WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Будем решать сформулированную задачу методом (m) Очевидно, что каждая из функций (m) и является многих масштабов. Искомые функции (, t), (r, t), решением соответствующего уравнения Лапласа (11) в (r, t) представим в виде разложений по степеням малосилу линейности последних. Отметим, что поправки (m) го параметра. Однако, в отличие от ранее рассматри(eq) к равновесному потенциалу, связанные с осциллявавшихся задач о нелинейных осцилляциях заряженных циями поверхности капли, должны стремиться к нулю по капель в отсутствие внешних силовых полей, теперь мере удаления от поверхности. Поэтому необходимые разложение необходимо проводить не только по целым, решения, удовлетворяющие нулевым условиям либо в но и по полуцелым степеням параметра. Это позволяет центре капли, либо на бесконечности, для функций учесть влияние на осцилляции капли давления сил различных порядков малости (m = 1; 3/2; 2) запишем инерции (т. к. a 1/2) и перекрестных слагаемых элекв виде трического давления ( QE0 1/2). В рамках расчетов указанного порядка малости будем в соответствии с основной идеей метода многих временных масштабов (m)(r,, t) = D(m)(t)rnPn(µ), n считать все искомые величины зависящими не просто от n=времени t, а от трех его масштабов, определенных через малый параметр : Tm mt (m = 0; 1/2; 1). В итоге (m) (r,, t) = Fn(m)(t)r-(n+1)Pn(µ). (23) получим n=(, t) =(1)(, T0, T1/2, T1) +3/2(3/2)(, T0, T1/2) В виде аналогичных разложений по полиномам Лежандра представим и последовательные поправки к + 2(2)(, T0) +O(5/2);

форме образующей поверхности капли:

(r, t) =(1)(r, T0, T1/2, T1) +3/2(3/2)(r, T0, T1/2) + 2(2)(r, T0) +O(5/2);

(m)(, t) = M(m)(t)Pn(µ). (24) n n=(eq) (1) (r, t) = (r) + (r, T0, T1/2, T1) (3/2) (2) + 3/2 (r, T0, T1/2) +2 (r, T0) +O(5/2), Коэффициенты D(1)(t), Fn(1)(t), M(1)(t), определяющие n n (21) временную эволюцию решений первого порядка мало(eq) где — потенциал электростатического поля в сти для искажения формы поверхности капли (1)(, t), окрестности равновесной формы капли, в линейном гидродинамического (1)(r,, t) и электростатического Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 48 С.О. Ширяева (1) (r,, t) потенциалов, находятся из системы урав- Система уравнений порядка малости 3/2 для опренений, получающейся из (14)-(19) группировкой сладеления функций D(3/2)(t), Fn(3/2)(t), M(3/2)(t), получаюn n гаемых, содержащих первую степень параметра и щаяся из (14)-(19) группировкой слагаемых при 3/2, связанных с искажением равновесной формы капли будет содержать слагаемые, учитывающие взаимодействие возмущения (, t) с силой инерции и внешним (1) (1) электростатическим полем:

r = 1 : - = 0;

T0 r (3/2) (3/2) (1) r = 1 : - + = 0;

T0 r T1/(1) - + p(1) () +p(1)() =p(1)();

T0 EQ in (3/2) (3/2) - Q(3/2) - E 3µ(1) = ;

S (1) (1) - Q(1) = ;

(3/2) (1) S - + + p(3/2)() +p(3/2)() =p(3/2)();

in T0 T1/2 EQ (l) (1)d = 0; (1)Y1 (, )d = 0, (3/2)d = 0; (3/2)Y1(l)d = 0, 0 0 0 0 (1) (l = 0, ±1); d = 0; (25) (3/2) r (l = 0, ±1); d = 0; (29) 0 r Q (1) 1 (3/2) p(1) () =- + 2Q(1) ;

EQ p(3/2)() = - Q + 2Q2(3/2) 4 r EQ 4 r p(1)() =0; p(1)() =-(2 + )(1);

in (1) + E · 3µ + 4Q(1) ;

r Y1(1)(, ) — сферические функции; — угловая часть оператора Лапласа; d — телесный угол.

