диспермагнитном поле, приложенном в направлении роста сии электронов уравнение Шредингера для частицы в гетероструктуры. В основе метода лежит разложение потенциале примесного центра в прямоугольной КЯ и в волновой функции электрона по собственным функциям магнитном поле имеет следующий вид:

гамильтониана, описывающего прямоугольную квантовую яму по „плоским волнам“ [3], которые не зависят p2 e(r) = + U(z ) от магнитного поля. Такой выбор базисных функций 2µ 2 +(z - z )im позволяет легко описывать основное и возбужденные e e2Hпримесные состояния не только в сильных магнитных + Vchem + H -i +. (2) полях, но и в слабых — вплоть до нуля. cµ 8µcЗдесь µ — эффективная масса электрона, потенциал ¶ E-mail: aleshkin@ipm.sci-nnov.ru U(z ) задает энергетический профиль КЯ и зависит от 64 В.Я. Алешкин, Л.В. Гавриленко содержания Al в твердом растворе Alx Ga1-xAs [4], КЯ, — это потенциал примеси и величина магнитного — диэлектрическая проницаемость, z — координата поля. Поэтому шаг разбиения по k нужно выбирать im донора, H — величина магнитного поля, Vchem —по- таким, чтобы он был много меньше обратных величин тенциал, позволяющий учесть некулоновский вид потен- боровского радиуса rB и магнитной длины lH, т. е.

циала донора на малых расстояниях — так называемый k min(1/rB, 1/lH). Кроме того, понятно, что сумму химический сдвиг. В качестве короткодействующего по- по k можно оборвать, заменив верхний бесконечный тенциала Vchem был выбран экранированный кулоновский предел суммирования вполне конечной величиной kmax, потенциал при условии: kmax max(1/rB, 1/lH). Отметим также, e2 exp(r/lD) что равномерное разбиение по k (ki = i k), которое Vchem = C (3) r мы используем, почти эквивалентно нулевым граничным условиям при = R = / k. Полная эквивалентность с длиной экранирования lD = 5 ; константа C выбирабыла бы, если бы в качестве точек по k выбрать корни лась так, чтобы энергия ионизации 1s-состояния донора функции Бесселя Jm(kR).

соответствовала экспериментальным данным при одном Решение интегро-дифференциального уравнения (4) из значений магнитного поля. Подставив волновую сводится к нахождению собственных значений и функцию в виде (1) в уравнение Шредингера, получаем собственных векторов матрицы Am размерности интегро-дифференциальное уравнение для коэффициенnmaxN nmaxN, где nmax — число подзон размерного тов разложения:

квантования в КЯ и N = kmax/ k:

e2H2 2 1 1/4 - m2 m - - + f (k) e2H j,i+1 + j,i-1 - 2j,i m 8µc2 k2 k k k2 n An,i;n j = 8µc2 k k2 eHm m + n - + + f (k) j,i+1 - j,i-1 1 - mn 2µ 2cµ + + n,n 2i k2 i2 k e2k m k2i2 eHm - dk f (k )Im(k, n; k, n ) =0, (4) n + n + + i, jn,n 2R 2µ 2cµ n e2i( k)где — энергия электрона, n — энергия, соответству+ Im(i k, n; j k, n ). (5) ющая дну n-й подзоны и Однако при i = j элементы матрицы Am сингулярны. Чтобы избежать этой трудности заметим, что эта Im(k, n; k, n ) = cos d особенность является интегрируемой по k. Поэтому, следуя работе [3], мы введем в этом случае усредненное значение m:

dz n (z )n (z ) exp(-|z - z |K) im k + k/j K m m n,i;n,i = An,i;n, j dk.

j k k - k/C j + exp -|z - z | K2 + 1/lD, im K2 + 1/lD 3. Результаты и их обсуждение K2 = k2 + k 2 - 2kk cos.

Для изучения точности метода были проведены расУравнение (4) решается методом конечных разностей, четы спектра примесных состояний и энергий перехопри этом производные заменяются отношением изме- дов 1s np± (n = 2, 3) для мелких доноров в КЯ в нения функции к изменению аргумента, а интеграл магнитном поле. При этом параметры гетероструктур по k заменяется суммой по дискретному набору k. были выбраны такими же, как в работах [1,2], содержаКаждое слагаемое этой суммы соответствует интегралу щих экспериментальные результаты. Донор находился в по k в некотором интервале. Если этот интервал мал центре КЯ Al0.3Ga0.7As шириной dQW = 125 или 210.

