WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 12 01;06;07;09 Нелинейное возбуждение второй гармоники в полупроводниковой сверхрешетке, помещенной в магнитное поле © А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины, 61085 Харьков, Украина (Поступило в Редакцию 22 января 2001 г.) Изучается нелинейное взаимодействие волн в периодической структуре, образованной чередующимися слоями полупроводника и диэлектрика и помещенной во внешнее магнитное поле. Для теоретического исследования нелинейных процессов применяется методика ”трехволновых взаимодействий”. Показано, что характер нелинейных явлений в среде с трансляционной симметрией и в однородной среде различен. Проанализированы условия резонансного взаимодействия первой и второй гармоник. Показано, что возбуждение второй гармоники может происходить как при взаимодействии первых пространственных гармоник, распространяющихся в одном направлении, так и при распространении их в противоположных направлениях, что возможно именно в периодических структурах. Рассмотрены резонансные явления, приводящие к повышению эффективности генерации гармоник.

Введение Постановка задачи. Получение уравнений связи Для локальной диагностики структуры широко используется метод генерации второй гармоники. За поРассмотрим периодическую структуру, образованную следнее десятилетие проведен ряд экспериментальных повторением слоя полупроводника толщиной d1 и дии теоретических работ по исследованию особенностей электрика толщиной d2. Поместим структуру во внешгенерации второй гармоники в кристаллах [1–5], тоннее магнитное поле H0, параллельное оси 0Y. Ось 0Z ких пленках [6–9], периодических [10–13] и других перпендикулярна границам слоев. Будем предполагать, структурах. Один из эффектов, имеющих место в нечто в направлениях 0X и0Y cтруктура однородна, поэтооднородных, в частности периодических средах, — увему исключим из уравнений зависимость от координаты y, личение эффективности генерации гармоник на частоположив /y = 0. В этом случае уравнения Максвелла тах, соответствующих краю зоны пропускания. Прираспадаются на уравнения для двух поляризаций. В рабочины аномально сильного увеличения эффективности те исследуется поляризация с компонентами Ex, Ez, Hy, генерации гармоник излучения накачки в фотоиониотличными от нуля.

зованной плазме рассмотрены в [14]. Возможность Целью работы является исследование нелинейного повышения эффективности генерации волн произвольвзаимодействия волн в данной сверхрешетке. В метоной природы в периодической среде рассматривается дике, предложенной в работе [18] для однородной срев [15]. Данная работа посвящена возбуждению второй ды, нелинейная система дифференциальных уравнений гармоники в полупроводниковой сверхрешетке, помесводится к алгебраической системе. Для неоднородной щенной в магнитное поле. В теоретических исследоструктуры мы получаем систему дифференциальных ваниях нелинейных процессов используется методика уравнений, для решения которой используется формула ”трехволновых взаимодействий” [16–20]. Основным Грина [21], предположением нашей методики является малость нелинейных слагаемых. Достоинство метода — учет неb линейных механизмов, действующих в различных сло b f Lf - L f f dv = f f, (1) ях структуры. В работе изложен метод нахождения a a уравнений связи, обсуждены особенности нелинейного взаимодействия волн в периодической структуре, про анализированы условия взаимодействия первой и второй где L — линейный дифференциальный оператор, обрагармоник, дано объяснение существенному увеличению зованный слагаемыми линеаризованной системы уравне взаимодействия волн, связанному с тремя резонансными ний; L — транспонированный оператор L; f и f —собявлениями (циклотронным, брэгговским и нелинейным ственные функции этих операторов; звездочка означает резонансами). комплексное сопряжение; запись f(Lf ) —скалярное 44 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова произведение; v — координатное пространство, в кото- Оператор L получается из линеаризованной системы уравнений для полупроводникового и диэлектрического ром действуют операторы L и L; a и b — границы области слоев (2) для первого слоя (Nd z < d1 + Nd) интегрирования.

Смысл этой формулы в том, что собственные функ Lf = ции транспонированного линейного дифференциального c 2 H оператора ортогональны к правой части системы линейckx - 0 p i z2 + i c 0 ных дифференциальных уравнений. Такой метод анализа z c 2 - H нелинейных волновых взаимодействий в периодических - i0 p c - H структурах применялся в работах [19,22,23].