p(3/2)() =in (1)( = 0) - µ(1)() ;

in Подставляя в (25) решения (23)–(24) для m = 1, (1) выразим D(1)(t) и Fn (t) через эволюционные коэффи- p(3/2)() =-(2 + )(3/2).

n циенты M(1)(t):

n Подставим в (29) решения (23), (24) с индексом m = 3/2 и решения первого порядка (26), (28). Выра1 M(1)(t) n жения для D(3/2)(t) и Fn(3/2)(t) получим в виде n (n 1) D(1)(t) = ; Fn(n)(t) =QM(1)(t);

n n n T1 M(3/2)(t) M(1)(t) n n (n 1) D(3/2)(t) = + ;

n D(1)(t) =0; F0(1)(t) =0; M(1)(t) =0; M(1)(t) =0, n T0 T1/0 0 (26) n а для определения M(1)(t) при n 2 получим дифференn Fn(3/2)(t) =QM(3/2)(t) +3E M(1) (t) n n-2n - циальное уравнение n + + M(1) (t) ;

2M(1)(t) n n+2 2n + + nM(1)(t) =0; n = n(n - 1)(n + 2 - W );

n TD(3/2)(t) =0; F0(3/2)(t) =0;

(27) n — частоты собственных осцилляций поверхности M(3/2)(t) =0; M(3/2)(t) =0, (30) заряженной капли. Решениями уравнения (27) являются 0 функции, гармонически зависящие от времени T0, при а зависимость эволюционных коэффициентов M3/2(t) n этом амплитуда и фаза этих колебаний могут зависеть при n 2 от времени T0 определяется из решения от других временных масштабов T1/2 и T1:

неоднородного дифференциального уравнения (1) (1) 2M(3/2)(t) An M(1)(t) =An (T1/2, T1) exp inT0 + к.с.; n n + nM(3/2)(t) =-2in exp inTn T0 T1/(1) An (T1/2, T1) =a(1)(T1/2, T1) exp ib(1)(T1/2, T1). (28) n n 3Q n2 (1) + E (2n - 3) - in An-1(t) exp in-1TАббревиатура „к.с.“ обозначает слагаемые, комплексно 4 2n - сопряженные к выписанным. Зависимость вещественных 3Q n(n +1) функций a(1)(T1/2, T1) и b(1)(T1/2, T1) от времен T1/2 и Tn n (1) + E (2n -1) - in An+1(t) exp in+1T0 +к.с..

может быть определена только при рассмотрении задач 4 2n + следующего порядка малости. (31) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле Чтобы решение этого уравнения не содержало се- (l) кулярных членов, необходимо потребовать обращения 2(2) + 3 (1) + e6h()(1) Y1 d = 0, в ноль слагаемых в функции неоднородности, про0 порциональных exp inT0, описывающих внешнее воз(l = 0, ±1);

действие с частотой n, равной частоте собственных колебаний n-й моды. Записывая необходимое условие (1) (1) (1) (2) (dAn /dT1/2) =0, получаем, что решения первого по+ (1) + eh() 2 + r r rрядка малости (26), (28) не зависят от временного масштаба T1/2, а общее решение уравнения (31) может быть представлено в виде (1) (1) - + e 12h()Q(1) (3/2) M(3/2)(t) =An (T1/2) exp inTn (1) (1) + sin 2 Q + d = 0;

1 3Q + E (2n - 3) - in n - n-1 1 (2) (3/2) n2 (1) p(2) () = - Q + 2Q2(2) + E · 3µ EQ An-1 exp in-1T4 r r 2n - 1 3Q 1 (1) 2 (1) + E (2n - 1) - in + 4Q(3/2) - + n - n+1 2 r n(n + 1) (1) (1) An+1 exp in+1T0 + к.с., (32) - (1) 5Q2(1) - 18Eµ2 + 2Q 2n + r (3/2) где An (T1/2) =a(3/2)(T1/2) exp ib(3/2)(T1/2) ;

n n 2 (1) (1) - Q + eQ h() 8Q(1) + a(3/2)(T1/2), b(3/2)(T1/2) — действительные функции, n n r2 r зависимость которых от T1/2 может быть определена лишь при решении задачи второго порядка малости.

