WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 9 01;05 Предельный переход при скин-эффекте в металлах к бесконечной проводимости © А.И. Спицын Харьковский национальный университет радиоэлектроники, 433053 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 26 октября 2004 г.) Рассмотрен предельный переход в металлах при условиях скин-эффекта к бесконечной проводимости.

Рассмотрение проведено для случая классического скин-эффекта с учетом и без учета влияния релаксации электронов проводимости, а также с учетом нелокальной связи между электрическим полем и плотностью тока в модели свободных электронов. Рассмотрен как предельно нелокальный, так и реальный предел при неограниченном возрастании длины свободного пробега.

В настоящей статье рассматриваются предельные Если предполагать, что всегда осуществляется классипереходы в металле при различных условиях скин- ческий скин-эффект и устремить, то в пределе из эффекта, когда его проводимость, увеличиваясь, стре- соотношений (1) следует идеальное граничное условие мится к бесконечной величине. Металл будем предполо- Etg s = 0, при этом поверхностный импеданс Z обращагать изотропным, линейным и однородным. Рассмотрим ется в нуль. В рассматриваемом пределе проникновения вначале простой случай классического скин-эффекта, электромагнитного поля внутрь металла нет, но в прокоторый реализуется при комнатных температурах в цессе предельного перехода при условии H(0) =const нормальных (несверхпроводящих) металлах. Положим, поведение тангенциальных компонент Etg и Htg различное. На рис. 1, a, b приведены зависимости модулей E что на плоскую поверхность S металла, занимающего и H exp(-z /cl), где cl = 2/µ0 — классическая полупространство, падает электромагнитное излучение глубина проникновения, от координаты z для трех с частотой. В дальнейшем будем полагать, что значений проводимостей 3 >2 >1. С возрастанием характерное расстояние изменения электромагнитного величины проводимости магнитное поле, оставаясь на поля вдоль поверхности всегда намного больше глубины границе неизменным по величине (если, к примеру, проникновения электромагнитного поля в металл, и, следовательно, поле в данном месте можно считать од- предположить неизменную амплитуду магнитного поля падающей плоской волны на металл, то магнитное поле нородным и зависящим от одной координаты по нормали на поверхности будет незначительно изменяться и стрек поверхности металла.

миться в пределе к конечному значению), выталкивается Введем декартову систему координат с центром на из толщи проводника и сосредоточивается в более узком границе металла и осью z, направленной по нормали n поверхностном слое. Электрическое поле в отличие от в глубь металла, тогда оси y и x будут расположены в магнитного с увеличением уменьшается и в пределе плоскости металла. Не нарушая общности, будем поле обращается в нуль на поверхности металла.

считать линейно поляризованным и ось x направим Рассматриваемый предельный переход не учитывает вдоль вектора электрического поля E, а y —по вектору влияние релаксации электронов проводимости. По момагнитного поля H. В рассматриваемом случае комдели свободных электронов [1] проводимость на постонатных температур будет справедлива локальная связь янном токе = ne2/m, = l/VF, где n — объемная между плотностью тока j в любой точке внутри металла плотность электронов, e — заряд электрона, m — и электрическим полем E, получившая название закона масса, — время релаксации, l — длина свободного Ома j = E, где — проводимость металла. На основе пробега, VF — скорость электронов на поверхности уравнений Максвелла и закона Ома решение при скинФерми. Для гармонически изменяющегося во времени эффекте представляется в виде электромагнитного поля учет влияния релаксации приводит к тем же соотношениям (1) с заменой на веE = Ex = ZH(0)e-z /com, H = Hy = H(0)e-z /com, личину /(1 + i ), причем стремление проводимости на постоянном токе для определенного металла iµ0 сводится к стремлению длины свободного пробега l к Z = iµ0com =, com =, (1) iµбесконечности. С учетом этого из (1) следует где величина Z = E(0)/H(0) =R + iX представляет по1 + i m i com = = -, (2) верхностный импеданс металла, com — комплексiµ0 µ0ne2 µную глубину проникновения при классическом скинзначит, комплексная глубина проникновения при l эффекте [1], R и X — поверхностные сопротивления и реактанс. стремится к действительной величине 0 = m/µ0nl2 — Предельный переход при скин-эффекте в металлах к бесконечной проводимости sk = Recom [1]). В этом случае локальное соотношение j = E не будет справедливо и при рассмотрении предельного перехода его необходимо заменить на нелокальное, которое реализуется для металлов при низких температурах [2]. Зависимость электрического поля от координаты z в модели свободных электронов тогда можно представить в виде [3,1] 2iµ0H(0) cos kz dk E(z ) =, (3) k2 + iµ0 (k) где 2cE (k) = 1 +(k)2 arctg(k) - k, (k)l =, cE. (4) 1 + i 4iµ0com.l 1/Здесь com.l = (1 + i )/iµ0 — комплексная глубина проникновения в предположении выполнения локальной связи в металле j = E/(1 + i ). В дальнейшем рассмотрение будем проводить для наиболее интересной СВЧ области частот (т. е. максимальную частоту ограничим несколькими сотнями GHz). Тогда при больших l величина || будет приближаться к VF/, намного большей скиновой губины проникновения sk.

