WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

ниже порога протекания по решетке. Один и те же Первое связано с тем, что первое борновское приконфигурации распределения атомов в одной и той же ближение применимо лишь в пределе очень слабоподрешетке могут истолковываться как кластеры разго рассеяния. Неоднократно предпринимались попытки ных типов (например, кластеры, образуемые атомами, преодолеть эту проблему [1,4,6,7]. Наиболее разрабосидящими в соседних узлах решетки, или кластеры, танный подход связан с приближением когерентного образуемые связями между ближайшими атомами, и потенциала [1,4], целью которого является получение т. п.). Рассматривая влияние дефекта массы на динамику самосогласованного решения задачи рассеяния.

решетки, мы в первую очередь должны иметь в виду Мы рассмотрим другой подход, который принимает во кластеры, образуемые атомами, занимающими ближайвнимание бесконечное число поправок высшего порядка шие узлы. Для гранецентрированной кристаллической по концентрации и приводит к выражению для затухания решетки ( fcc) для протекания по узлам критической в виде концентрацией является величина cl 0.2. При заполcr jk-k () =Im F1[c, (1 - c)](2)2GAj(lk, lk; - i0) нении подрешетки fcc на двадцать процентов атомами j данного сорта возникает протекательный кластер. При + F1[(1 - c), c](2)2GBj(lk, lk; - i0), (16) меньших концентрациях c < 0.2 в подрешетке сущеj ствуют только кластеры конечных размеров. Количество где теперь динамические факторы выражаются через кластеров размера s в расчете на один узел подрешетки перенормированные одноузельные функции Грина дается выражением GAj(lk, lk; - i0) j ns = gs,tcs(1 - c)t, (19) t w(k|k - k, j)G0 (lk, lk; - i0)w(k|k - k, j) =, где gs,t — число различных реализаций кластеров 1 - (1 - c)2 G0 (lk, lk; - i0) размера s, имеющих периметр t. Если речь идет о (17) кластерах атомов A в подрешетке, заполненной атомами GBj(lk, lk; - i0) j двух сортов A и B, то NA = Nc = sns, где N —число s узлов подрешетки в рассматриваемом объеме и NA — w(k|k - k, j)G0 (lk, lk; - i0)w(k|k - k, j) =. число атомов сорта A.

1 + c2 G0 (lk, lk; - i0) Корреляционная длина (18) Эти выражения показывают различие в эффективностях a0/ 1 - c/cl, (20) cr рассеяния на узлах, занятых атомами A и B. В зависимости от величины и знаков и G0 (lk, lk; + i0) где 1.66 есть критический индекс, дает при c < 0. рассеяние будет более эффективно на первом типе средний размер кластера при данной концентрации. Как Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. Флуктуации состава в изотопических твердых растворах видно, средний размер кластера критически возрастает кластеров быстро убывает с увеличением размера s.

при приближении к порогу протекания. При этом коли- Так, если максимальная концентрация одноузельных чество кластеров быстро убывает, а количество атомов кластеров составляет для fcc nmax 0.029, для класорта A, распределенных по кластерам разных размеров, стеров размера s = 9 эта величина уменьшается до равно NA = NC. nmax 0.0005.

Отметим симметрию, имеющую место для твердых Кластеры старших размеров начинают играть роль в растворов, которая состоит в том, что аналогичные формировании спектра в том случае, когда возмущение, соотношения годятся и для атомов сорта B в области вносимое кластерами меньших размеров, недостаточно, c > 0.8. При этом выражения для числа кластеров чтобы отщепить локальное или щелевое колебание.

атомов и для соответствующей корреляционной длиДля кластеров данного размера s0, как и в случае ны получаются из предыдущих соотношений заменой одноузельных кластеров, можно найти критическое знаc (1 - c). В интервале концентраций 0.2 < c < 0.чение возмущения, которое приводит к отщеплению атомы обоих сортов образуют протекательные кластеры локализованных состояний. Так же как и в случае различной мощности, которая определяется концентраодноузельного кластера, в принципе возможно формицией.

рование протекания по локализованным состояниями, Важным свойством статистики кластеров является то, которые образованы кластерами размера s0. Отличие что ns ns. Таким образом, сумму кластеров ss0 0 от одноузельного кластера возникает в данном случае разных размеров определяет младший член этой суммы.

из-за того, что в случае кластеров достаточно большоЭто означает, что, если по тем или иным соображениям го размера критическая граница величины возмущения для описания динамики решетки необходимо рассмотопределяется с некоторым разбросом ±s0, определяреть влияние кластеров размерами s s0, достаточно емым зависимостью вносимого кластером возмущения учесть кластеры размера s0.

от формы кластера. Этот разброс возрастает с размером Так, если локализованное или отщепленное состояние рассматриваемых кластеров.

образуется кластерами размера s0 и старше, полное Следствием таких флуктуаций размеров кластера бучисло локализованных или отщепленных состояний с дет размытие отщепившейся колебательной моды и хорошей точностью равно ns. Как и в случае одноухудшение условия для реализации двумодового повеузельных кластеров, в данном случае можно говорить о дения твердого раствора.

