WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

дачи, после обезразмеривания примут вид 9. Окончательное решение задачи о расчете нелинейного капиллярно-гравитационного периодического вол-4Wk2 th (2kh) +2k th (kh)(1 + k2 - Wk)H(kh) =, нового движения в электропроводной несжимаемой 32 th(kh)(1+ k2 -Wk)- 16 th(2kh)(1+ 4k2 - 2Wk) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 48 С.А. Курочкина, А.И. Григорьев бесконечно глубокой жидкости [19], а при W 0 пеH(kh) -3th(2kh) + cth(kh) th(2kh) +4cth(kh), реходит в известное выражение для профиля нелинейной капиллярно-гравитационной волны на незаряженной = ik2 cth(2kh) cth(kh) - 3ik cth(2kh) поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины [6]. В [6,19] показано, что амплитудные коэффициен- ik cth(kh) - ikты поправок второго и третьего порядков малости к возмущению свободной поверхности имеют резонансный 1 вид как для бесконечно глубокой жидкости, так и в слое - ik - ik2 cth(kh), 2 конечной толщины. Для случая бесконечно глубокой 1 жидкости амплитудный коэффициент поправки второго = ik2 cth(2kh) cth(kh) - ik cth(2kh) порядка малости резонансно нарастает при k2 1/2, а амплитудный коэффициент поправки третьего порядка 1 имеет два резонанса при k2 1/2 и k2 1/3. Несмотря - ik cth(kh) - ik2 - i3k cth(kh) 8 на то что выражение (9) для (x, t) применимо в 3 1 широком диапазоне волновых чисел, амплитудные мно1 + i3k cth(kh) + ik - ik2 cth(kh), жители и (см (10) и (11)) неограниченно нарастают 8 2 (10) в малых окрестностях положений резонансов, когда 3 k = k W +, 1 n th (kh)(1 + k2 - Wk) 2 - th (nkh)(1 + n2k2 - nW k) =0. (13) k 2 = k W + 3 + 1 - cth(kh), 8 имеет резонанс при n = 2, а — два резонанса при n = 2 и 3. Это означает, что применимость выраже = 2k cth(3kh) -3k cth(2kh) cth(kh) ния (9) ограничена в малых окрестностях волновых чисел k, определяемых из уравнения (13), так как нелинейk ные поправки должны быть малыми по сравнению с ве+ 12 cth(2kh) +4 cth(kh) + + 2 личинами первого порядка малости. Из рис. 1, a–d видно, что положения внутренних нелинейных резонансов, свяk k + cth(kh) - 18Wk3 + занных с нелинейным взаимодействием гравитационных 4 и капиллярных волн, существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностной плотности 11 3k5 7Wk+ 2k cth(kh) - 14k + + заряда (параметра W ), причем влияние поверхностно4 4 го заряда усиливается с уменьшением толщины слоя + 10Wk3 + 42k cth(2kh) cth(kh) жидкости. В тонких слоях жидкости (kh 1) положения внутренних нелинейных резонансов (значений волно вого числа k, при которых амплитудный множитель - 4k2 cth(kh) cth(2kh) 122 cth(3kh) квадратичной по малому параметру поправки к профилю волны неограниченно растет) зависят от величины - 4k - 36k3 + 12Wk2, (11) параметра Тонкса–Френкеля W. В толстых (kh 1) слоях жидкости (рис. 1, c, d) положение внутреннего k нелинейного резонанса квадратичной поправки фик = k cth(kh) cth(2kh) cth(kh) - cth(2kh) сировано и не зависит от W. Качественно сходно ведут себя и положения внутренних нелинейных резонансов 2 k в амплитудном множителе поправки третьего порядка - cth(kh) - - cth(kh) - cth(kh) 8 8 малости, только величина в зависимости от волно 2 вого числа k, параметра W и толщины слоя жидкости h Wk3 k Wk+ + 3 + 1 - cth(kh) меняется еще более существенно. Из рис. 1, a, b также 2 8 видно, что при изменении волнового числа положения внутренних нелинейных резонансов смещаются в k + k cth(kh) - cth(2kh) cth(kh) различные стороны при W < 1 и W > 1. В указанных диапазона изменения параметра Тонкса–Френкеля W качественно различным образом изменяется и величина 2 3kk - (2 - Wk2) cth(kh) - 1 + коэффициента при изменении величины волнового 8 числа k (подробнее об особенностях волнового двиWk3 5Wk4 9k2 3 k жения жидкости в указанных диапазонах изменения - + + cth(kh) -. (12) 2 16 16 параметра W см. [17,19]).