В этом случае результаты в пределе || будут близки к результатам реального физического предела для l (отметим, что при формальном пределе = l/(1 + i ) необходимо величины l и a = рассматривать как независимые, причем величину l необходимо считать бесконечно большой, более высокого порядка, чем параметр a = ). В работе [2] исследован случай такого предельного перехода || при Рис. 1.

значении a = 0, = l. Этот предел получил название аномального предела.

Найдем соотношение для поверхностного импеданса Z в аномальном пределе. Из (3) при z = плазменной глубине проникновения. В этом случае находим соотношение для поверхностного импеданса электромагнитное поле проникает в глубь металла на Z = E(0)/H(0) конечную величину и предельный переход приводит к сверхпроводимости с локальной связью j = E/iµ00.

2iµ0 dk Поверхностный импеданс на границе металла в этом Z =. (5) k2 + iµ0 (k) бесдиссипативном пределе равен чисто мнимой величине Z = iµ00.

Переходя в (5) в подынтегральном выражении к В предыдущем рассмотрении предполагалась локальпределу Re >0, с учетом того, что com.l ная связь между плотностью тока и электрическим не зависит от длины свободного пробега l и является полем, т. е. плотность тока в какой-либо точке металла постоянной, а из (4) iµ0 (k) стремится к 3/4com.lk, определялась значением электрического поля в этой соотношение (5) приведем к виду же точке. Так как становление плотности тока в точке внутри металла определяется электрическим полем в 2iµ0 k dk области размера порядка длины свободного пробега, то Z =, =. (6) k3 + i 2cll выполнение закона Ома предполагает малость длины свободного пробега по сравнению со скиновой глуИнтеграл в (6) при замене переменной на k3 сводится биной проникновения, на которой поле значительно к стандартному [4, № 5, с. 298], следовательно, поверхизменяется. При возрастании l глубина проникновения ностный импеданс в аномальном пределе в металл уменьшается и, следовательно, величина l может сравняться и намного превзойти sk (под скино2µ Z = -1/3 1 + i 3. (7) вой глубиной проникновения будем понимать величину 3 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 62 А.И. Спицын Аномальный предел не является физически Далее, находя соотношение для рассматриваемой чаобоснованным, так как при l ( ) величина a сти плотности тока j1 с использованием (3) и переходя также стремится к бесконечности и в рассматриваемой в нем к пределу при, аналогично тому, как это области частот стремится к большой, но конечной было продемонстрировано при выводе Z, для любого величине = -iVF/. Для нахождения поверхностугла получим в пределе то же соотношение, что и ного импеданса Z в основном приближении в этом для полной плотности тока ( = 0). Таким образом, в пределе можно воспользоваться следующей методикой.

аномальном пределе для любой точки внутри металла В разложении (k) при больших учтем следующий в плотность тока, а следовательно и в потери, вносят член разложения iµ0 (k) =i(1/k - 4/k2), что поэлектроны, двигающиеся параллельно плоской границе сле взятия интеграла в (5) приводит к следующим основметалла. Это находится в соответствии с концепцией ным членам (заметим, что неточность в представлении неэффективности Пиппарда [1].

(k) при |k| < 1 приводит к членам высшего порядка Рассмотрим распределение локальных потерь в аномалости) мальном пределе. Из соотношения (3) и соотношения 2 для плотности тока, получающегося из (3) внесением Z = Z + Z1 = Z 1 +, (8) под знак интеграла множителя (k), переходом к пределу аналогично процедуре, проделанной для где = Z/iµ0 — комплексная глубина проникновеповерхностного импеданса Z, получим соотношение ния в аномальном пределе.

для распределения электрического поля и плотности Таким образом, в пределе бесконечно большой длины тока в аномальном пределе свободного пробега l в рассматриваемой области частот к значению поверхностного импеданса в аномальном пределе появляется малая добавка порядка |/| 1.

2iµ0H(0) k cos kz E(z ) = dk, Отметим, что именно случай больших значений l k3 + i рассмотрен в работе [5] для СВЧ области в связи с рассмотрением поверхностного реактанса X = Im Z.

