WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ности f (T0) определяются через коэффициенты M(1), n n 2m + 1 2m + Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды... 9nm(m + 1) Рейнольда для нее Re = 9.61 [22]. Это означает, что G2 We 4(2m + 1) течение воздуха в окрестности капли будет ламинарным, т. е. используемые при формулировке модели условия (m - 1)(m + 2)Km+1,l,n - m(m + 5)Km-1,l,n ;

выполнены. Число Вебера для такой капли будет весьма малым We 0.7 · 10-3. Такой же порядок малости будет G3 We · n[(m + 1)(l + 1)Km,l,n + m,l,n];

иметь и безразмерная плотность, входящая в определение функций неоднородности (7), (8). В системах (5), 4 GG4 ; (6) коэффициенты An, Bn, Cn, Dn содержат сомножители 3 U числа Вебера We и их комбинации с безразмерной m,l,n плотностью вида We. В определение функций G5 (m - n - 1)Km,l,n m неоднородности (7), в коэффициенты G, в различных j слагаемых входят сомножителями We, и We. Из n m,l,n сказанного о численных величинах и We ясно, что - (m - n + 1)Km,l,n - ;

n + 1 m + величины We, и We имеют один порядок малости (причина такого положения дел в том, что безразмерная Km,l,n(2m - n - 2) (n + 2l)m,l,n G6 скорость капли U0 при принятых значениях физических 2 2ml величин имеет величину порядка единицы) и решения n (n + 2l + 3)m,l,n систем (5), (6) можно искать в виде асимптотических + (n - 2m - 3)Km,l,n + ;

2(n + 1) (m + 1)(l + 1) разложений по ним.

Безразмерный параметр Рэлея W, характеризующий 3 m(4 + 5n + 3m + mn + m2) G7 We · n Km-1,l,n устойчивость капли по отношению к собственному за2 (n + 1)(2m + 1) ряду, в рассматриваемой задаче может изменяться в пределах от 0 до 4. Согласно [8], собственные заряды на (m + 2)(2 + n + m - mn + m2) + Km+1,l,n каплях в грозовых облаках невелики и для максимально (n + 1)(2m + 1) наблюдаемых их значений величина параметра Рэлея (n - 1)(m + 2) (n + 1)(m + 2) не превышает десятых долей единицы. Тем не менее + Km,l,n-1 - Km,l,n+в асимптотических расчетах с параметром W будем 2n - 1 2n + обходиться как с величиной нулевого порядка малости.

(m - 1)m-1,l,n (n - 1)m,l,n-а) Примем для определенности, что начальная дефор+ (n + 1)(2m + 1) (m + 1)(2n - 1) мация капли определена суперпозицией j- и k-й мод, при этом j > k, | j - k| 4. Тогда в первом порядке малости (n + 1)m,l,n+1 (n + 1)m+1,l,n + - ;

по We, и We решения системы (5) с начальными (m + 1)(2n + 3) (n + 1)(2m + 1) условиями 3n G8 We · 2(n + 1)(2m + 1) M(1) j T0 = 0 : M(1) = hj; M(1) = hk; = 0;

j k T (m + 1)2(m + 2)Km+1,l,n - m(m - 1)2Km-1,l,n M(1) M(1) n - (m + 1)m+1,l,n +(m - 1)m-1,l,n ; k = 0; M(1) = 0; = 0; n = j; n = k n T0 TG9 We · nm(m + 1)Km,l,n;

имеют вид Dg-2 · hg mln - m(m + 1)l(l + 1)Cn0 · C0 ;

m0l0 m-1lM(1) = cos(0g · T0) - cos(g-2 · T0) ;

(g-2) 2 0g - g-Kmln Cn0 ; (8) m0lCg-1 · hg · 0g Cn0 и Cn0 — коэффициенты Клебша-Гордана.

