WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 6 01;03 Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле © С.О. Ширяева Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: shir@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 1 июля 2005 г.) Найдено аналитическое асимптотическое решение задачи о нелинейных осцилляциях заряженной капли, ускоренно движущейся в вакууме в однородном электростатическом поле, в квадратичном приближении по двум малым параметрам: величине эксцентриситета равновесной сфероидальной формы и амплитуде начальной деформации равновесной формы. Расчеты проведены в неинерциальной системе отсчета, связанной с центром масс капли, путем разложения по дробным степеням малого параметра. Найденные поправки к частотам осцилляций всегда отрицательны, они появляются уже во втором порядке малости, определяются стационарной деформацией капли в электрическом поле и приводят к нелинейному снижению критического для реализации неустойчивости капли поверхностного заряда. Обнаружен обусловленный инерциальными силами эффект слабого различия во временной эволюции формы нелинейно осциллирующих капель с зарядами разных знаков.

PACS: 11.30.Na, 47.55.dd Многочисленные исследования нелинейных осцилля- тростатическом поле напряженностью E0 под действием ций заряженной капли, проведенные за последние два постоянной силы QE0. Все рассмотрение проведем в сидесятка лет, в большинстве случаев выполнены для стеме отсчета, связанной с центром масс. Такая система неподвижной капли [1–9] или для капли, равномерно для равноускоренно движущейся капли будет неинердвижущейся относительно среды в системе координат, циальной. Примем, что жидкость имеет плотность, связанной с центром масс, т. е. опять-таки в инерциаль- коэффициент поверхностного натяжения на границе с ной системе отсчета [10]. Попытка расчета нелинейных вакуумом. В отсутствие электростатического поля осцилляций хаотически движущегося с переменной ско- капля имеет сферическую форму с радиусом R. Для ростью пузыря в жидкости, предпринятая в [11] основана проведения следующих расчетов необходимо определить на ошибочной записи силы инерции, и поэтому неудачна. равновесную форму капли во внешнем электростатическом поле и поле сил инерции. Все рассмотрение проНа сегодняшний день ввиду значительной громоздковедем в безразмерных переменных, где = = R = 1.

сти аналитических асимптотических исследований нелиУскорение движения центра масс заряженной капли нейных осцилляций и устойчивости незаряженной капли в электростатическом поле, равное отношению силы, в однородном внешнем электростатическом поле из-за действующей на каплю со стороны электростатического наличия нескольких малых параметров выполнено лишь поля, к ее массе, при принятом обезразмеривании запидва нелинейных [12,13] исследования данного объекта.

шется в виде a = 3QE0/4. Сила инерции, действующая Эксцентриситет e равновесной в однородном внешнем на каплю, которую необходимо ввести в неинерциальной электростатическом поле сфероидальной формы элексистеме отсчета, будет равна взятому с обратным знаком тропроводной капли, характеризующий отклонение от произведению ускорения a на массу капли: Fin -QE0.

равновеликой по объему сферы, определяет первый малый безразмерный параметр. Отношение амплиту- Ограничим проводимое рассмотрение осесимметричды начальной деформации равновесной сфероидальной ными начальными деформациями капли и будем искать формы к радиусу равновеликой сферы образует второй равновесную форму поверхности капли в сферических малый параметр.

координатах в виде разложения по полиномам Лежандра В настоящей работе проводится аналитическое асим птотическое рассмотрение нелинейных осцилляций заr() =1 + f () =1 + anPn(µ); µ cos. (1) ряженной капли, движущейся с постоянным ускорением n=во внешнем однородном электростатическом поле, с сохранением слагаемых e2 и 2 в предположении, Малые (|an| 1) амплитуды мод an должны быть что малые параметры e2 и имеют один порядок определены из условия баланса давлений на искомой малости.

равновесной поверхности Пусть в вакууме капля идеально электропроводной несжимаемой жидкости, имеющей заряд Q, в вакууме равноускоренно движется в однородном внешнем элек- p(eq) - patm + p(eq) + p(eq) = p(eq). (2) 0 EQ in Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле Здесь p(eq) — давление жидкости внутри равновесной Для того чтобы выписать аналогичное разложение для давления электрических сил на равновесную покапли, patm — атмосферное давление, p(eq), p(eq) и EQ in (eq) верхность капли p(eq) =( )2/8, следует решить EQ p(eq) — электрическое, инерционное и давление на электростатическую задачу поверхность (1) сил поверхностного натяжения соответственно. (eq) (eq) = 0; r : -E0rµ;

Помимо условия (2) необходимо потребовать выпол(eq) нения условий неизменности объема капли в неподвижr = r() : = const;

ности ее центра масс в выбранной системе отсчета r() 2 n (eq) r=r() sin d = -4Q.

dV = 2 r2 sin dr d = ;

V 0 0 Подставляя искомый потенциал электростатического поля в окрестности равновесной поверхности в виде ряда r() по полу целым степеням параметра :

rdV = 2 err3 sin dr d = 0.

