WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 12 01;03 О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды движущейся относительно среды заряженной капли © А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 29 марта 2005 г.) В аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости показано, что основная мода заряженной капли, обдуваемой потоком газа, при многомодовой начальной деформации равновесной формы раскачивается за счет нелинейного вторичного комбинационного резонансного взаимодействия с более высокими модами в том случае, когда сама основная мода присутствует в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Указанное обстоятельство объясняет наблюдаемые в естественных условиях сфероидальные осцилляции большой амплитуды капель естественных жидкокапельных систем и позволяет приблизиться к пониманию закономерностей зажигания коронного разряда в окрестности капель в грозовых облаках и инициирования разряда молнии.

1. С заряженными каплями, движущимися относи- упущенным фактором может быть взаимодействие потельно среды, приходится сталкиваться в многочис- верхности капли с обдувающим ее потоком, который при ленных академических, технических и технологических реально фиксируемых скоростях движения капель также приложениях (см., например, обзоры [1–3] и указан- можно моделировать несжимаемой жидкостью. В модели ную там литературу). Так, кучевые облака, являющи- идеальных жидкостей на границе раздела сред будет еся источниками гроз, представляют собой множество иметь место тангенциальный скачок поля скоростей, заряженных капель воды, которые не падают на землю который приведет к реализации колебательной неустойтолько благодаря влиянию восходящих потоков воздуха, чивости границы раздела сред, именуемой для плоской в которых вес капли уравновешивается силой гидроди- границы раздела несмешивающихся несжимаемых жиднамического сопротивления. Исследование электрогид- костей неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца [11,12].

родинамической устойчивости поверхности заряженной Реализация неустойчивости Кельвина-Гельмгольца прикапли в такой системе представляет интерес и в связи ведет к качественному изменению физической картины с исследованием физического механизма инициирования реализации неустойчивости границы раздела сред и, в разряда молнии [4,5]. В соответствии с существующими частности, к снижению критических условий реализации представлениями зарождение разряда линейной молнии неустойчивости капли и по отношению к поверхностносвязано с зажиганием во внутриоблачном электрическом му заряду [9–10]. В связи со сказанным и сформулирополе коронного разряда в окрестности крупной капли вано настоящее исследование особенностей нелинейноили обводненной градины, свободно падающей в гро- го резонансного перераспределения энергии начальной зовом облаке (см., например, [6–7], где анализируются деформации между модами нелинейно-осциллирующей критические условия зажигания коронного разряда в капли в ламинарно обтекающем ее потоке газа и анализа окрестности вершин нелинейно-осциллирующих облач- критических условий реализации неустойчивости граниных капель). Однако максимальные величины измеря- цы раздела сред в такой системе.

емых в грозовых облаках собственных зарядов капель Следует отметить, что нелинейные осцилляции заряи электрических полей [8] много меньше необходимых женной капли в обдувающем ее потоке внешней среды для реализации неустойчивости поверхности капли по ранее исследовались [13], но ввиду громоздкости полуотношению к собственному и индуцированному заря- ченных результатов они анализировались численно и до дам [9,10] и лишь при больших амплитудах сфероидаль- анализа закономерностей резонансного обмена энергией ных осцилляций могут привести к зажиганию коронного между модами дело не дошло. Вырожденные нелинейразряда у вершин капли [6–8]. ные резонансы в обсуждаемой системе были проаналиМаловпечатляющие (несмотря на многочисленные зированы в [14], где было выяснено, что в подобных попытки) успехи исследования физического механиз- резонансах энергия перекачивается только от низких ма зажигания разряда молнии с коронного разряда мод к высоким. Перекачка энергии из высоких мод в в окрестности капли вероятнее всего указывают на низкие характерна для многомодовых комбинационных то, что при исследовании устойчивости по отношению резонансов [15,16]. Однако для заряженной капли в окрук поверхностному заряду движущейся относительно жающей ее идеальной диэлектрической несжимаемой среды капли упускается некий важный фактор. Таким среде наинизшая мода, которую можно было возбудить 48 А.И. Григорьев в трехмодовых вторичных комбинационных резонансах, - - ()2 + Pin + PE - P t оказалась лишь третьей [17,18]. Возможность резонансной раскачки основной моды, представляющая основной = - - ()2 + Pex;

интерес для построения механизма инициирования разt ряда молнии [4–6], была обнаружена при исследовании нелинейных четырехмодовых комбинационных резонан( )PE = ; P = div n; (r, t) = (t).