M(1) = m0l0 m-1l(g-1) 2 0g - g-Присутствие коэффициентов Клебша-Гордана обеспечивает существование лишь конечного количества 0g отличных от тождественного нуля функций неоднород - sin(g-1T0) +sin(0g · T0) ;

g-ности f (T0). Так, при начальном возбуждении m-й моды n будут отличны от нуля коэффициенты Клебша-Гордана M(1) = hg cos(gT0);

g (и функции неоднородности) с номерами от 0 до 2m + 2.

6. Проводимое рассмотрение ориентировано в основ- Bg+1 · hg · 0g M(1) = (g+1) 2 ном на исследование нелинейных осцилляций крупных g+1 - 0g капель воды в грозовых облаках. Примем для определенности, что радиус капли R = 100 µm, тогда скорость 0g - sin(g+1T0) +sin(0g · T0) ;

ее свободного падения в облаке U0 = 72cm/s, а число g+4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 52 А.И. Григорьев Ag+2 · hg неподвижной заряженной капли в среде, решение коM(1) = (g+2) 2 g+2 - 0g торой ранее найдено в [17–18]. Наличие обдувающего каплю потока проявится лишь в изменении частоты cos(g+2 · T0) - cos(0g · T0) ; g = j; k, осцилляций капли, которая определится дисперсионным (9) соотношением (10). В итоге получим, что в испольгде частоты n определяются из уравнения зуемом приближении квадратичные по малому параметру поправки к образующей формы нелинейноn = (n) n(n - 1)(n + 2 - W ) осциллирующей капли будут иметь вид [17,18] hlhm (+) (-) 9n2((2n + 1)(n2 - 1) +3) M(2)(T0, T1) =- lmn + lmn cos(nT0) n - We, (10) l,m 2(2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) имеющего смысл дисперсионного уравнения задачи, вы- hlhm (+) + lmn cos((l + m)T0) писанного в линейном по We, We и приближении, l,m но без учета взаимодействия мод. Это можно сделать, поскольку влияние взаимодействия мод на тангенциаль(-) + lmn cos((l - m)T0) ;

ном разрыве поля скоростей на границе раздела сред на вид дисперсионного уравнения проявится лишь в квадратичном по We, We и приближении. Частоты (±) mln =(mln ± mlmln) n - (m ± l)2 ;

0n определяются из уравнения (10) при We = 0.

Таким образом, при | j - k| 4 рядом с каждой g-й mln = nKmln m(n - m + 1 - n(n - m - 1)/(n + 1)) модой (g = j; k), входящей в спектр мод, определяющих начальную деформацию, за счет гидродинамического + 2n(l(l + 1) - 1) +(l(m + 1) взаимодействия на границе раздела сред, на которой имеет место скачок поля скоростей, будут возбуждены - m(2m - 2n + 7) +3)nW /еще по четыре моды: g - 1, g - 2, g + 1 и g + 2. Однако амплитуды таких мод будут иметь первый порядок + nmln (1/m - n/((n + 1)(m + 1)))m + nW /2 ;

малости по малым переменным We, и We. Если не задаваться условием | j - k| 4, то в силу линейности mln = nKmln(n/2 - m + системы (5) вид ее решений изменится незначительно:

решения будут представлять собой линейные комбина+ n(2m + 3 - n)/(2(n + 1))) + (nmln((1 + n/(2l))/m ции функций, входящих в (9).

б) По найденным решениям M(1) выпишем выражения n - n(n + 2l + 3)/(2(m + 1)(l + 1)(n + 1)).