такой характеристике, как радиус локализации r0. Для Таким образом, в области c < cl можно выделить cr описания системы „взаимодействующих“ локализованобласть концентраций, где при достаточной величине ных или отщепившихся состояний можно использовать возмущения динамика решетки твердого раствора будет статистику перекрывающихся сфер радиуса Rint.

определяться кластерами такого размера, что их число Описание динамики решетки сводится таким образом будет не слишком мало для образования отщепившейся к решению динамической задачи о колебаниях решетки, моды.

содержащей кластер размера s0, и последующему анаРассматривая рассеяние фонона на кластерах, мы лизу состояний, возникающих в результате перекрытия снова имеем два источника зависимости уширения от областей существования волновых функций кластеров, композиции твердого раствора, а именно статистический число которых равно ns. Проблем перекрытия возфактор, определяющий число рассеивающих центров, и никает при условии, что Rint/a0 оказывается больперенормировку плотности фононных состояний.

ше и порядка среднего расстояния между кластерами Предположим, что определяющее значение для завиa0/n1/3.

sсимости от концентрации имеют статистические фактоКоличество кластеров данного размера нарастары, и сведем задачу о концентрационной зависимости ет с увеличением концентрации в твердом раствоуширения фононных линий к нахождению этих факторе лишь до определенного предела. Так, для одров. В результате для уширения колебательной полосы ноузельных кластеров их число в расчете на один узел подрешетки дается выражением n1(c) =c(1 - c)t можно написать = c(1 - c)12. Эта функция достигает максимума при jk-k () Fn [c, (1 - c)]GA c1 = 1/(1 + t) 0.077. Для кластеров размера s можs max ssно написать ns(c) =cs(1 - c)t(s), где t(c) — усредненный по конфигурациям кластеров периметр для кластеров данного размера, который растет вместе + Fn [(1 - c), c]GB. (21) s с размером кластера s. В результате концентрация, s s при которой достигается максимум ns, дается вы ражением cs = s/ s + t(s). Поскольку t(s) растет Здесь суммирование в правой части врыажения произвоmax медленнее чем s, cs при увеличении s смеща- дится по размерам кластеров s s0 и s s 0. Функции, max ется в сторону больших c. Так, для fcc макси- имеющие статистическое происхождение, есть мальное число кластеров размером s = 9 достигается при c9 0.145. Однако максимальное число Fn [c, (1 - c)] = ns{c, (1 - c)}(1 - c)2 (22) max s Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. 48 А.А. Клочихин, В.Ю. Давыдов, Е.Р. Сеель Рис. 2. a — концентрация кластеров в fcc кристаллической решетке. b — правило сумм для кластеров (прямая линия) и частичные суммы, которые показывают количество изотопов, содержащихся в кластерах разного размера.

и ближенно и с использованием теории протекания Fn [c, (1 - c)] (кривые 1 и 2 соответственно). Из сравнеFn [(1 - c), c] =ns{(1 - c), c}c2, (23) s ния кривых 1 и 2 можно сделать вывод, что область пригде ns{c, (1 - c)} есть концентрация кластеров, состояменимости одноузельного приближения ограничена конщих из s атомов A (19), а ns{(1 - c), c} определяются центрацией 2%. При рассмотрении рассеяния на центрах выражением (19) с заменой аргумента c и (1 - c), и конечных размеров необходимо учитывать ограничение наоборот. Выражения для ns для различных кристаллина величину изменения волнового вектора в процессе ческих решеток даны в [13]. На рис. 2 приведены завирассеяния. Интервал волновых векторов, разрешенных в симости от концентрации для сумм кластеров разного рамановском процессе первого порядка при рассеянии размера, а также для количества атомов, образующих фонона на центрах конечных размеров, будет меньше, кластеры.

чем при рассеянии на точечном дефекте, и будет опреМножители GA и GB в (21) представляют собой деляться обратной величиной размера рассеивающего соответствующие плотности состояний, их можно найти центра.

в результате решения динамической задачи и в общем Если ограничиваться учетом рассеяния на кластерах случае они зависят от, от концентрации твердого минимального размера, получаем раствора и от s. Будем рассматривать эти функции jk-k () Fn [c, (1 - c)]GA + Fn [(1 - c), c]GB, как численные параметры для того, чтобы описать 1 (24) абсолютные величины эффективности рассеяния и относительной роли флуктуаций атомов A и B.

где GA и GB определены мнимыми частями функций Суммирование по s в (21) ограничено снизу, чтобы (17)-(18). Полученное выражение представляет собой выделить наиболее существенную группу кластеров с наилучшее возможное приближение для описания одноточки зрения их влияния на колебательные состояния.

узельного рассеяния.