S сов [16]. Но сам обнаруженный в [16] в расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации эффект для основной моды осцилляций оказался весь r = 1 + (, t);

ма слабым и не мог объяснить результатов натурных - (n · )dS = 0; S = 0 ;

наблюдений [19,20], где были зафиксированы сферои- 0 2;

S дальные осцилляции падающих в атмосфере капель с амплитудой, превышающей половину радиуса капли.

2. Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая 0 r 1 + (, t);

среда с плотностью 2 и диэлектрической проницае- r2dr sin dd = ; V1 = 0 ;

0 2;

мостью, занимающая бесконечный объем, движется Vс постоянной скоростью U0 относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжимаемой идеально t = 0 : (, t) =0P0(µ) + hiPi(µ);

проводящей жидкости с плотностью 1. Коэффициент i поверхностного натяжения границы раздела сред обозначим, а полный заряд капли — Q. Примем, что в на(, t) чальный момент времени t = 0 равновесная сферическая hi = 1; = 0;

t форма капли претерпела виртуальную осесимметричную i деформацию конечной амплитуды, много меньшей, одhнако, радиуса капли. Поле скоростей течения жидкости i 0 -2 + O(3). (1) в капле в начальный момент времени положим тожде(2i + 1) i ственно равным нулю и станем исследовать нелинейные осцилляции капли при t > 0. Здесь — амплитуда начальной деформации, являюДля упрощения нижеследующих расчетов сразу щаяся малым параметром задачи; Pi(µ) — полином введем безразмерные переменные, в которых R = Лежандра i-го порядка; µ cos(); Pin и Pex —давления = = 1 = 1. Тогда в сферической системе коорди- в капле и среде соответственно; PE — давление элекнат r,, c началом в центре масс капли уравнение трического поля собственного заряда капли на границу границы раздела сред, возмущенной осесимметричной раздела сред; P — лапласовское давление; n —едикапиллярным волновым движением, запишется в виде ничный вектор положительной нормали к поверхности r = 1 + (, t), || 1. Движения жидкости в капле и капли; (t) — постоянный вдоль поверхности капли S среде будем полагать потенциальными, т. е. примем, что электростатический потенциал; 2/1; hi — коэфполя скоростей волнового движения жидкости имеют фициенты, определяющие парциальный вклад i-й колебавид: в капле V = (r, t), в среде U = (r, t). тельной моды в суммарное начальное возмущение; — Математическая формулировка задачи расчета нели- множество значений номеров изначально возбужденных нейных осцилляций границы раздела сред в описанной колебательных мод, определяющих форму начальной системе состоит из уравнений Лапласа для потенциалов деформации капли; 0 — константа, определяемая из скоростей (r, t) и (r, t) и электростатического потен- условия постоянства объема капли в начальный моциала (r, t) [6–7,13–16] мент времени. Гидродинамические скорости считаем на много порядков меньшими скорости распространения (r, t) =0; (r, t) =0; (r, t) =0 электромагнитного сигнала в вакууме, в связи с чем уравнения Максвелла для расчета электрического поля в и граничных условий к ним окрестности нелинейно осциллирующей капли сводятся к уравнениям электростатики.

r 0 : (r, t) 0;

Кроме приведенных граничных и начальных условий следует учесть также условие неподвижности центра r : (r, t) 0 : (r, t) U0;

масс системы, которое, согласно [21], при достаточно больших характерных линейных масштабах внешней среды выполняется автоматически, а расчет амплитуды r = 1 + : = - ;

t r rтрансляционной (первой) моды, как и более высоких мод, следует производить на основе системы граничных 1 - = - ;