10. Полученное выражение для профиля нелинейной 11. Согласно выражению (9), профиль волны не явволны в пределе h совпадает с решением для ляется стационарным, это объясняется наличием в (9) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости... Рис. 1. Зависимость величины безразмерного амплитудного множителя квадратичной по малому параметру поправки к профилю волны от безразмерного волнового числа k, рассчитанная при различных толщинах слоя жидкости h и различных значениях параметра Тонкса–Френкеля W: a — h = 1; W = 1 (1), 0.8 (2), 0.5 (3); b — h = 1; W = 1.1 (1), 1.3 (2), 1.5 (3);

c — h = 5; W = 1 (1), 0.8 (2), 0.5 (3); d — h = 5; W = 1.1 (1), 1.3 (2), 1.5 (3).

нелинейной поправки к частоте a2 в линейной и квад- Из выражения (10) видно, что нелинейная добавка к ратичной по малому параметру компонентах полного частоте, так же как и амплитудные множители и, решения, где безразмерный множитель задан равен- имеет резонансный вид. Безразмерный коэффициент ством (12). Величина и знак амплитудного множителя аналогично будет резонансно нарастать в окрестности зависят от волнового числа k, параметра W и толщины волновых чисел, определяемых из уравнения (13), при слоя жидкости h (рис. 2). Поправка к частоте колеба- n = 2. Из рис. 2, a, b видно, что положения резонансов ний a2 последней из выписанных в (9) компоненты в амплитудном множителе поправки к частоте сущеполного решения для профиля волны (x, t), имеющей ственно зависят от толщины слоя жидкости: в тонких третий порядок малости, будет изменять это слагаемое слоях (kh 1) резонансное значение волнового числа k на величину порядка O(a5), а так как в решаемую задачу зависит от величины поверхностного заряда (от величине входит учет величин такого порядка, то указанная ны параметра W ), как это видно из рис. 2, a; в толстых добавка здесь не учитывается и в кубическое по малому (kh 1) слоях жидкости (рис. 2, b) резонансное знапараметру слагаемое входит невозмущенный аргумент. чение волнового числа k от величины поверхностного В итоге фазовые скорости волн, из которых состоит заряда практически не зависит. Это обстоятельство являполное решение, будут различны. Поправка к частоте ется весьма важным для всей анализируемой проблемы, a3, которая в решаемой с точностью до величин a4 т. к. свидетельствует, что закономерности реализации задаче могла бы появиться в линейном слагаемом (9), нелинейного волнового движения в тонких и толстых отсутствует так же как и для нелинейных волн на слоях жидкости существенно различаются. Об этом поверхности бесконечно глубокой жидкости [19]. В [19] же свидетельствует и анализ нелинейных поправок к асимптотических расчетах a5 было показано, что амплитудам и от волнового числа k и параметра поправки к частоте пропорциональны квадрату малого Тонкса–Френкеля W.

параметра и в расчетах a5 обнаруживаются поправки 12. Расчет (рис. 3) профилей нелинейных волн на к частоте a2 и a4. заряженной поверхности слоя жидкости конечной глу4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 50 С.А. Курочкина, А.И. Григорьев бины показывает, что в сравнении с профилями волн на незаряженной поверхности жидкости наличие поверхностного заряда изменяет вид кривых, описывающих возмущение свободной поверхности: достаточно большие поверхностные плотности заряда приводят к увеличению кривизны гребней капиллярных волн. Кроме того, на профиле периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости сказывается и толщина ее слоя, с уменьшением которой гребни волн становятся более пологими. Из сравнения рис. 3, a с рис. 3, b видно, что с увеличением толщины слоя может измениться и знак нелинейной поправки к профилю волны, впрочем, это можно видеть и из рис. 1.

Заключение Решение задачи расчета характеристик нелинейного капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде волны показало, что коэффициенты и, через которые определяются профиль волны, потенциал волнового течения жидкости и потенциал электростатического поля, а также амплитудный множитель нелинейной поправки к частоте имеют резонансный вид.

Выяснилость, что положения внутренних нелинейных существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностной плотности электрического заряда, Рис. 2. Зависимость безразмерного множителя при нелипричем влияние поверхностного заряда усиливается с нейной поправке к частоте колебаний от безразмерного уменьшением толщины слоя жидкости. Исследование волнового числа k и параметра Тонкса–Френкеля W при глубине жидкого слоя h = 1 (a), при h = 5 (b). влияния толщины слоя жидкости и наличия поверхностного заряда на профиль периодических капиллярногравитационных волн показало, что с уменьшением толщины слоя гребни волн становятся более пологими, а достаточно большие поверхностные плотности заряда приводят к увеличению кривизны гребней капиллярных волн.