для функций неоднородности (7) системы (6). Учитывая 7. Несложно видеть, что при выполнении соотношесказанное выше о порядках малости мод, определяюния n =(m ± l)2 знаменатели некоторых компонент щих начальную деформацию, и мод, возбуждаемых за счет линейного взаимодействия вследствие тангенци- решения (11) обращаются в нуль, а само выражение (11) расходится, или, иначе говоря, найденные поправки ального скачка поля скоростей, несложно видеть, что второго порядка малости становятся асимптотически определяющую роль в нелинейном, квадратичном по непригодными. Такая ситуация в теории нелинейных, взаимодействии будут играть моды, определяющие исходную деформацию равновесной формы капли. По- осцилляций интерпретируется как резонансная и должскольку исходной целью проводимого рассмотрения яв- на анализироваться отдельно, иными математическими методами [16–18]. С физической точки зрения налиляется исследование возможности резонансной раскачки основной моды за счет перекачки в нее энергии высо- чие нелинейной резонансной ситуации означает, что в окрестности резонанса волна с частотой n интенсивно ких мод, определяющих начальную деформацию капли, обменивается энергией с двумя волнами с частотами то дальнейшие рассуждения ограничим качественным m и l (в этом случае говорят о вторичном команализом решения системы (6), (7) в пренебрежении бинационном резонансе) или при m = l дважды взавзаимодействием мод за счет тангенциального разрыва имодействует с одной волной частоты m = l (что поля скоростей на границе раздела сред. Бесконечная система связанных неоднородных уравнений (6), (7) интерпретируется как вырожденный резонанс) [16–18] в этом случае превратится в систему несвязанных Ранее в [14] было показано, что в рассматриваемой неоднородных уравнений гармонического типа с нуле- системе при реализации вырожденного резонансного выми начальными условиями для всех мод, а функция взаимодействия мод энергия перекачивается только из неоднородности, определяемая (7), которую выпишем низших мод в более высокие. Во вторичных комбив уравнений в нулевом порядке малости по We, и национных резонансах энергия может переноситься в We, существенно упростится. Полученная система обоих направлениях: как от низких мод к высоким, так в реальности будет описывать нелинейные осцилляции и обратно [16–18]. Единственное, что портит общую Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды... картину в этом случае для заряженной капли, нелинейно осциллирующей в неподвижной диэлектрической среде (колебания которой анализировалась в [16–18]), так это невозможность во втором порядке малости по амплитуде осцилляций вовлечения в резонансный обмен энергиями основной моды (n = 2). Иначе говоря, для неподвижной заряженной капли, осциллирующей в диэлектрической среде, невозможно перекачать энергию из высоких мод в основную за счет вторичного комбинационного резонанса, поскольку соотношение 2 =(m ± l)2 не выполняется ни для каких m и l.

В случае же капли, движущейся относительно среды, частоты ее осцилляций определяются соотношением (11), т. е. дисперсионное соотношение содержит слагаемое, пропорциональное числу Вебера We, и вследствие этого появляется возможность резонансной раскачки основной моды. В самом деле введем обозначение 2 n (m ± l)2 - n, (12) 2 где n = n(m, l, n, W, We) и для различных значений n (для нескольких первых мод, в которые перекачивается энергия из более высоких мод) построим за2 висимости n = n(m, l), пересеченные плоскостью n = 0, при фиксированных значениях параметров Рэлея W и Вебера We (рис. 1). Аналогично построим за2 висимости n = n(W, We) при фиксированных парах значений номеров мод m и l, определяющих начальную деформацию (рис. 2). На приведенных рисунках условия резонансного обмена энергией строго выполняются на прямых, по которым пересекаются поверхности. Зависи2 мости n = n(m, l) для второй, третьей и четвертой мод, проиллюстрированные рис. 1, a-c, указывают на широкие возможности перекачки энергии из высоких мод в низкие. Тем не менее следует указать, что на прямых, по которым пересекаются поверхности на рис. 1, только конечное количество точек соответствует целочисленным значениям номеров мод m и l (при построении рис. 1 дискретные переменные m и l условно приняты меняющимися непрерывно). Остальные точки прямых пересечения поверхностей лишь указывают на близость к положениям точных резонансов. Но само нелинейное внутреннее резонансное взаимодействие Рис. 1. Зависимость от номеров мод m и l величины квадмод малочувствительно к малым отклонениям опредератичной формы n, определенной соотношением (12), пеляющих физических параметров от значений, соответ(2) ресеченная плоскостью n = 0 при W = 0.1 и We = 0.001;

ствующих положениям точных резонансов [17–18,23].

n = 2 (a), 3 (b), 4 (c).