(eq) (eq) (eq) (eq) (eq) + 1/2 + + 3/2 + O(2), V 0 0 0 1/2 1 3/и решая последовательно соответствующие краевые заИспользуя разложение (1) и условия неизменности объдачи различных порядков малости, найдем ема капли и неподвижности ее центра масс, несложно получить, что амплитуды нулевой и первой мод в нем Q (eq) - E0µr 1 определяются соотношениями r r ak 2aa0 - + O(a3);

k + Q anr-(n+1)Pn(µ) +3E0 µ 2k + 5rk=n= 9(k + 1)ak+1ak n n + a1 - + O(a3), (3) k + an-1 + an+1 r-(n+1)Pn(µ) + O(2).

(2k + 1)(2k + 3) 2n - 1 2n + k=n=(6) т. е. амплитуды нулевой и первой мод имеют более выВ результате давление электрического поля p(eq) на равEQ сокий порядок малости, чем амплитуды колебательных новесную поверхность капли с точностью до слагаемых мод (n 2).

запишется в виде Поскольку давление электрического поля pE приводит к искажению равновесной сферической формы капли, то, p(eq) Q2 + 6QE0µ + 9E0 µEQ следовательно, оно должно иметь тот же порядок малости, что и вызванное им искажение. Введем формально параметр, характеризующий величину отклонения рав+ 2Q2 an(n - 1)Pn(µ) + O(3/2). (7) новесной формы капли от сферы, т. е. | f ()| |am| n=(n 2). В силу сказанного выше получим pE Eи, следовательно, E0 1/2 (а значит, такой же порядок Подставим данное выражение, а также выражения (4) малости будет иметь и потенциал электрического поля и (5) в условие баланса давлений (2) и приравняем поляризационного заряда). Поскольку заряд не нарушает слагаемые одинакового порядка малости по. Внулевом сферичности равновесной формы капли в отсутствие порядке получим равенство, описывающее баланс даввнешнего электрического поля, то Q 0, и следова- лений на поверхности заряженной сферической капли в тельно, ускорение движения центра масс имеет вели- отсутствие внешних полей.

чину a QE0 1/2. Кроме того, из соотношений (3) Рассмотрение слагаемых первого порядка малости следует, что a0, a1 O(2).

по позволяет определить амплитуду второй моды Выпишем выражения для входящих в (2) инерционно- в разложении (1), в то время как амплитуды всех го двления и давления сил поверхностного натяжения остальных мод имеют более высокий порядок малости.

В результате с точностью до слагаемых искомая p(eq) =(3QE0/4)[r(0) - r()µ] g равновесная форма поверхности капли запишется в виде r() 1 + a2P2(µ) +O(3/2) (3QE0/4)(1 - µ) +O(3/2); (4) 1 +(3E0 /16 - Q2)P2(µ) +O(3/2). (8) p(eq) - 2 - n(n + 1) anPn(µ) +O(2).

R R2 n=Иными словами, в используемом порядке малости рав(5) новесная форма капли не зависит от наличия сил Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 46 С.О. Ширяева инерции, влияние которых проявится лишь в следующем Математическая формулировка решаемой задачи в порядке. Сравним (8) с разложением в ряд по экс- неинерциальной системе отсчета, связанной с центром центриситету e в сферических координатах уравнения масс капли, имеет вид:

вытянутой сфероидальной поверхности (r, t) =0 (r, t) =0 (11) rsph() 1 + e2P2(µ) +O(e4);

r 0 : (r, t) 0 (12) и получим, что равновесную форму поверхности заряженной капли, ускоренно движущейся в слабом элекt : (r, t) -E0rµ (13) тростатическом поле (при e2 1) можно считать вытянутым сфероидом с точностью до слагаемых e2.

r = r() +(, t) : = - ; (14) Квадрат эксцентриситета равновесной сфероидальной t r rформы связан с зарядом капли и напряженностью элек тростатического поля соотношением p - - ()2 + pEQ + pin = p ; (15) t 2 9E0 36w Q2 Ee2 ; W ; w. (9) 16 - Q2 4 - W 4 16 (r, t) = (t); (16) S Для следующих расчетов нелинейных осцилляций капли в порядке малости e2 знания равновесной формы r2dr sin d d =, капли с точностью до слагаемых e2 достаточно. СоV гласно (9), величина эксцентриситета равновесной сфероидальной формы капли определяется W — параметV = 0 r r() +(, t), 0, 0 2 ;

ром Рэлея, характеризующим устойчивость поверхности (17) капли по отношению к собственному заряду, и w — er r3dr sin d d = 0; (18) параметром Тейлора, характеризующим устойчивость поверхности электропроводной капли по отношению к V внешнему электростатическому полю, т. е. по отношению к индуцированному заряду.