2 (1) 1 (1) + + sin 2 ;

Группируя в (14)–(19) слагаемые при 2, запишем сиr2 стему уравнений второго порядка малости для функций (2) D(2)(t), Fn (t), M(2)(t):

n n p(2)() =in (3/2)( = 0) - µ(3/2)() ;

in (2) (2) (3/2) (1) p(2)() = - (2 + )(2) + 2(1)(1 + )(1) r = 1 : - + + T0 r T1/2 T- e · 2h()(4 - )(1).

2(2) (1) (1) - (1) + eh() + = 0, Используя выписанные ранее решения (23), (24) с rиндексом m = 2 и решения более низких порядков (26), (28), (30), (32), выразим коэффициенты D(2)(t) и Fn(2)(t) n (2) (1) 2(1) - - - (1) + eh() через M(m)(t), (m = 1; 3/2; 2):

n T0 T1 rT2 1 M(2)(t) M(3/2)(t) n n 1 (1) (1) (n 1) D(2)(t) = + - + n n T0 T1/2 r M(1) (t) M(1)(t) (n + 1)2(n + 2) n + p(2) () +p(2)() =p(2)(); n+ EQ in + - e T1 2(2n + 3)(2n + 5) T (1) (2) - Q(2) - E · 3µ(3/2) + (1) + Q(1) (n - 1)n(n + 1) M(1)(t) n r + 3(2n - 1)(2n + 3) T (1) (2) + eh() - Q(1) = ;

M(1) (t) S (n - 3)(n - 1)n n-r - e 2(2n - 1)(2n - 3) T 1 M(1)(t) m (2) + (1) + e2h()(1) d = 0;

- (m - 1)mKk,m,n - k,m,n M(1)(t) ;

k m T0 k=0 m=4 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 50 С.О. Ширяева n(8 - 7n - 3n2) n G2(n) n+1n+2 36wn2 - eFn(2)(t) = QM(3/2)(t) +3E M(3/2)(t) n n-2n - (n2 - 1)n2 n + 1 n2(n - 1) +(n - 1)2(n + 4 - W ) - ;

2 + M(3/2)(t) + Qe M(1) (t) n+1 - n+n+1 n-2n + 3 2(2n - 3)(2n - 1) 1/2G4(n) n(n - 1)n+1 ;

n(n + 1)(n + 2) + M(1)(t) n 3(2n - 1)(2n + 3) n2(n - 2) 1/2G5(n) ;

2n - (n + 1)(n + 2)(n + 4) + Qe M(1) (t) n+2(2n + 3)(2n + 5) n(-12 + 11n - 3n2) G3(n) nn-1 36wnn-2 - e2(2n - 3) + Q mKk,m,nM(1)(t)M(1)(t) ;

k m (9 - 5n + n2)(n - W ) k=0 m=2n - D(2)(t) =0; F0(2)(t) =0;

(n - 3)(n - 1)nn-2 + ;

2 2 n-1 - n-M(2)(t) =- M(1)(t) - e M(1)(t);

0 k 2k + 1 k=m m ;

2m + 9k M(2)(t) =- M(1) (t)M(1)(t) 1 k-1 k (2k - 1)(2k + 1) k=0 kmn = Kkmn k (n - k + 1) +2n(k2 + k - 1) - e M(1)(t), 35 n + W 3 + m(k + 1) - k(2k - 2n + 7) а для искомых функций второго порядка малости M(2)(t) n получим следующее дифференциальное уравнение:

1 n + kmn k + W ;

(1) k M(2)(t) dAn (T1) n + nM(2)(T0) = -2in n T02 dT1 n 1 n kmn = Kkmn - k + 1 + kmn 1 + ;

2 k 2m (3/2) dAn (T1/2) (1) + G1(n)An (T1) - 2in exp inT0 Kkmn = Cn0 ;

dT1/k0m(1) (1) kmn = - k(k + 1)m(m + 1) Cn0 Cn0, + G2(n)An+2 exp in+2T0 + G3(n)An-2 exp in-2Tk0m0 k(-1)m(3/2) (3/2) k0m0 k(-1)m+ G4(n)An+1 exp in+1T0 + G5(n)An-1 exp in-1T0 где Cn0, Cn0 — коэффициенты Клебша–Гордана.