по сравнению с характерным масштабом изменения В 1-й гетероструктуре квантовая яма содержит 3 подзоподынтегральной функции, то интеграл по каждому из ны размерного квантования, во 2-й — 5. Если энергия, интервалов может быть заменен произведением вели- соответствующая дну подзоны, значительно превосходит чины интервала на значение подынтегральной функ- энергию ионизации примеси, то такая подзона будет ции в этом интервале. Мы будем использовать экви- слабо влиять на формирование примесных состояний.

дистантное разбиение по k с шагом k. В нашем Поэтому мы включили в рассмотрение только 3 подзоны случае существует 2 фактора, оказывающих влияние размерного квантования для обоих типов гетерострукна радиус локализации волновой функции в плоскости тур. Для обеспечения достаточной точности вычислений Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. Расчет состояний мелких доноров в квантовых ямах в магнитном поле методом разложения... Для 1s-состояний электрона учитывался химический сдвиг, величина которого составила около 1 мэВ. Как видно из рис. 4, с ростом магнитного поля химичеРис. 1. Энергии уровней 1s и 2p± для донора в центре квантовой ямы Al0.3Ga0.7As шириной dQW = 125 в зависимости от магнитного поля. Сплошные линии — предлагаемый метод расчета, штриховые — вариационный метод [1], пунктирные — невариационный метод [2].

Рис. 2. Зависимости энергии оптических переходов 1s np± (n = 2, 3) от величины магнитного поля для гетероструктуры было выбрано разбиение по 1000 точек в k-пространстве с квантовой ямой Al0.3Ga0.7As шириной dQW = 125. Точками в каждой подзоне. Эффективная масса электрона пола- обозначены экспериментальные данные, линиями — результаты расчетов.

галась равной µ = 0.067m0, диэлектрическая проницаемость материала = 12.9.

На рис. 1 результаты наших расчетов сопоставляются с результатами, полученными вариационным методом в работе [1] и невариационным методом, но с другим выбором базиса, по которому велось разложение волновой функции, и эффективной массой электрона µ = 0.069m0 [2]. Видно, что невариационные методы дают более низкие значения энергии состояний, чем вариационный расчет. Как известно, вариационный расчет дает завышенные значения энергии уровней. Кроме того, метод, предложенный в работе [2], плохо описывает 1s-состояние в магнитных полях ниже 1 Тл.

На рис. 2 и 3 результаты расчета сопоставляются с экспериментальными данными, полученными при измерении спектров поглощения на двух образцах Al0.3Ga0.7As с различной шириной квантовых ям [1].

В спектрах примесного поглощения в магнитных полях наблюдаются оптические переходы, соответствующие правилу отбора m = ±1 (1s 2p-, 1s 2p+, 1s 3p-, 1s 3p+ и т. д.). Как видно из рис. 2, 3, развитый в настоящей работе метод дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными значениями энергий переходов во всем диапазоне магнитных Рис. 3. То же, что и на рис. 2, но для образца с квантовой полей. ямой шириной dQW = 210.

5 Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып. 66 В.Я. Алешкин, Л.В. Гавриленко Рис. 4. Зависимость величины химического сдвига для 1s-состояния примеси в КЯ от магнитного поля.

ский сдвиг увеличивается. Это происходит потому, что при увеличении магнитного поля волновая функция электрона становится все более локализованной вблизи примеси.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-02-17178), МНТЦ (№ 2293), гранта УР.01.01.057, Министерства промышленности, науки и технологий (контракты № 40.072.1.1.1173 и № 40.031.1.1.1187).

Список литературы [1] R. Chen, J.P. Cheng, D.L. Lin, B.D. McCombe, T.F. Georg.

J. Phys.: Condens Mater, 7, 2577 (1995).

[2] В.Я. Алешкин, Д.Б. Векслер, В.И. Гавриленко. Матер. совещ. „Нанофотоника-2000“ (Н. Новгород, изд-во ИФМ РАН, 2000) с. 88.

[3] J.P. Loehr, J. Singh. Phys. Rev. B, 41, 3695 (1990).

[4] E.H. Li. Physica E, 5, 215 (2000).

Редактор Т.А. Полянская Method for shallow donor states calculation in quantum well in magnetic fields V.Ya. Aleshkin, L.V. Gavrilenko Institute for Physics of Microstructures, Russian Academy of Sciences 603950 Nizhny Novgorod, Russia

Abstract

A method for shallow donor states calculation in quantum well heterostructures in magnetic fields is suggested. The method is applicable for a wide range of the magnetic field values starting from zero. The method is based on the electron wave function expansion in terms of eigenfunctions of the Hamiltonian describing a rectangular quantum well. The calculated energies of the electron transitions between the shallow donor levels in quantum well structures are in good agreement with experimental results available.

Физика и техника полупроводников, 2005, том 39, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.