WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Номера мод, определяющих начальную деформацию капли, выбирались из следующих соображений. Вопервых, хорошо известно из данных натурных измерений [17], что для облачных капель характерно возбуждение основной моды с амплитудой порядка десятков процентов от радиуса капли, причиной которого является реальное турбулентное обтекание капли, подвешенной в восходящем потоке. С тем же феноменом мы имеем дело и в экспериментах [8]. В экспериментальных работах [4,6] возбуждение основной моды обеспечивалось переменной компонентой электрического поля подвеса, а в [6] особо подчеркивалось наблюдаемое возбуждение основной моды. Возбуждение высоких мод для крупных (диаметром 200 µm) капель грозовых облаков обеспечивается столкновениями с существенно более мелкими капельками (диаметром 10 µm), концентрация которых в облаках максимальна [18]. B эксперименРис. 4. Контур образующей капли, рассчитанный при W = тах [2–6] возбуждение высоких мод можно объяснить и = 0 для трех моментов времени: t = 0 (тонкая линия), взаимодействием капли с потоком испаряющегося с 0.25T (жирная линия), 0.5T (линия средней толщины), где ее поверхности пара и кластеризованных заряженных T — период осцилляций основной моды. a — при начальном молекул, так как во всех случаях [2–6] капли изнавозбуждении только основной моды с = 0.3; b — при чально большого радиуса с не очень большим заряначальном возбуждении основной моды и двадцать четвертой дом (по сравнению с критическим по Рэлею) испарямоды при = 0.3, h2 = 0.75, h24 = 0.25.

лись для достижения критической величины параметра Рэлея.

Подводя итог сказанному, отметим, что величина и линейной теории значениях параметра Рэлея вообще знак нелинейной поправки к частоте основной моды сусомнительна.

щественно определяются спектром мод, ответственных в) Физический смысл обнаруженного феномена по- за начальную деформацию капли bn = bn( ). Вследствие вышения устойчивости капли при возбуждении высоких этого нелинейные поправки к критическим условиям мод осцилляций связан с физическим механизмом реа- реализации неустойчивости заряженной капли (к критилизации неустойчивости сильно заряженной капли, по- ческому значению параметра Рэлея) также зависят от дробно рассмотренным в [14–16]. Согласно [14–16], при вида начальной деформации капли Wcr = Wcr( ).

достижении параметром Рэлея критического значения 4. Выше упоминалось о том, что коэффициенты bn( ) теряет устойчивость основная мода капли, в результате имеют резонансный вид. Для анализа этого обстоятельчего капля начинает вытягиваться в фигуру, близкую ства изменим вид представления нелинейных поправок к к вытянутому сфероиду. При вытягивании капли заряд частотам, представляя их в виде полиномов по степеням перераспределяется по ее поверхности и его концен- параметра Рэлея W, как это было сделано в [9].

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки... Рассмотрим свободную заряженную каплю в вакууме Несложно видеть, что по сравнению с (3) количество ( = 0), когда начальная деформация формы определена резонансных ситуаций увеличилось и кроме вырожденвозбуждением одной m-й моды, т. е. когда = {m} и при ных появляются вторичные комбинационные резонансы.

t = 0 = 0P0(cos ) +Pm(cos ). Так, при начальном Если один из множителей, стоящих в знаменателе вывозбуждении какой-либо из мод (второй, третьей или ражений (3) или (4), будет близок к нулю, то поправка четвертой) коэффициент bm, характеризующий поправку к частоте может стать значительной (что в реальности к частоте соответствующей моды, может быть представ- накладывает ограничение на применимость асимптотилен выражениями ческого разложения (1)).

Выражения (3) и (4) изменяются, если заряженная 4 (2) i b2 = - Ai W, капля находится во внешней диэлектрической среде.

3 2 2 245 24(4 - 42) i=В этом случае поправки к частотам капиллярных колебаний поверхности капли можно представить двойным 144 (3) i b3 = Ai W, рядом по параметру Рэлея W и плотности окружающей 2 2 2 2 2 2 11011 2346(2 - 43)(6 - 43) i=среды.

Например, если изначально возбуждается только одb4 = на m мода, т. е. когда = {m} и при t = (4) i Ai W, = 0P0(cos ) +Pm(cos ), 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2468(2 - 44)(6 - 44)(8 - 44) i=(3) то величину bm, характеризующую нелинейный сдвиг (m) коэффициенты Ai m = 2, 3, 4 приведены в Прилочастот, для случаев m = 2, 3 или 4 можно представить жении Б. Видно, что все коэффициенты содержат в в виде знаменателях выражения, обращающиеся в нуль при 2 m = 22n. Таким образом, может иметь место вырожb2 = 3 2 2 денный резонанс.