гидродинамических условий на границе раздела.

r r2 r rЖурнал технической физики, 2005, том 75, вып. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды... 3. Решение сформулированной задачи в квадратичном Нижеследующее изложение ввиду конечности объема по малому параметру приближении будем проводить статьи ограничим расчетом коэффициентов M(m)(T0, T1), n асимптотическим методом многих масштабов, когда исопределяющих форму нелинейно-осциллирующей капли комые функции (r, t), (r, t), (r, t), а также функция как функцию времени. Остальные коэффциенты разобразующей формы капли в любой момент времени ложений (2), (3), согласно [13], достаточно легко, но (, t) считаются зависящими не от обычного времени t, громоздко выражаются через M(m)(T0, T1).

n но от разных его масштабов Tm = m · t в соответствии 4. В первом порядке малости по для определения с наличием в колебательной системе быстро и медленно неизвестных коэффициентов M(1)(T0, T1) получается бесn протекающих процессов. Аналитические асимптотичеконечная система связанных дифференциальных уравнеские выражения для (, t); (r, t); (r, t); (r, t) будем ний искать в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра и рядов по полиномам Лежандра M(1)(T0, T1,...) 0; M(1)(T0, T1,...) 0;

0 (, t) = m · (m)(, T0, T1,...);

n 2 : An · M(1) (T0, T1,...) n-m= M(1) (T0, T1,...) 2M(1)(T0, T1,...) n + Bn n-1 + (r, t) = m · (m)(r,, T0, T1,...);

T0 Tm=M(1) (T0, T1,...) (2) + n · M(1)(T0, T1,...) +Cn n+n (r, t) = m · (m)(r,, T0, T1,...);

Tm=+ Dn · M(1) (T0, T1,...) =0;

n+ (m) (r, t) = m · (r,, T0, T1,...); (2) 9 n2(n - 1)(n - 2) m=An = We · (n) ;

4 (2n - 3)(2n - 1) где Bn = We n(n);

(m)(, T0, T1,...) = M(m)(T0, T1,...) · Pn(µ);

n n=3 n(2n + 1) Cn = We · (n) ;

(m) 2 2n + (m)(r,, T0, T1,...) = En (T0, T1,...) · rn · Pn(µ);

n=9 n2(n + 1)(n + 2) Dn = We · (n) ;

4 (2n + 3)(2n + 5) (m)(r,, T0, T1,...) = G(m)(T0, T1,...)r-n-1 · Pn(µ);

n n=n = (n) n(n - 1)(n + 2 - W ) (m) (m) (r,, T0, T1,...) = Fn (T0, T1,...)r-n-1 · Pn(µ).

n=0 9n2((2n + 1)(n2 - 1) +3) - We ;

(3) 2(2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) Производные по времени t будем вычислять, имея в виду полный набор различных его масштабов, по -Q2 n правилу W = ; (n) = 1 + ;

4 n + = + + O(2). (4) t T0 T(1) We · U0 ; 0. (5) S Подставляя разложения (2)-(4) в задачу (1) и приравнивая в каждом из уравнений слагаемые одного порядка Несложно видеть, что при U0 = 0 система связанмалости, несложно получить набор краевых задач для ных дифференциальных уравнений (5) распадается на последовательного определения (в нулевом, первом и совокупность несвязанных дифференциальных уравневтором порядках по ) неизвестных коэффициентов ний второго порядка с постоянными коэффициентами, (m) разложения (2), (3): M(m)(T0, T1,...); En (T0, T1,...);

n определяющих гармонические осцилляции отдельных G(m)(T0, T1,...); Fn(m)(T0, T1,...). мод (как это и было получено ранее [17,18] для n 4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 50 А.И. Григорьев ситуации осцилляций заряженной капли несжимаемой являющиеся решениями системы (5), и имеют вид жидкости, покоящейся относительно несжимаемой диэлектрической среды). Таким образом, причиной появf (T0) = G1 · M(1)(T0) · M(1)(T0) n m l ления линейного по малому параметру взаимодействия m l мод является наличие движения внешней среды. При этом, согласно (5), n-я мода взаимодействует с четырьмя M(1) (T0) · M(1)(T0) M(1) (T0) · M1(T0) m+1 l ближайшими: с (n - 2)-й, (n - 1)-й, (n + 1)-й, (n + 2)-й.