Необходимость исключения из решений уравне ния (33) секулярных слагаемых приводит к требованию, + [(kmn + mkn) чтобы первая квадратная скобка в функции неоднородноk=0 m=сти (правой части (33)) обращалась в нуль. Этого можно добиться, если положить (1) (1) + km(kmn + mkn)]Ak Am exp(i[k + m]T0) (1) dAn (T1) (1) +[(kmn + mkn) - km(kmn + mkn)] -2in + G1(n)An (T1) =0;

dT (1) (1) Ak Am exp(i[k - m]T0) + к.с. ; (33) (3/2) dAn (T1/2) = 0. (34) e2n+1(n2 + n + 2 - W ) dT1/G1(n) n2n - Согласно второму из этих уравнений, амплитуды поряд ка малости 3/2 от временного масштаба T1/2 не зависят, 36wn 2(n - 1)(2n + 3) - + и следовательно, в (32) a(3/2) и b(3/2) являются кон(2n - 1)(2n + 3) n n стантами, для определения которых необходимо учесть n2(n - 2)2n-1 (n - 1)2(n + 1)2n+1 начальные условия. Первое из уравнений (34) позволяет + n 2 2 + ;

n-1 - n n+1 - n определить зависимость амплитуд первого порядка малости от медленного временного масштаба T1. Выражая 3QE(1) ;

в нем An (T1) через действительные функции a(1)(T1), n Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле (3/2) (1) b(1)(T1) и требуя обращения в ноль действительной и n (3/2) = 0; + = 0;

мнимой частей уравнения, несложно получить T0 T1/(2) (3/2) (1) G1(n) (2) = 0P0(µ) +1P1(µ); + + = 0.

a(1)(T1) =a(0); b(1)(T1) =- T1 + b(0), (35) n n n T0 T1/2 T2n n Учет (24) и полученных в ходе решения соотношений a(0) и b(0) — константы, определяемые из начальных n n dM(1)/dT1/2 = 0 и dM(3/2)/dT1/2 = 0 позволяет привести n n условий.

данную систему к виду Величины b(1)(T1) определяют поправки к частотам n собственных колебаний поверхности капли, связанные M(1)(t) n t = 0 : M(1)(t) =hii,n; = 0;

n с отклонением ее равновесной формы от сферической и Tналичием в окружающем пространстве электростатического поля. С учетом (35) амплитуды колебательных мод M(3/2)(t) n M(3/2)(t) =0; = 0;

n первого порядка малости M(1)(t) вместо (28) запишутся Tn в виде M(2)(t) M(1)(t) n n M(2)(t) =0n,0 + 1n,1; + = 0, n T0 TM(1)(t) =2a(0) cos[(n - n)t + b(0)]; n G1(n)/2n.

n n n (36) где i, i, j — дельта-символ Кронекера.

Выражения для амплитуд второго порядка малости Подставим в систему начальных условий решения (32), (36), (37) и после определения действительных M(2)(T0) (n 2) получим, решая уравнение (33) с учеn том соотношений (34), констант a(0), b(0), a(3/2), b(3/2), a(2), b(2) получим в n n n n n n окончательном виде:

(1) (2) M(2)(t) =An exp inT0 + n+2An+2 exp in+2Tn (n 2) : M(1)(t) =hii,n cos[(n - n)t];

n (1) (3/2) + n-2An-2 exp in-2T0 + n+1An+1 exp in+1Thn-1n(n - 2)(cos n-1t - cos nt) 1/2M(3/2) = n n (3/2) (2n - 1)(n - n-1) + n-1An-1 exp in-1Thn+1n+1(n - 1)(cos n+1t - cos nt) + ;

