WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 11 01;03 Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины © С.А. Курочкина, А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@.uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 17 февраля 2005 г.) В асимптотических расчетах четвертого порядка малости по амплитуде периодической бегущей капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости конечной глубины найдено аналитическое выражение для временн ой зависимости профиля нелинейной волны, потенциала поля скоростей волнового течения жидкости, потенциала электростатического поля над жидкостью и нелинейная поправка к частоте, квадратичная по малому параметру. Выяснилось, что вид зависимости амплитуды нелинейной поправки к частоте от поверхностной плотности заряда на свободной поверхности жидкости и толщины ее слоя при переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется. В тонких слоях жидкости появляется зависимость резонансного значения волнового числа от величины поверхностной плотности электрического заряда, тогда как в толстых слоях жидкости величина резонансного значения волнового числа от поверхностной плотности заряда не зависит.

1. Изучение нелинейных волн на заряженной поверх- Проводимое исследование актуально и в связи с ности несжимаемой жидкости представляет значитель- тем, что в последние годы начались аналитические ный интерес в связи с многочисленными академически- исследования нелинейных периодических волн на зарями, техническими и технологическими приложениями женной поверхности вязкой жидкости как бесконечно феномена (см., например, обзоры [1–4]). Особенно часто глубокой [24,25], так и в слоях конечной толщины [4,26].

с обсуждаемым феноменом приходится сталкиваться в Однако полученные в указанных работах аналитические ситуации, когда глубина слоя жидкости конечна [1–4]. решения весьма громоздки даже во втором порядке В этой связи встает вопрос о влиянии толщины слоя малости, и исследование конкретных зависимостей межжидкости на закономерности реализации волнового дви- ду физическими характеристиками нелинейной волны жения и реализации неустойчивости ее заряженной приходится проводить на основе численного аналиповерхности. Эта тема неоднократно рассматривалась в за полученных громоздких аналитических выражений.

научной литературе, но либо в линейной постановке [5], Поэтому многие представляющие интерес физические либо в нелинейной, но без заряда на поверхности зависимости нелинейного волнового процесса на заряжидкости [6,7], либо в солитонной постановке [8–10]. До- женной поверхности жидкости, в частности нелинейные статочно много аналитических исследований посвящено поправки к частотам волн, удобнее анализировать на исследованию нелинейных периодических капиллярно- модели идеальной жидкости, в которой аналитические гравитационных волн на заряженной поверхности бес- выражения конечных результатов вполне компактны конечно глубокой идеальной жидкости [11–19]. Сама даже в расчетах до пятого порядка малости [19].

проблема аналитического исследования нелинейных пе- 2. Пусть идеальная несжимаемая электропроводная риодических волн на свободной поверхности жидкости жидкость плотностью, с коэффициентом поверхностсформулирована давно и разработано несколько раз- ного натяжения заполняет в поле сил тяжести бесколичных регулярных асимптотических методов ее ис- нечный в горизонтальном направлении слой 0 z h в следования [20–23], но среди них наибольшей эффек- декартовой системе координат, орт ez которой направлен тивностью выделяется метод многих масштабов. Этот противоположно ускорению силы тяжести g. Примем, метод и будет использован ниже в исследовании, целью что по поверхности слоя жидкости, находящейся в которого является определение аналитического выра- электростатическом поле напряженностью E0, коллинежения для профиля нелинейной бегущей капиллярно- арном g, в положительном направлении оси Ox распрогравитационной волны на заряженной свободной по- страняется плоская бегущая волна малой амплитуды a с верхности слоя идеальной электропроводной жидкости волновым числом k и частотой конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде, которую будем считать малой по сравнению t = 0 : (x, t) =a cos(kx - t); ka 1, (1) с длиной волны (расчет в том же порядке малости потенциала поля скоростей волнового течения жидкости возмущающая равновесную свободную поверхность и потенциала электростатического поля над жидкостью), жидкости z = h, так что ее уравнение принимает вид а также отыскание нелинейной поправки к частоте. z = h + (x, t).

Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости... Математическая формулировка задачи о расчете нели- 3. Разобъем сформулированную задачу по порядкам нейного волнового движения на поверхности слоя иде- малости, полагая, что неизвестными функциями являютальной, несжимаемой, электропроводной жидкости ко- ся возмущение свободной поверхности = (x, t), понечной глубины, граничащей с вакуумом, в препендику- тенциал поля скоростей течения жидкости = (x, z, t) лярном свободной поверхности жидкости электростати- и электрический потенциал = (x, z, t). Искать их ческом поле напряженностью E0 имеет следующий вид: будем в виде разложений по малому безразмерному параметру a · k 0 < z < h + : = 0, = 1 + 22 + 33 + 44 + O(5),

z = 0 : = 0, = (x, z, T0, T1, T2, T3).

n n z Тогда на основе правила дифференцирования сложной z : E0z.