Что касается верхнего предела суммирования, то нет На рис. 2 показаны также некоторые из сумм необходимости его ограничивать, принимая во внима- Fn [c, (1 - c)] для кластеров различного размера. Мноs ние быструю сходимость такого рода сумм. Это же житель Fn [c, (1 - c)] и суммы Fn [c, (1 - c)] для s 3, 1 s обстоятельство позволяет надеяться на то, что динами- 4 и 6 на рис. 2 демонстрируют быстрое убывание числа ческие факторы GA и GB, определенные для наиболее кластеров и эффективности рассеяния с увеличением эффективного размера s0, будут достаточно хорошей размера кластера s и концентрации c. Таким образом, аппроксимацией и для всей суммы по s. становится очевидным, что для описания рассеяния во На рис. 1 показан статистический фактор для од- всем интервале концентраций необходимо рассмотреть ноузельного рассеяния F1[c, (1 - c)], найденный при- флуктуации более общего характера.

Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. Флуктуации состава в изотопических твердых растворах 4. Флуктуации состава твердого где отклонение p от среднего состава твердого раствора c ограничено неравенствами раствора при произвольной концентрации составляющих -c p 1 - c. (29) Рассеяние на кластерах не слишком большого размера 1/Величина n(c + p)(1 - c - p) =(n2)1/2 представ доминирует до концентраций c 0.10-0.12, а при дальляет собой средне-квадратичное отклонение размера нейшем увеличении концентрации c наибольший вклад в флуктуации. Все флуктуации с размером в пределах рассеяние вносят относительно компактные фрагменты n ± (n2)1/2/2 имеют примерно одинаковую эффективкластеров большого размера. Поиск размеров и числа ность как рассеивающие центры, поэтому их нужно таких компактных областей удобно провести во всей учесть одновременно. Умножая (28) на (n2)1/2 и на области концентраций c как выше, так и несколько ниже квадрат амплитуды потенциала рассеяния, которая пропорога протекания. При этом используются данные о порциональна (1 - c)2, получаем композиционную завичисле не слишком больших кластеров для того, чтобы симость уширения фононной линии сшить решение, полученное при произвольной концен трации, с кластерным решением при c 0.10-0.12.

jk-k () Fn,p[c, (1 - c)]GA + Fn,p[c (1 - c)]GB, Выше порога протекания, c > 0.2, почти все атомы A (30) принадлежат протекательному кластеру [10–13]. Аналогде гичное утверждение справедливо и для атомов B при (1 - c) > 0.2. При хаотическом распределении атомов (1 - c)Fn,p[c, (1 - c)] = двух сортов неизбежно возникают такие области, где концентрация заметно отличается от среднего по криn(c+p) n(1-c-p) сталлу значения. Размер таких областей и величина c 1 - c, (31) отклонения концентрации от среднего значения, а такc + p 1 - c - p же амплитуда вносимого каждым атомом возмущения определяют эффективность рассеяния фонона на такой cFn,p[(1 - c), c] = флуктуации и интервал волновых векторов фононов, передаваемых в процессе рассеяния. Прежде всего найn(1-c+p) n(c-p) дем вероятность флуктуаций состава твердого раство1 - c c. (32) ра при случайном заполнении объема, содержащего 1 - c + p c - p n узлов решетки, атомами первого и второго видов Здесь GA и GB — динамические факторы, аналогичсо средней концентрацией c и (1 - c) соответственно ные введенным ранее в (16) и (21). Параметры GA и GB при отклонении от среднего состава твердого раствов общем случае являются функциями частоты и имеют ра на величину p. Вероятность найти конфигурацию, смысл взвешенной плотности однофононных состояний содержащую nc+p = n(c + p) атомов первого вида и ветви j. Первое слагаемое (30) описывает рассеяние n1-c-p = n(1 - c - p) атомов второго вида, пропорци фонона на флуктуациях, содержащих избыточное чисональна биноминальному коэффициенту и выражается ло np атомов сорта A по сравнению с их средним как n1-c-p числом nc в объеме, содержащем n узлов решетки.

n! n c+p Wn = cn 1 - c, (25) p Второе слагаемое описывает рассеяние на флуктуациях nc+p!n1-c-p! с избыточным числом np атомов B в таком же объеме.

где возможное отклонение np = np ограничено интерва Заметим, что функции (31) и (32) преобразуются одна в лом другую путем замены аргумента c на (1 - c).

-nc np n1-c. (26) Фактор Fn,p[c, (1 - c)] представляет собой хорошо определенную функцию состава твердого раствора в При достаточно большом n факториалы n, nc+p и n1-c-p интервале 0 c (1 - p) и описывает вероятность по можно представить в континуальной форме с помощью явления потенциала рассеяния вследствие отклонения формулы Стирлинга на величину np от среднего числа nc атомов первого сорта в объеме, содержащем n узлов подрешетки. Как n! = 2n exp(n ln n - n). (27) величина, так и форма зависимости от состава твердого раствора определяются размером n флуктуации и избыЭто ведет к выражению точной концентрацией атомов первого вида p.

На рис. 1 показаны функции (31)–(32) для значений n n = 15, 20 и 30 при p = 0.2. Последняя величина взята Wn = p 2n(c + p)(1 - c - p) равной порогу протекания по узлам fcc-подрешетки.

Эта величина делает возможным образование перколяn(c+p) n(1-c-p) ционного кластера конечного размера n избыточными c 1 - c, (28) атомами, число которых есть np.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.