WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10 01;04 Упрощенный метод описания эволюции температуры плазмы токамака с нарастающим магнитным островом © Н.Н. Сперанский Государственный научный центр Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований 142190 Троицк, Московская область, Россия e-mail: nsperanskii@yandex.ru (Поступило в Редакцию 19 апреля 2005 г. В окончательной редакции 4 апреля 2006 г.) Описан новый простой метод решения уравнения теплопроводности с учетом теплопереноса вдоль силовых линий в плазме токамака с нестационарным магнитным островом. Метод, проиллюстрированный на простейшем численном примере, позволяет свести трехмерную задачу эволюции температуры плазмы токамака в присутствии нескольких магнитных островков к системе одномерных уравнений.

PACS: 52.55.Fa Введение острова, который известен из двумерного решения [3].

Степень точности метода, когда учитываются две гармоСтатья посвящена упрощению численного моделиро- ники температуры, иллюстрируется посредством учета вания процесса термоизоляции плазмы в установках следующей, третьей, гармоники температуры.

токамак. Вопрос о термоизоляции высокотемпературной Новый метод решения уравнения теплопроводности плазмы токамака является важнейшим при создании будет проиллюстрирован через решение задачи о разтермоядерного реактора. Термоизоляция плазмы тока- витии запертой моды. Под запертой модой в физике мака существенно нарушается возникающими в плазме токамаков понимают вынужденное плазменное возмумагнитными островками: винтовыми магнитными обра- щение, которое развивается под действием внешних зованиями с собственной магнитной осью. Появление стационарных возмущений, останавливающих вращение таких островков может приводить к явлению срыва:

плазменного шнура [4]. Для наибольшей простоты заданеожиданному и относительно быстрому выбрасыванию чи не будем учитывать вращение магнитного острова.

горячей плазмы на стенку камеры, охлаждению всего Будем считать, что остановка вращения уже произошнура и затуханию электрического тока плазмы. Явле- шла, и в плазме развивается магнитный остров. Смысл ние срыва неприемлемо для токамака как термоядерного выбранной иллюстрации в том, чтобы смоделировать реактора.

большой магнитный остров, при котором нелинейность До сих пор задача о перераспределении температуры задачи существенна, и поэтому возможные недостатки плазмы в присутствии магнитных островов решалась предложенного метода должны быть наиболее выражепосредством трехмерных и двумерных кодов примени- ны. Актуальность такого примера связана с тем, что тельно к задаче о срыве со многими островами [1,2] запертая мода приводит к срыву в токамаке [5–7].

и в целях исследования перераспределения тепла в Задача о развитии запертой моды — это фактически окрестности уединенного острова [3]. задача эволюции плазмы токамака совместно с развиВ данной работе аналогичная задача решается ме- тием винтовых возмущений. Развитый здесь простой тодом разложения на винтовые фурье-гармоники. Это метод решения уравнения теплопроводности применим, позволяет использовать в численном решении одномер- если на конечное число фурье-гармоник разложен и ный код, что значительно упрощает задачу описания возмущенный магнитный поток винтового возмущения.

перераспределения тепла в плазме винтовыми возмуще- Общеизвестный простой метод Резерфорда, позволяниями. Препятствием к использованию этого метода до ющий описывать квазистационарный рост магнитных сих пор служило то, что в уравнении теплопроводности островов винтовых гармоник [8,9], наибольшее распрослагаемое, описывающее перенос тепла вдоль силовых странение получил применительно к случаю, когда в гарлиний, в линейном приближении содержит особенность. моническом разложении магнитного потока учитывается Эта особенность снимается, если учесть дополнитель- лишь одна винтовая гармоника.

ные нелинейные слагаемые. Скорость роста магнитного острова запертой моды Задача о распределении тепла в магнитном остро- может быть произвольной, так как она индуцирована ве может быть решена посредством учета всего двух внешним возмущением. Поэтому, в отличие от метода винтовых гармоник температуры. При этом учитыва- Резерфорда, будем учитывать инерцию в уравнении ются необходимые нелинейные слагаемые. В результа- движения и возмущенную скорость в законе Ома, но те такого упрощенного описания наблюдается эффект при этом будем пользоваться тем же квазилинейным выравнивания тепла вдоль силовых линий магнитного подходом, что и в методе Резерфорда, когда магнитный 4 52 Н.Н. Сперанский поток складывается из нулевой и первой винтовой Система уравнений гармоник. Нелинейность задачи будет учитываться чеБудем пользоваться стандартными уравнениями магрез нелинейное влияние первой гармоники магнитного нитной гидродинамики, принятыми для описания винпотока на нулевую.

товых возмущений в плазменном цилиндре. Скорость В силу дополнительного учета инерции и скорости представим в виде движения вещества в законе Ома точность такого подхода должна быть выше точности подхода Резерфорда.

v = R[un], (6) Приведем два варианта решения нашей задачи, которые где поток скорости u — величина, пропорциональная различаются тем, что в них выбрано различное число возмущенному электрическому потенциалу.