функции оператор взятия частной производной по вре2 -3/мени /t примет вид P + x2 x = + + 2 + 3 + O(4). (4) E2() t T0 T1 T2 TPE, Pg g(h + ). (2) Подставляя (3), (4) в задачу (1), (2) и собирая коP, PE и Pg — давление сил поверхностного натяжения эффициенты при одинаковых степенях и приравнивая под искривленной волновым движением свободной поих к нулю, получим задачи нулевого, первого, второго, верхностю жидкости, давление сил электрического поля третьего и четвертого порядков малости.

и гравитационное давление.

4. В нулевом порядке малости свободная поверхность В сформулированной задаче принято, что гидродинажидкости находится в невозмущенном состоянии и мические скорости на много порядков меньше скороописывается уравнением z = h, жидкость покоится, а сти распространения электромагнитных волн и в этом электрическое поле однородно во всем пространстве приближении система уравнений Максвелла для отыскания изменяющегося во времени электрического поля E0 0, PE = -, -E0 · ez.

над изменяющейся во времени свободной поверхностью жидкости сводится к уравнению Лапласа с соответствующими граничными условиями для определения 5. Математическая формулировака задачи первого попотенциала электростатического поля над жидкостью, рядка малости имеет вид поскольку скорость выравнивания электрического по0 < z < h : 1 = 0, тенциала поверхности идеально проводящей жидкости при ее деформировании волной можно принимать бесh < z < : = 0, конечно большой.

Для однозначной разрешимости задачи (1), (2) необ1 z = h : - = 0, хоидмо сформулировать еще одно начальное условие.

T0 z В подобных задачах полностью определенные заранее 1 21 E0 начальные условия могут привести к неоправданной гро + g1 - + · = 0, T0 x2 4 z моздкости решения. Поэтому, как это принято в задачах подобного типа [11–14,17–26], второе начальное условие 1 0 + = 0, будем выбирать по ходу решения таким образом, чтобы z результирующие выражения для возмущения свободной поверхности (x, t), потенциалов поля скоростей волz = 0 : = 0, z нового течения жидкости (r, t) и электрического поля (r, t) имели наиболее простой вид. z : 0.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 46 С.А. Курочкина, А.И. Григорьев E02 E0k Решение задачи первого порядка малости легко полу = (cth(kh))2 - 1 + чается классическими методами в виде 4g 1 k 1 = exp(i) + exp(-i), kx - T0, + E0 exp 2k(h - z ) + 2 2 i ch(kz ) exp(2i) + exp(-2i). (6) 1 = · - exp(i) + exp(-i), 2k sh(kh) Коэффициент, входящий в полученное решение, будет определен ниже.

E0 = exp k(h - z ) · exp(i) + exp(-i), При отыскании решения второго порядка малости (6) мы использовали второе начальное условие в виде треk E0k бования обращения в нуль амплитудного коэффициента 2 = th (kh) g + k2 -, (5) при нелинейной поправке к решению первого порядка, имеющей тот же, что и у линейного решения (а не — частота; = (T1, T2, T3) — неизвестная комплексудвоенный), аргумент косинуса.

ная функция времени, которая определяется из решения 7. В третьем порядке малости получим задачу задач более высоких порядков малости; горизонтальная черта здесь и далее обозначает операцию комплексного 0 < z < h : 3 = 0, сопряжения.

6. Математическая формулировка задачи второго по- h < z < : = 0, рядка малости имеет вид 3 3 2 1 2 z = h : - = - - T0 z T1 T2 x x 0 < z < h : 2 = 0, 1 2 21 - - h < z < : = 0, x x xz x 2 2 1 1 1 21 22 1 z = h : - + = + - 1 2, + 2 2 + 1 2 + 1 3, T0 z T1 x x z z z 2 z 3 23 E0 2 22 E0 - - g3 + - + -g2 + T0 x2 4 z T0 x2 4 z 1 2 21 1 21 1 1 2 1 1 = + + 1 + = + 1 + + T2 T1 T1z T0z T1 T0z 2 x 2 z 21 1 31 1 1 1 2 1 1 2 E0 2 + 2 + 1 2 + - - + 1 21, T0z 2 T0z x x 8 x 8 z 4 z 1 21 1 2 1 + 1 + + 1 x xz z z z z 2 0 + = -1 1.

z z 3 21 1 2 1 1 1 + - - 1 1 z = 0 : = 0, 2 x2 x 4 x x 4 x xz z 1 1 2 E0 1 z : 0.