(n )r2 sin d d = -4Q; (19) Для того чтобы исследовать нелинейные осцилляции S поверхности капли, примем, что в начальный момент времени t = 0 равновесная слабо сфероидальная форS = r = r() +(, t), 0, 0 2 ;

ма капли с эксцентриситетом e претерпевает осесимметричное возмущение (, t) фиксированной конечной t = 0 : (, t) = 0P0(µ) + 1P1(µ) + hiPi(µ);

амплитуды, много меньшей, однако, радиуса капли i ( 1). Зададимся целью найти форму капли при t > и спектр возникающих ее капиллярных осцилляций, (, t) полагая, что форма капли осесимметрична как в началь= 0. (20) t ный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение свободной поверхности капли запишем в виде В выражениях (15)–(20) введены обозначения: p — перепад постоянных давлений внутри и вне капли r(, t) =r() +(, t) =1 + e2P2(µ) +(, t) в состоянии равновесия; pEQ =( )2/8 — давление электрического поля на поверхности капли;

1 + e2h() +(, t). (10) pin(3QE0/4)[(r() +(, t))|=0 - (r() +(, t))µ] — давление сил инерции; p = divSn — давление сил Движение жидкости в капле, вызванное начальной вирповерхностного натяжения (divS — оператор поверхтуальной деформацией равновесной слабо сфероидальностной дивергенции); n — единичный вектор нормали ной поверхности, будем полагать потенциальным с пок поверхности (10); (t) — постоянное значение элекS тенциалом поля скоростей (r, t). Естественно принять, трического потенциала вдоль поверхности капли; — что потенциал и поле скоростей течения жидкости в амплитуда начального возмущения формы поверхности капле V(r, t) =grad (r, t) являются величинами того же капли, являющаяся малым параметром задачи; hi —копорядка малости, что и возмущение (, t), т. е., V.

эффициенты, определяющие парциальный вклад i-й коПоскольку скорости гидродинамических движений жидлебательной моды в суммарное начальное возмущение;

кости в капле много меньше скорости распростране — множество значений номеров мод, определяющих ния электромагнитных взаимодействий, будем считать начальную деформацию hi = 1; 0 и 1 — константы, электрическое поле в окрестности капли электростатиi ческим, описываемым потенциалом (r, t) так, что для определяемые из условий (17) и (18) в начальный монапряженности поля будем иметь E = -grad ( ). мент времени, зависящие от вида начальной деформации Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле и с точностью до слагаемых порядка малости e2 и по квадрату эксцентриситета приближении, представ 2, равные ляющий собой суперпозицию потенциала заряженного сфероида в отсутствие внешнего электростатического h2 поля и потенциала незаряженного электропроводного 0 20 - 2 i + e2 hii,2 + O(3);

2i + 1 сфероида в электростатическом поле. Для входящих в i динамическое граничное условие (15) давлений элек9ihi-1hi трического поля pEQ поля сил инерции pin, а также 1 21 - (2i - 1)(2i + 1) сил поверхностного натяжения p примем следующие i разложения:

+ e2 hii,3 + O(3).

pEQ = p(eq) + p(1) () +3/2 p(3/2)() EQ EQ EQ Задача (10)–(20) содержит два малых параметра:

e — эксцентриситет равновесной слабо сфероидаль+ 2 p(2) () +O(5/2);

EQ ной формы капли и — амплитуду начальной деформации равновесной формы. Анализ нелинейного pin = p(eq) + p(1)() +3/2 p(3/2)() in in in взаимодействия возбужденных колебательных мод, как между собой, так и со стационарным отклонением + 2 p(2)() +O(5/2);

in равновесной формы капли от сферы, как минимум требует учета в разложениях слагаемых, имеющих порядок p = p(eq) + p(1)() +3/2 p(3/2)() малости 2 и e2. В соответствии со сказанным, e2. Кроме того, будем полагать, что E0 1/2 и + 2 p(2)() +O(3), (22) a (3QE0/4) 1/2.

где компоненты p(eq), p(eq), p(eq) являются давлениями на Введем формальные параметры e, E, in O (1) в EQ in равновесной слабо сфероидальной поверхности капли и соответствии со следующими равенствами: E0 = E1/2, определяют ее равновесную форму.

a = in1/2, e2 = e. Эти параметры нужны только для Используя разложения (21), (22), из системы того, чтобы выделить в явном виде порядки малости (11)-(20) можно получить набор краевых задач разных в задаче и в конечном решении легко вернуться к порядков малости для определения функций (m), (m) и величинам E0, a (3QE0/4) и e2.

(m), где (m = 1; 3/2; 2).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.