49(3 + 2)5(5 + 4)224(4 - 42) В случае начального возбуждения нескольких мод 3 капиллярных колебаний поверхности капли при условии (2) j Ai j iW, отсутствия окружающей среды величину bm, характериi=0 j=зующую нелинейный сдвиг частот, можно также представить в виде полинома по параметру Рэлея, но с другими числовыми коэффициеинтами. Например, если изначальb3 = 1573(3 + 2)2(4 + 3)6(5 + 4)2(7 + 6)но возбуждаются моды 2 и 3, т. е. когда = {2; 3} и при t = 2 2 2 2 2 2 2 2 2346(2 - 43)(4 - 43)(6 - 43) = 0P0(cos ) + (P2(cos ) +P3(cos )), 5 то величины bm, характеризующие поправки к частотам (3) j Ai j iW, мод 2 и 3, имеют вид i=0 j=8 b2 = 3 2 2 2 2 24(2 - 43)(4 - 42) b4 = 2 347633(3 + 2)2(5 + 4)7(7 + 6)2(9 + 8) (2 - 3)2 - 5 (2 + 3)2 - i 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2468(2 - 44)(6 - 44)(8 - 44) B(2)W, i i=5 (4) j Ai j iW, (5) b3 = 11011 i=0 j=(m) коэффициенты Ai j m = 2, 3, 4 приведены в Приложе2 2 2 2 2 2 2 2 2346(2 - 43)(4 - 43)(6 - 43) нии Б.

Если же изначально возбуждается несколько мод каi пиллярных колебаний поверхности капли, находящейся B(3)W, 2 (2 - 3)2 - 5 (2 + 3)2 - 5 i=0 i в среде, то поправки к частотам любых изначально (4) возбужденных мод можно представить в виде рядов коэффициенты B(m) m = 2, 3 приведены в Приложе- типа (5), но с другими знаменателями и численными i нии Б. коэффициентами.

4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 50 А.И. Григорьев, А.Н. Жаров, С.О. Ширяева Так, если изначально возбуждаются моды 2 и 3 капил- Приложение А. Выражения для коэффициентов лярных колебаний поверхности капли, то величины bm, разложения (1) характеризующие поправки к частотам мод 2 и 3, можно представить в виде рядов 2(±)(±) 2(±) (±) 1(±) 0(±) 1944 1 Hkmln = kmglnlmg + µkmgln + µkmgln;

b2 = g=1 g=539 (2 + )(3 + 2)8(4 + 3)5(5 + 4)2(6 + 5) 1(±)() 1(±) (±) 1() 0() Hkmln = kmglnlmg + µkmgln + µkmgln;

3 2 2 2 2 24(2 - 43)(4 - 42) g=1 g= 2 (2 - 3)2 - 5 (2 + 3)2 - (±) mln =(mln ± mlmln) n - (m ± l)2 ;

11 j mln =(n + 1)nKmln m(n - m + 1 + n B(2)iW, i j i=0 j= (n - m - 1)/(n + 1)) + 2n(l(l + 1) - 1) + (l(m + 1) - m(2m - 2n + 7) +3)nW/b3 = +(n + 1)nmln (1/m - n/((n + 1)(m + 1)))m + nW/2 ;

(2+)(3+ 2)5(4+ 3)8(5+ 4)2(6+ 5)2(7+ 6)mln =(n + 1)nKmln n/2 - m + 1 + n(2m + 3 - n)/(2(n + 1)) 2 2 2 2 2 2 2 2 2346 (2 - 43)(4 - 43)(6 - 43) +(n + 1)nmln (1 + n/(2l))/m 11 j B(3)iW.

- n(n + 2l + 3)/(2(m + 1)(l + 1)(n + 1)) ;

2 (2-3)2-5 (2+3)2-5 i=0 j=0 i j Kmln = Cn0 ;

m0lКоэффициенты B(2) и B(3) не приведены ввиду ограниi j i j mln = -Cn0 Cn0 m(m + 1)l(l + 1);

m0l0 m(-1)lченности объема статьи.