гармоник плазменных величин. О степени точности Спроецировав гидродинамическое уравнение движерешения будем судить по вкладу высших гармоник. Для ния электронов на силовую линию и опустив слагаемые, простоты пренебрежем кривизной плазменного шнура:

обязанные инерции, вязкости и неоднородности давлебудем моделиривать плазменный шнур прямым круглым ния, получим уравнение для полоидального магнитного цилиндром с отождествленными концами.

потока В первом простейшем случае разложения на гармо R y u cR ники полоидальный магнитный поток внутри цилиндри+ - u + I = - J, (7) ческой камеры токамака представим в виде суммы двух t r гармоник где J — тороидальный ток плазмы, c — скорость = 0 + 1 cos, (1) света, — проводимость плазмы, штрих обозначает производную по малому радиусу.

где = m - n, —полоидальный и — тороидальСогласно закону Максвелла, ный углы, вычисляемые относительно камеры токамака, c m и n — полоидальное и тороидальное числа. ГармоJ = -. (8) 4 R ники потока (1) являются функциями малого радиуса r, вычисляемого от заданной в пространстве оси камеры.

Основной нелинейный эффект квазилинейного приблиМагнитное поле, в которое входит поток (1), зададим по жения связан с нелинейным вкладом в (7) первых гарформуле моник величин и u в нулевую гармонику.

1 Взяв тороидальную проекцию ротора от одножидкостB = Bn + [n], (2) ного уравнения движения, получим уравнение R d J I J J где B — тороидальное поле, n — орт вдоль оси minc w = - + + + w, (9) цилиндра, R — большой радиус, который в нашем dt r R r приближении является постоянной величиной.

где mi — масса ионов, n — концентрация плазмы, коТемпературу представим в виде трех гармоник торую полагаем постоянной во всей расчетной области, I = RB, — поперечная вязкость. При этом T = T0 + T1 cos + T2 cos 2. (3) w = -R(Ru), (10) То, что в (1), (3) выбирается разное число гармоник, не где — градиент без тороидальной составляющей.

существенно. Так же разное число гармоник магнитного Будем полагать, что температура ионов и электронов потока и температуры выбираются в [3]. одинакова. Уравнение для температуры плазмы запишем в виде Во втором случае разложения увеличим точность описания распределения тепла и винтового возмущения.

3 T Jn +(vT ) = q + (KT ) +, (11) Будем полагать, что 2 t q = K (bT )b, (12) = 0 + 1 cos + 2 cos 2. (4) где K — коэффициент теплопроводности МережТемпературу представим четырьмя гармониками кина-Муховатова [10], несколько видоизмененный у магнитной оси, b — единичный вектор вдоль магнитT = T0 + T1 cos + T2 cos 2 + T3 cos 3. (5) ного поля, K — классический электронный коэффициент теплопереноса вдоль силовых линий, ограниченный Далее будет показано, что даже в присутствии доста- при T = 150 eV. Аналогичное ограничение использовано точно большого внешнего стационарного возмущения в [2], оно моделирует ограничение коэффициента K размер магнитного острова первой гармоники и рас- вследствие неоклассических эффектов и одновременно пределение плазменного тепла слабо зависят от того, облегчает численный расчет. В связи с тем, что K выбираются ли разложение (1), (3) или (4), (5). Для является функцией температуры, его дифференцироваописания перераспределения тепла винтовой модой до- ние в (11) приведет к появлению слагаемого порядка статочно использовать разложение (1), (3). (bT )2, которое опустим как малое.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Упрощенный метод описания эволюции температуры плазмы токамака... Гармоническое разложение Тогда дивергенция потока вдоль силовых линий в (11) имеет вид уравнения (11) m d Система уравнений (6)-(11) должна быть разложе- (|q |b) =- (1A1) 2rI dr на в первом случае на гармоники (1), (3), во втоm ром — на (4), (5). Гармоническое разложение уравне+ A1 - I (1A2 + 21A2) cos ний (6)-(10) проводилось ранее в [11]. Оно достаточно 2r просто. Проблему составляет разложение слагаемого, m + 2A2 - (1A1 - 1A1) cos 2. (19) обязанного параллельному теплопереносу в (11) на гар2rI моники (1), (3).

После подстановки (19) в (11) уравнение (11) легко Слева в (11) входит скорость плазмы (6). Поток скоразлагается на систему уравнений для гармоник (3), рости плазмы u для случая разложения (1), (3) представкоторые связаны за счет параллельного теплопереноса.

ляется в виде Поскольку здесь рассматривается параллельный переu = u1 sin, (13) нос в цилиндрическом приближении, то использовалось для разложения (4), (5) в виде условие b = 0.

Случай, когда дивергенция потока (12) раскладываетu = ui sin + u2 sin 2. (14) ся с учетом гармоник (4), (5), приведен в Приложении.

В стационарном случае, чтобы все три компоненПодробно остановимся на слагаемом справа, опиты (19) обратились в нуль, достаточно сывающем перенос тепла вдоль силовых линий. При достаточно медленных движениях в уравнении (11) оно A1 = A2 = 0. (20) является главным.