Приложение Правые части граничных условий при z = h задачи четвертого порядка малости имеют следующий вид:

3 2 1 3 1 2 H41 = + + + + T1 T2 T3 x x x x 1 3 21 1 22 + + 2 + x x xz x xz x 1 31 1 21 + 1 - 3 2 - 2 2 2z x x z z Рис. 3. Профили нелинейных волн, рассчитанные при k = 0.23 1 22 31 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 3 - 1 4, и W = 0 (1) и при k = 0.5, W = 1.8 (2). h = 1 (a), 5 (b).

z 2 z z 6 z Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости... 1 2 3 21 Список литературы H42 = + + + 1 + T3 T2 T1 T2z T1z [1] Габович М.Д. // УФН. 1983. Т. 140. № 1. С. 137–151.

23 21 [2] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН МЖГ. 1994.

+ 1 + 2 + №3. С. 3–22.

T0z T1z T0z [3] Курочкина С.А., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЭОМ.

21 1 31 1 32 2003. № 3. С. 26–36.

2 + 3 + 1 + 1 [4] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Климов А.В., КурочкиT0z 2 T1z 2 T0z на С.А. // ЭОМ. 2004. № 4. С. 66–78.

[5] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Бело31 1 41 1 2 + 12 2 + 1 3 + ножко Д.Ф. // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 9. С. 12–21.

T0z 6 T0z 2 x [6] Nayfeh A.H. // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 40. Pt 4. P. 671–684.

[7] Аромин Э.Л., Иванов А.Н., Садовников Д.Ю. // Изв. РАН.

1 3 1 22 2 + + 1 + МЖГ. 1994. № 4. С. 125–129.

x x x xz x xz [8] Жакин А.И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 3. С. 94–102.

[9] Gonzalez A., Castellanos A. // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53.

1 21 1 N 4. P. 3573–3578.

+ 2 + x xz 2 xz [10] Ильичев А.Т. // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 2. С. 3–27.

[11] Michael D.H. // Quart. Appl. Math. 1977. Vol. 35. P. 139–143, 1 1 31 1 2 2 1 345–355.

2 + 1 + + 1 [12] Bhimsen K., Sh. // Quart. Appl. Math. 1979. Vol. 35. P. 423– 2 x xz 2 z 2 z 427.

1 3 1 22 2 21 [13] Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K. // Quart. Appl. Math.

+ + 1 2 + 1 1981. Vol. 39. P. 23–24.

z z z z z z [14] Malik S.K., Rama Kant // Quart. Appl. Math. 1986. Vol. 43.

1 21 1 1 P. 23–24.

+ 2 2 + [15] Зубарев Н.М., Зубарева О.В. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 7.

z z 2 z z С. 21–29.

21 1 2 3 22 1 2 [16] Зубарев Н.М. // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. Вып. 6 (12). С. 1990– + 3 + 2005.

x2 x x 2 x2 x [17] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ПЖТФ. 2003. Т. 29.

Вып. 18. С. 46–51.

1 2 2 1 1 1 - - - 1 1 [18] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // Изв. РАН. МЖГ. 2003.

8 x 4 x x 4 x xz № 6. С. 102–109.

[19] Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ПЖТФ.

1 2 1 2 2 1 2004. Т. 74. Вып. 1. С. 32–39.

- 1 2 1 - - 2 1 4 x xz 8 z 4 x xz [20] Michell J.H. // Phil. Mag. S. 5. 1893. Vol. 36. N 22. P. 430– 437.

1 3 1 2 [21] Wilton J.R. // Phil. Mag. S. 6. 1915. Vol. 29. N 173. P. 688– 2 - 1 1 1 - 1 700.

8 x xz 8 xz [22] Nayfeh A.H. // Phys. Fluids. 1970. Vol. 13. N 3. P. 545–550.

[23] Nayfeh A.H., Hassan S.D. // J. Fluid Mech. Pt 3. 1971. Vol. 48.

1 E0 2 1 1 - + 1 23 - 1 1 P. 463–475.

4 z z 4 z 4 z z [24] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003. Т. 73.

1 2 E0 2 1 2 Вып. 11. С. 37–46.

- 1 2 1 + 2 22 - 2 1 2 2 [25] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004. Т. 74.

4 z z 4 z 4 z z Вып. 3. С. 5–13.

[26] Климов А.В., Курочкина С.А. // Материалы ВсеросE0 2 1 2 E0 2 + 3 21 - 1 21 + 1 сийской науч. конф., посвященной 200-летию ЯрГУ 4 z 8 z 8 z им. П.Г. Демидова. Сер. Физика. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 2003. С. 50–53.

E0 3 1 3 E0 3 + 12 31 - 1 1 1 + 1 41, 4 z 4 z z 24 z 1 H43 = 1 3 + 2 2 + 3 1 + 1 z z z 2 z 2 1 + 12 21 + 1 31.

z 6 z Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 0301-00760).

4 Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.