Поскольку частоты осцилляций зависят от отношения n =(1 + n(1 + ))-1;

плотностей сред, то по сравнению со случаем капли, 0 = n + n(n + 1)n(n - 1)(4 + 2n - 5W );

n осциллирующей в вакууме, количество резонансных си1(±) 0 1 туаций, т. е. когда выполняется одно из соотношений kmgln = - k(l ± m) - (l ± m)2;

kgn kgn kgn 2 2 2 2 m = 22n или m = n ± k, существенно увеличи = (n + 1)(n - 1) - 3n n;

вается. n Влияние нелинейных поправок на критические усло- 2(±) 0 1 kmgln = + k(l ± m) - (l ± m)2;

kgn kgn kgn вия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду в окрестности резонансных си- = n(n - 1)n;

n туаций представляет собой предмет отдельного иссле1(±) 1 µkmgln = ± mk;

kmgln kmgln дования. В настоящем же рассмотрении ограничимся 0(±) 0 констатацией факта возможного влияния резонансности µkmgln = ± mk;

kmgln kmgln поправок bn( ) на критические условия устойчивости, 0 =(n + 1)nk Kgln kmg(k - 2)/k когда резонансное значение параметра W близко к kmgln критическому Wcr.

+(k - 1)(n - k + 2)Kkmg/2 + nnk ((g + 1 - n)Kgln - gln/(g + 1))((k + 2)Kkmg - kmg/(k + 1)) Заключение +((k+3)kmg/(k + 1) +(k + 2)(n - 2 - k)Kkmg/2)Kgln Критическое для реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду значение парамет- + n(n + 1)n WKgln((k3 - 2(m + 1)(m + 2) - k2(n - 9) ра Рэлея W зависит от амплитуды осцилляций капли в рамках ограничений, накладываемых на величину - k(2m(m + 3) +3n - 22))Kkmg - 2(k + 2)kmg)/нелинейной поправки к W вкладами каждой из мод, определяющих начальную деформацию капли.

- ((3k(k + 1) - 2)Kkmg - l(l + 1)kmg/2)Kgln Работа выполнена при поддержке гранта [l/2] РФФИ (№ 03-01-00760) и гранта Президента РФ + kmg l2Klgn - (2l - 4 + 1)Kl-2,g,n ;

(№ МК-2946-2004-1).

=Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки... = n(n + 1)nWkKkmg((g + 1)(l - 2 - g + n)Klgn Приложение Б. Значения численных kmgln коэффициентов в поправках к частотам + lgn) +(n + 1)n((lgn/g +(n + 1 - g)Klgn) (m) Таблица коэффициентов Ai (kmg/m +(1 - m)Kkmg))m;

0 i m = 2 m = 3 m = =(n + 1)n((k - 2)(Kgln((k - 1)Kkmg/2 - kmg/k) kmgln 0 6606528 4214241024000 + Kmgn((k - 1)Kklg/2 - klg/k)) - n(k - 1)Kgln 1 -4961440 -4128178176000 - (kmg/(mk) +Kkmg)) - nn(((g + 2)Kmgn 2 1419804 1682216124000 3 -177168 -362825358328 -- mgn/(g + 1))((k + 2)Kklg - klg/(k + 1)) 4 7945 43303979512 +(k + 3)Kmgn(klg/(k + 1) - (k + 2)Kklg/2) 5 - -2679419780 -+((g + 2)Kgln - gln/(g + 1))((k + 2)Kkmg 6 - 66094721 7 - - -- kmg/(k + 1)) + (k + 3)Kgln(kmg/(k + 1) 8 - - - (k + 2)Kkmg/2) - (n + 1)((mgn/((m + 1)(g + 1)) + Kmgn)((k + 2)Kklg - klg/(k + 1)) + Kgln((k + 2)Kkmg Таблица коэффициентов B(m) i i m = 2 m = - kmg/(k + 1)) - (kmg/((k + 1)(m + 1)) 0 28507064560128 + Kkmg)(k + 2)Kgln));

1 -31524733738560 - =(n + 1)n((lgn/g +(n + 1 - g)Klgn) kmgln 2 15054864474528 ((m - 1)Kkmg - kmg/m) +((k + n)kgn/(gk) 3 -4000146404140 -4 634385531392 +(n + 1 - g)Kkgn)((m - 1)Kmlg - mlg/m));

5 -59666243685 - =(n + 1)n(nKkmn(2((k - 1)(k + 2) +m(m + 1)) kmn 6 3064663192 + W (k-1)(n - 5 - k)) + (kmn/k +(n + 1 - k)Kkmn)k ) 7 -66028600 -2 8 - - nnk ((n - 1 - k)Kkmn + kmn/(k + 1)) 9 - - + n(n + 1)nW ((m + 1)(k + n - m - 2)Kkmn + kmn);

=(n + 1)n((k + m - n - 2)Kkmn (2) kmn Таблица коэффициентов Ai j - (n + k + m)kmn/(mk)) + nn((n - k - m - 3)Kkmn j i = i = 1 i = 2 i = +(k + m + n + 3)kmn/((m + 1)(k + 1))); 0 644645215 647062426 645046448 1 -962325675 -963487186 -962616248 - =(n + 1)n((m - n - 1)Kkmn - kmn/m) kmn 2 415972795 423556618 418378864 + nn((n - m - 1)Kkmn + kmn/(m + 1)), 3 -85935648 -81414089 -81133192 -Cn0 и Cn0 — коэффициенты Клебша-Гордана, m0l0 m(-1)l4 357525 464946 374928 kn — символ Кронекера.