Величина X1 = Im Z1 определяется запасением энергии 2iH(0) cos kz j(z ) = dk. (10) как в магнитном поле, так и в кинетическом движе k3 + i нии носителей тока и определяет добавку к полевой индуктивности в аномальном пределе L = X/ и Соответствующие соотношения для E и j через специнебольшую кинетическую индуктивность.

альные функции можно нйти по методике, примененной Предыдущее рассмотрение относилось к СВЧ области в [6] для аномального предела в сверхпроводниках. Если частот, где результаты близки к результатам в аномальсвязь между j и E в случае гармонически изменяющихся ном пределе. Если увеличивать частоту, то величина, полей в точке z представить в виде j(z ) = (z )E(z ), где увеличиваясь, может сравняться с единицей и значительза (z ) =R(z ) +ix (z ) принята локальная комплексно превзойти ее. В этом случае, хотя длина свободного ная проводимость, то объемная плотность активной пробега может делаться сколь угодно большой, величина || будет возрастать незначительно. В этих случаях бу- мощности, потребляемой током (отдаваемой электронам или, наоборот, передаваемой электромагнитному полю), дет реализовываться конечное значение и результаты будут не соответствовать аномальному пределу. Для будет больших при комнатных температурах результаты в 1 Re ( jE) = R(z )|E|2.

пределе l будут близки к результатам в локальном 2 случае || sk, рассмотренному ранее (2).

На рис. 2 приведена зависимость безразмерной велиРассмотрим вопрос о потерях в аномальном пределе.

) чины R = µ0-2/3Re (z от безразмерной координаДля этого воспользуемся методикой вывода плотноты z = z 1/3, рассчитанная по соотношениями (10). Из сти тока, используемой в [1], и введем локальную рисунка следует, что зависимость R(z ) немонотонная.

сферическую систему координат в произвольной точПри движении электронов они из-за взаимодействия ке z внутри металла. Проводя выкладки, аналогичные с электрическим полем забирают энергию от одних выкладкам в [1], для части плотности тока j1, обуобластей металла и переносят ее в другие области [1].

словленной электронами, движущимися через рассматВ процессе движения из-за столкновений с ионами мериваемую точку в телесном угле между направлениталла импульсы электронов уменьшаются, что приводит ями и - (

1 1(z - z ) =cE - exp(-|z - z |u/) du, Из зависимости R(z ) следует существование облаu uстей внутри металла с R < 0. Это связано с тем, что 1/ cos (9) в самосогласованном поле в определенных участках которое совпадает с объемным ядром при = 0. металла реализуется ситуация, при которой в среднем Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Предельный переход при скин-эффекте в металлах к бесконечной проводимости замену переменной на k/i и проделав преобразования, аналогичные проделанным в [2], найдем соотношение для E(z ) при z || в виде 2 com.l e-z / E(z ) =-AE(0) 1 -, 3 2 com (z /) 81 A =. (12) В пределе больших || |com.l| комплексная глубина проникновения com. В этом случае соотношение сводится к E(z ) =-AE(0) exp(-z /)/(z /)2. В пределе l.

Список литературы Рис. 2.

[1] Менде Ф.Ф., Спицын А.И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. Киев: Наукова думка, 1985. 240 с.

[2] Reuter G.E.H., Sondheimer E.H. // Proc. Roy. Soc. A. 1948.

за период энергия передается полю (происходит „геVol. 195. N 1042. P. 336–364.

нерация“ электромагнитного поля в точках с R < 0).

[3] Спицын А.И. // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 4. С. 128–130.

Если выделить такую область с R < 0, то из этой обла[4] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы сти будет переходить средний поток электромагнитной и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 729 с.

энергии в другие части металла посредством излуче[5] Спицын А.И. // РиЭ. 1993. Т. 38. № 11. С. 2152–2155.

ния через границу области. Суммарная же мощность, [6] Спицын А.И. // ЖТФ. 1994. Т. 64. Вып. 4. С. 68–78.

передаваемая току R|E|2dz /2, будет равна полной мощности потерь R|H(0)|2/2 (R = Re Z) внутри металла, идущей на тепло.

В заключение обратимся к вопросу о распределении поля в случае больших, но конечных значений || sk.

Для аномального предела, как следует из дифференцирования по частям соотношения для E(z ) (10), справедлива основная асимптотика при z sk 81 3 E(0) E(z ) =-. (11) 32 (z /)В случае || sk структура поля до знчений z || будет мало отличаться от поля в аномальном пределе и вдали от поверхности будет соответствовать соотношению (11). При z || электромагнитное поле уже не будет описываться соотношениями (10). Между этими областями будет существовать промежуточная переходная область. В работе [2] найдена основная асимптотика при z l для случая a = = 0. Приведем соотношение для основной асимптотики в общем случае при = 0 и конечном.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.