(+) (1) (1) 2 + kmnAk Am exp(i[k + n]T0) n - n-k=0 m=nn+1(n2 - 1)2 nn-1n2(n - 2) M(2)(t) = -hn 2 2 + n 2 (-) (1) (1) (n - n+1)2 (n - n-1)+ kmnAk Am exp(i[k - n]) + к.с. ; (37) hn+2(n2 - 1)n+1n+G2(n) G3(n) + n+2 = ; n-2 = ;

2 2 2 2 2 2 2 (n - n+1)(n+1 - n+2) n - n+2 n - n-G4(n) G5(n) hn-2(n - 1)(n - 3)n-1n-2 n+1 = ; n-1 = ; + n2 cos nt 2 2 2 2 2 2 n - n+1 n - n-1 (n - n-1)(n-1 - n-2) 1 (kmn + mkn) ± km(kmn + mkn) (±) + hn+2n+2(cos n+2t + cos nt) kmn =.

2 n - (k ± m)+ hn-2n-2(cos n-2t + cos nt) Отметим, что принятое ограничение точности данного рассмотрения вторым порядком малости, позволяет (n2 - 1)n+1 (n2 - 1)hnn n2hn+2n++ 2 2 2 2 2 определить зависимость коэффициентов M(2) лишь от n n - n+1 n - n+1 n+1 - n+временного масштаба T0. В связи с этим в (37) сле(2) (1) n2n-1 (n - 2)2hnn дует принять An = a(2) exp ib(2), An = a(0) exp ib(0), а n n n n cos n+1t + 2 2 2 n - n-1 n - n-действительные константы a(2) и b(2), так же как и a(0), n n n b(0), a(3/2), b(3/2) определяются из начальных условий.

n n n (n - 1)(n - 3)hn-2n-2 Начальные условия (20) подстановкой в них разло- cos n-1t 2 n-1 - n-жения (21) для возмущения (, t) превращаются в систему начальных условий для функций разных порядков hmhj (+) + mjn cos (m + j)t - cos nt малости m j (1) t = 0 : (1) = hiPi(µ); = 0;

(-) T0 + mjn cos (m - j)t - cos nt ;

i 4 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 52 С.О. Ширяева M(1)(t) =M(1)(t) =M(3/2)(t) =M(3/2)(t) =0;

0 1 0 2hm 2M(2)(t) =- (cos mt)2m + m 2h- e2 cos 2t; (38) 9mhm-1hm2M(2)(t) = - cos m-1t cos mt 4m2 - m 9h- e2 cos 3t.

Таким образом, используя (10), (21), (24) (38) для формы поверхности осциллирующей заряженной капли, ускоренно движущейся во внешнем однородном электрическом поле, запишем следующее выражение:

er(, t) =1 + P2(µ) + M(1)(t) +1/2M(3/2)(t) n n n=+ M(2)(t) Pn(µ) +O(5/2). (39) n Расчеты по (38), (39) форм равноускоренно движущихся во внешнем однородном электростатическом поле нелинейно осциллирующих заряженных капель проиллюстрированы рис. 1–3, из которых видно, что закономерности временной эволюции положительно и отрицаРис. 1. Образующие форм нелинейно осциллирующей капли, тельно заряженных капель при неизменном электростакогда начальная деформация определена суперпозицией 19-й и тическом поле (или при смене направления напряженно20-й мод, в различные моменты времени, измеренные в долях сти электростатического поля на противоположное при периода 19-й моды T19, рассчитанные при = 0.2, W = 3.7.

неизменном заряде капли) несколько отличаются. Это a — для положительно заряженной, b — для отрицательно заряженной капли. Номера кривых соответствуют различным различие связано с появлением в выражении (39) для 19 моментам времени: 1 — t = 0; 2 — T19; 3 — T19;

16 образующей слагаемого 3/2M(3/2)(t) (3QE0/2), n 4 — T19.

изменяющего свой знак при изменении знака заряда или при изменении ориентации напряженности поля, тогда как все остальные слагаемые выражения (39) либо не зависят от заряда, либо пропорциональны его квадрату:

W,. В задачах расчета нелинейных осцилляций заряженных капель в отсутствие внешних полей [1–9] в выражении для образующей формы капли заряд всегда входит в квадрате, и следовательно, форма осциллирующей капли не изменяется при смене знака заряда.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.