4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 52 А.И. Григорьев, А.Н. Жаров, С.О. Ширяева (3) Таблица коэффициентов Ai j j i = 0 i = 1 i = 0 960000 629326659584 960000 1983408150528 960000 1 -8000 92856752701440 -8000 289533317285888 -8000 2 400 972791023411200 400 2999075394326528 400 3 -40 2807631731351552 -40 8538676163356672 -40 4 2 9605859672657920 2 28671363515022336 2 5 -3 645378748456960 -3 1872016310675456 -3 6 32 3297054503680 32 9124083418880 32 7 -4 592208700160 -4 1507906405696 -4 i = 3 i = 4 i = 0 960000 2061912758832 960000 862494305220 960000 1 -8000 304727092678800 -8000 129734419287384 -8000 2 400 3189974081262768 400 1379743042615128 400 3 -40 9125310799251600 -40 3998375748074412 -40 4 2 30423104453043120 2 13451299310165652 2 5 -3 1928538595397616 -3 855641056887444 -3 6 32 8719177625952 32 3843268025499 32 7 -4 1190325182124 -4 506557263330 -4 (4) Таблица коэффициентов Ai j j i = 0 i = 1 i = 0 2764800 2764800 1322934089115625 4614839816039500 1 -23040 -23040 -222024106178678125 757301895008626500 2 384 384 7750478940098759375 25941718371282427500 3 -512 -512 -1865619665028196875 6131134506449743750 4 16 11649205690527234375 16 37502380729932297500 16 5 -32 -32 -709290797232871875 2223032342251267500 6 16 105081062194434375 16 316698999015302500 16 7 -16 4303646927409375 -16 12184316425980000 -16 8 1181694208996875 2999546960427500 i = 3 i = 4 i = 0 2764800 2764800 2764800 5553451626253376 1 -23040 -23040 -903633663255048128 410913465860444160 2 384 384 30919302553593321280 14202326231749251072 3 -512 -512 -7301559137768652960 3389390045560944128 4 16 44307163388333263680 16 20739614218685581312 16 5 -32 -32 -2560672383079338560 1202842747455597824 6 16 343281924045307200 16 160381146213516032 16 7 -16 11485079526504640 -16 5226886014537856 -16 8 1927439719822400 779373860226048 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки... Список литературы [1] Rayleigh Lord (J.V. Strett) // Phil. Mag. 1882. Vol. 14.

P. 184–186.

[2] Doyle A., Moffet D.R., Vonnegut B. // J. Colloig Sci. 1964.

Vol. 19. P. 136–143.

[3] Berg T.G.O., Trainor R.J., Vaughan U. // J. Atmosph. Sci.

1970. Vol. 27. N 11. P. 1173–1181.

[4] Schweizer J.W., Hanson D.N. // J. Cool. Int. Sci. 1971. Vol. 35.

N 3. P. 417–423.

[5] Roulleau M., Desbois M. // J. Atmosph. Sci. 1972. Vol. 29.

N 4. P. 565–569.

[6] Duft D., Lebius H., Huber B.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002.

Vol. 89. N8. P. 1–4.

[7] Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O. // J. Aerosol Sci. 1994. Vol. 25.

N 6. P. 1079–1091.

[8] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 10. С. 1–7.

[9] Tsamopolous J.A., Brown R.A. // J. Fluid Mech. 1984.

Vol. 147. P. 373–395.

[10] Tsamopolous J.A., Akylas T.R., Brown R.A. // Proc. R. Soc.

(London). 1985. Vol. A401. P. 67–88.

[11] Feng Z.C. // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 333. P. 1–21.

[12] Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003.

Т. 73. Вып. 12. С. 9–19.

[13] Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004.

Т. 74. Вып. 7. С. 19–26.

[14] Григорьев А.И. // ЖТФ. 1985. Вып. 7. С. 1272–1278.

[15] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // ЖТФ. 1991. Т. 61. Вып. 3.

С. 19–28.

[16] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 10. С. 1–7.

[17] Beard K.V. // Radio Sci. 1984. Vol. 19. N 1. P. 67–74.

[18] Облака и облачная атмосфера. Справочник / Под ред.

И.П. Мазина, А.Х. Хргиана, И.М. Имянитова. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647 с.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.