- - 1 1 1 + 1 4 z z 4 z z 4 z Подставляя в функции неоднородностей решения заE0 2 E0 2 дачи первого порядка малости (5), можно получить + 2 21 + 1 31, 4 z 8 z решение задачи второго порядка малости 1 - E0 3 = -1 2 - 2 1 - 1 21, 2 z z 2 z 2 = 1 - cth(kh) 4g z = 0 : = 0, 2 + exp(2i) + exp(-2i), z z : 0.

i ch(2kz ) k 2 = cth(kh) - Подставляя в функции неоднородностей решения заk sh(2kh) дач первого и второго порядков малости (5), (6), можно 2 отыскать решение задачи третьего порядка малости exp(2i) - exp(-2i), Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости... после математически несложной, но громоздкой про- идеальной жидкости с однородно распределенным по цедуры равновесной свободной поверхности жидкости электрическим зарядом (1), (2), а именно выражения для 3 = exp(3i) + exp(-3i), возмущения свободной поверхности (x, t), потенциа лов поля скоростей (x, z, t) и электрического поля ch(kz ) (x, z, t), выпишем в безразмерных переменных, в ко3 = - - i exp(i) - exp(-i) 2k sh(kh) торых = = g = 1. В таких переменных характерные масштабы размерных величин записываются как (3i + ) ch(3kz ) 3 - exp(3i) - exp(3i), 1/3k sh(3kh) 1/1/g3 g =, k =, h =, = exp k(h - z ) exp(i) + exp(i) 3 2 g 1/+ exp 3k(h - z )(E0 + ) E0 =( g)1/4, a =.

g 3 exp(3i) + exp(-3i). (7) Найденное решение в безразмерной форме, если за В задаче третьего порядка малости как результат ее всеми безразмерными величинами сохранить прежние решения также получена зависимость функции от обозначения, имеет вид временных масштабов T2, T = a cos( + a2 t) +a2 1 - cth(kh) = 1(T3) exp i 0(T3) exp(i 1 T2). (8) В выписанных выражениях,,,,, — 1 2 1 + 2a2 cos(2 + 2a2 t) +2a3 cos(3), коэффициенты, вид которых будет определен ниже.

Функции 1 и 0, зависящие только T3, определятся из a ch(kz ) = sin( + a2 t) решения задачи четвертого порядка малости.

k sh(kh) 8. Математическая формулировка задачи четвертого ch(2kz ) k порядка малости имеет вид + a2 - cth(kh) + sin(2 + 2a2 t) k sh(2kh) 0 < z < h : 4 = 0, ch(kz ) - a3 i + sin() h < z < : = 0, k sh(kh) 4 z = h : - + = H41, 2(-3 + i ) ch(3kz ) T0 z - a3 sin(3), 3k sh(3kh) 4 24 E0 - - g 4 + - = H42, = - 4Wz + a 4W exp k(h - z ) cos( + a2 t) T0 x2 4 z E0 4 - = H43, 2 W + a2 cth(kh) - 1 + k W z = 0 : = 0, z k z : 0, + 4a2 W exp 2k(h - z ) + cos(2 + 2a2 t) где выражения для функций неоднородностей H41, H42, + 2a3 exp k(h - z ) cos(3) H43, определяющихся через решения первого, второго и третьего порядков малости (5)-(8) и имеющих громозд- + 2a3 exp 3k(h - z ) 4W + cos(3), (9) кий вид приведены в Приложении.

Результат решения задачи четвертого порядка малогде частота определяется из дисперсионного уравсти при принятом начальном условии имеет вид нения 4 = 4 = = 0, 1 = 1/k, 0 = 0.

2 =(k + k3 - Wk2) th (kh), W = E0 /4 g, Это означает, что в решении всей задачи будут W — безразмерный параметр Тонкса–Френкеля, харакотсутствовать добавки четвертого порядка малости к теризующий устойчивость свободной поверхности жидвозмущению свободной поверхности слоя жидкости, а кости по отношению к поверхностному заряду.

также к гидродинамическому и электростатическому Постоянные коэффициенты, входящие в решение запотенциалам.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.