+ G2 m-1 l 2m - 1 2m + Ранее взаимодействие мод в линейном приближении по малому параметру было обнаружено в случае плоской границы раздела несмешивающихся между собой иде- mM(1) (T0) mM(1) (T0) m++ G3 m-1 альных несжимаемых сред, одна из которых поступа2m - 1 2m + тельно движется параллельно границе раздела [11,12], т. е. в ситуации, когда граница раздела способна преlM(1) (T0) lM(1) (T0) l-1 l+терпевать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. В [10] 2l - 1 2l + было показано, что в случае обтекания капли потоком идеальной жидкости поверхность капли вовлекается в M(1) (T0) m M(1)(T0) m+колебательное движение, характерное для этой неустой- l + Gl + 1 2m + 3 Tчивости.

Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с обтекающим ее потоком идеальной жидкости, M(1) (T0) M(1)(T0) m-l обнаруживаемый в линейном приближении: согласно [9], 2m - 1 Tкапля сплющивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим от скорости потока и величины M(1) (T0) M(1) (T0) l M(1)(T0) M(1)(T0) m m l+1 l-+ заряда капли. Возможные осцилляции капли должны m + 1 T0 2l + 3 T0 2l - происходить в окрестности равновесной сфероидальной формы. Однако степень сфероидальности при разумных 2M(1)(T0) M(1) M(1) скоростях (пока течение обтекающей каплю среды мож+ G5 m M(1)(T0) +G6 m l T02 l T0 Tно считать ламинарным), как правило, невелика. Согласно [9], амплитуда обсуждаемой сфероидальной деM(1)(T0) M(1)(T0) формации M(1) =(3 · We/16) весьма мала, и, например, l + G7 m M(1)(T0) +G8 · M(1)(T0) m при расчетах обтекания капли с R = 100 µm потоком T0 l Tвоздуха, когда 2 0.001 g/cm3, при скоростях потока M(1) (T0) M(1) (T0) M(1)(T0) M(1)(T0) U0 100 cm/s ею можно пренебречь при расчетах во m-l + G9 m+1 l - ;

втором порядке малости. T0 2m + 3 T0 2m - (7) 5. Для определения поправок второго порядка малости (для отыскания коэффициентов M(2)) получим n n G1 Km,l,n 2n[l(l + 1) - 1] +W · [l(m + 1) систему связанных неоднородных дифференциальных уравнений гармонического типа n(9m2 + 9m - 7) - m(2m - 2n + 7) +3] +We (2m - 1)(2m + 3) M(2)(T0) = (M(1)(T0))2;

0 n 2n + n=n 9n(n - 1) + W m,l,n + We 2 4(2n - 1)(2m + 1) M(2) (T0) An · M(2) (T0) +Bn n-n-T0 m(m - 1)2Km-1,l,n-1 - (m + 1)2(m + 2)Km+1,l,n-- (m - 1)m-1,l,n-1 +(m + 1)m+1,l,n-2M(2)(T0) n + + n · M(2)(T0) n T9n(n + 1) + We (m + 1)2(m + 2)Km+1,l,n+(4(2n + 3)(2m + 1)) M(2) (T0) + Cn n+1 + Dn · M(2) (T0) - m(m - 1)2Km-1,l,n+1 - (m + 1)m+1,l,n+n+T9n +(m - 1)m-1,l,n+1 - We = (n) · f (T0); n 1 (6) n 8(2m + 1) с нулевыми начальными условиями. Функции неоднородm(m - 1) (m + 1)(m + 2) Km-2,l,n + Km+2,l,n ;

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.