Сказанное означает, что резонансное взаимодействие мод будет иметь место и в некоторых окрестностях геометрического места точек, составляющих прямые на рис. 1 и 2, только его интенсивность (доля передаваемой цию (именно эта ситуация проиллюстрирована рис. 2, a).

резонансным образом энергии и характерное время Как видно из рис. 2, a, точные значения параметров нахождения переданной энергии в раскачиваемой низкой Рэлея и Вебера, при которых реализуется резонансное моде) будет несколько меньшей [17,23]. взаимодействие, измеряются десятыми долями единиСогласно проведенным расчетам, основная мода стро- цы и несколько превышают принятые при модельном го резонансно взаимодействует только с третьей модой расчете, которые были оценены исходя из параметров при условии, что и основная, и третья мода присутству- облачной капли радиусом 100 µm. Чтобы согласовать ют в спектре мод, определяющих начальную деформа- результаты проведенного анализа с реалиями грозовоЖурнал технической физики, 2005, том 75, вып. 54 А.И. Григорьев Рис. 2. Зависимость от величин параметров Рэлея W и Вебера We величины квадратичной формы n, определенной соотношением (12), пересеченная плоскостью n = 0. a — n = 2, m = 2, l = 3; b — n = 3, m = 12, l = 13; c — n = 4, m = 30, l = 31; d — n = 4, m = 6, l = 8.

го облака можно использовать следующие аргументы: Расчеты показывают, что по сравнению со второй a) можно увеличить радиус капли, что приведет к увели- модой третья мода может резонансно обмениваться чению скорости ее падения, величины параметра Вебера энергией уже с существенно большим количеством и к приближению его значения к данным рис. 1, a;

высоких мод: от четвертой до тринадцатой. Однако б) можно принять во внимание слабую зависимость наименьшим значением параметров Рэлея и Вебера частоты осцилляций от величин параметров Релея и (малось зарядов капель и скоростей их движения, хаВебера при малых их значениях и учесть вышесказанное рактеризуемых параметрами Рэлея и Вебера, является о малой чувствительности резонансного взаимодействия необходимым условием для согласования результатов к незначительным отклонениям определяющих физипроводимых модельных расчетов с условиями грозового ческих параметров от точных резонансных значений.

облака) соответствует ее резонансное взаимодействие Можно также скомбинировать первый и второй подходы.

с двенадцатой и тринадцатой модами (рис. 2, b). Для Во всяком случае из сказанного следует, что парачетвертой моды спектр резонансно с ней связанных мод метры крупных капель в грозовых облаках (W 0.1, еще более расширяется (от пятой до тридцать первой), We 0.5) таковы, что в каплях возможна перекачка но оптимальными возможностями в смысле малости энергии из возбужденной третьей моды осцилляций в параметров Рэлея и Вебера обладает показанное на возбужденную вторую моду. Более конкретное и детальрис. 2, c ее взаимодействие с тридцатой и тридцать ное исследование резонансной перекачки энергии между первой модами.

указанными модами требует отдельного рассмотрения.

На рис. 2, a-c рассмотрены ситуации резонансного Пока же можно считать установленным факт возможвзаимодействия n-й моды с двумя соседними модами mности перекачки энергии из третьей моды во вторую.

и l-й (|l - m| = 1) с более высокими, чем n, номерами.

Энергия же третьей моды может восполняться за счет резонансной перекачки энергии из более высоких мод С увеличением номера n расширяются возможности (рис. 1, b). разброса номеров m- и l-й мод, связанных резонансным Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды... взаимодействием с n-й модой. Рис. 2, d иллюстрирует в основную, реализующийся уже во втором порядке такую возможность для номеров n = 4, m = 6, l = 8. малости по амплитуде деформации и приводящий к расC ростом номера n моды, принимающей энергию от качке сфероидальных осцилляций капли, наблюдаемых в естественных условиях.

более высоких m- и l-й, увеличивается и количество номеров мод m и l, cвязанных с n-й резонансным Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант взаимодействием. В итоге складывается следующая воз№ 03-01-00760).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.