Приравняв это слагаемое к нулю, мы могли бы запи- Условие (20) позволяет исключить T2 и получить уравнение лишь для T1. Это уравнение имеет вид сать линейное решение для возмущенной температуры в виде m1 m1 2 m2 1 T1 = - T0, (15) T1 + 1 21 - - TrI 2 2rI 8r2I2 r m n где = b0 -, T0 — нулевая гармоника температуры, r R m2 - 1 1 - - 1 + 2(1)2 Tb0 = -.

I 8r2I2 r Для винтовых мод решение (15) имеет особенность на резонансной поверхности, где = 0. Это не позволяm+ 2T1 = - T0. (21) ет ограничиться линейным приближением (15). Чтобы rl преодолеть эту особенность, следует более корректно представить слагаемое с параллельным переносом. Для Уравнение (21) описывает первую гармонику равновесэтого и производится учет второй гармоники в разложе- ной температуры в пренебрежении поперечным теплонии (3). Появляющиеся при этом нелинейные слагаемые переносом. Если в (21) опустить первые три слагаемых, устраняют особенность решения (15).

имеющие коэффициенты 0(1), получим результат (15).

Разложим поток вдоль силовых линий с уче- Особенность (15) снимается благодаря этим слагаемым.

том (1), (3). При этом Численный расчет b = b0 - cos, I В численной модели физические величины нормировались так же, как это делалось ранее в [11]. В модели mbr = - sin, b=1.

рассматривался круглый плазменный шнур единичного rI радиуса. На радиусе 1.3 располагается идеальный кожух.

Модуль (12) запишем в виде Для численного решения системы (6)-(12) задавалось распределением тока в виде |q | = K (bT ) =A1 sin sin + A2 sin 2, (16) J = eJ0(1 - r2)s, (22) где где s = q(r = 1)/q(r = 0) - 1, e = 1 и e = 0 при r > 1.

m1 m A1 = K - T1 + T0 + (21T2 + 1T2 ), В программе величина коэффициента J0 подбирается в rI 2rI соответствии со значением q(r = 1). Для расчета будем (17) использовать профиль тока, для которого при t = 0, m A2 = K -2T2 + (1T1 - 1T1). (18) q(r = 0) =1.2, q(r = 1) =4.5.

2rI Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 54 Н.Н. Сперанский Температура плазмы в начальный момент задавалась в виде Te = Ti = 300e(1 - r2)2s/3 + 5 eV. (23) Проводимость среды при r > 1 формально принималась с эффективной спитцеровской температурой 5 eV. Концентрация плазмы, для простоты, задавалась постоянной величиной n = 31013 cm-3.

В (23) температура на оси подбиралась такой, чтобы сразу приблизительно выполнялось условие J(KT0) =- (24) и изменение температуры без развития магнитного Рис. 1. Зависимость полуширин магнитных островов от острова было незначительным.

времени.

Для решения уравнений движения (9), (10) на границе плазмы (r = 1) ставились нулевые граничные условия.

Уравнение для магнитного потока (6) решалось во всем пространстве до идеального кожуха.

В рамках наших уравнений пространство 1 < r < 1.можно рассматривать как пространство камеры токамака, экранированное проводящей диафрагмой. Для нулевой гармоники магнитного потока задавались граничные условия 0(r = 0) =0, 0(r = 1.3) =const. (25) Для винтовых гармоник потока полагалось 2(r = 0) =2(r = 1.3) =0, (26) 1(r = 0) =0, Рис. 2. Радиальная зависимость плазменных величин.

t - 0.1(r = 1.3) =-10 1 - exp -, (27) 0.где время t измеряется в миллисекундах. Формула (27) вклад в перераспределение тепла оказывается незначизадает внешнее винтовое возмущение, генерирующее тельным.

остров в плазме.

Величина 10 = 0 при t < 0.1ms, при t > 0.1ms, 10 Различие между кривыми 1 и 2 обусловлено нелинейным взаимодействием первой гармоники 1 со втовыбиралось таким, чтобы возмущенное радиальное поле рой 2. Кроме того, 2 дает свой вклад в 0, что также на радиусе r = 1.3 было равно 0.01B. Внутрь пустой сказывается на полуширине острова гармоники 1.

камеры токамака это поле спадает по закону r2.

Система уравнений (6)-(12) решалась в первом слу- Рассмотрим, как изменилась температура плазмы. На чае разложенная на гармоники (1), (3), (13), во вто- рис. 2 задано радиальное распределение температуры для первого и второго случаев при t = 1 ms в плоскором — на (4), (5), (14). При этом внешнее возмущение сти, проходящей через 0 — точку магнитного острова.

задавалось по закону (27).

Рост полушарий магнитных островов в первом и вто- Кривой 1 представлено начальное распределение температуры при t = 0.1 ms, одинаковое для обоих случаев.

ром случаях представлен на рис. 1. Кривая 1 задает рост острова единственной гармоники, индуцированной воз- Кривые 2 и 3 задают температуру для обоих случаев при t = 1 ms.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.