В нашей задаче нелинейные механизмы связаны с не 2 H c линейностью тока в слоях полупроводника, включающей ckx + 0 p 2 - i kx + i 0- z c 2 - H c в себя нелинейные слагаемые в уравнении движения - i0 p носителей и уравнении непрерывности. Взаимодействие c 2 - H электромагнитных волн описывается уравнениями Макс велла, уравнением непрерывности и уравнением движеCk ex1 + e(ad) xния носителей, (6) Ck ez1 + e(ad) 01 E1 4 zrot H1 = + j1, c t c для второго слоя (d1 + Nd z < (N + 1)d) 1 Hc 2 kx rot E1 = -, c t i z2 + i c 0 c z Lf = v1 e e e +(v1 grad)v1 = E1 + [v1H0] + [v1H1], kx c t m mc mc c -i kx + i z c n1 + div j1 = 0, t e Ck ex2 + e(ad) xj1 = e(n0 + n1)v1. (2). (7) Ck ez2 + e(ad) zСистема уравнений (2) записана для полупроводникового слоя (в дальнейшем индекс 1 будет относиться к Уравнения для нахождения зависимости Ck(t) (уравнеслоям полупроводника, а индекс 2 — диэлектрика). Для ния связи) получим, воспользовавшись формулой Грина.

диэлектрического слоя j = 0, a 01 следует заменить Рассмотрим подробное интегрирование в формуле (1).

на 2. Схематически систему уравнений (2) можно В результате интегрирования по dx и dt получим записать в виде функции ( - )(kx - kx) в линейных операторах.

Lf = ( f, f ), (3) Интегрирование по dz приводит к разности соответствугде — билинейный оператор-столбец, образованный ющих компонент полей на границах структуры. Так как нелинейными членами системы уравнений (2).

поля удовлетворяют граничным условиям, то интегралы Согласно методу работы [18], решение системы урав- от линейных слагаемых равны нулю. В левой части (1) нений (2) представим следующим образом:

остаются только члены с дополнительными полями e(ad) dCk (ad) L(/z)Ckk = k E = Ck(t) e(z) +e(ad) exp(-ikt + ikxt), dt kx=+ Ck Ck 1(k, k )e-i( + -)t, kx=kx+kx Hy = Ck(t) hy(z) +h(ad) exp(-ikt + ikxt), (4) y kx=где 1 — оператор, состоящий только из нелигде Ck(t) — медленно меняющаяся во времени амплитунейных слагаемых полупроводникового слоя; k — да k-й волны; компоненты e и hy зависят от z, так как вектор-столбец, образованный составляющими поля e;

(ad) в направлении 0Z структура неоднородна; e(ad) и h(ad) — k — вектор-столбец, образованный составляющими y дополнительные поля, описывающие отклонения направ- поля e(ad).

ления полей от линейных, вызванные действием нели- Данная система уравнений является неоднородной.

нейных механизмов.

Нелинейные слагаемые полупроводникового слоя имеют Вследствие предполагаемой малости нелинейных сла- вид гаемых в уравнениях (2) будем считать, что нелиней 4 i e ность приводит к ”медленному” изменению амплитуд H1 = en0 (v1)v1 + H - 2 [v1H] c mc взаимодействующих волн во времени, т. е.

e d lnC + i(v1)v1- v1(H0H1)-[(v1)v1H0]. (8). (5) mc dt Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Нелинейное возбуждение второй гармоники в полупроводниковой сверхрешетке... Для получения оператора 1 необходимо выразить v1 крoме соотношений (11) и (12), k,, kx связаны диси H1 через E1 и провести симметризацию полученного перcионным соотношением для безграничной периодивыражения. Из системы уравнений (2) для исследуемой ческой среды, помещенной в магнитное поле [24], поляризации находим f 12 kz1 e e-i E1 + [E1H0] cos kd = cos kz1d1 cos kz2d2 m m2c 2kz1kz2 f v1 =, H - kz2 2 1 c + - kx sin kz1d1 sin kz2d2, H1 = -i [E1]. (9) 2 1f (13) При интегрировании по dz в нелинейных слагаемых 2 2 2 где kz1 = f 1 - kx, kz2 = 2 - kx — поперечные c2 cв формуле (1) разбиваем интеграл на сумму интеграволновые числа полупроводникового и диэлектрического слоев; f = + / — фойгтовская проницаемость;

лов по слоям структуры, выделяя вблизи каждой границы и — компоненты тензора диэлектрической прониобласть шириной 2i (i 0), цаемости 0 -1+d1 1+d1 -2+d = lim... + + + + +..., 2( + i) p i0,i=0,±1,...

= xx = zz = 0 1 -, -0 0 -1+d1 1+d[( + i)2 - H] где d = d1 + d2 — период структуры.

Так как рассматриваемая структура является перио2H дической, то в результате применения теоремы Флоке = xz = -zx = -i0 p 2, (14) [( + i)2 - H] сведем интегралы от нелинейных слагаемых к первому периоду. Тогда периодичность структуры выразится p — плазменная частота, 0 — решеточная часть в сумме диэлектрической проницаемости, H — циклотронная частота, — эффективная частота столкновений.

exp[i(k + k - k + 2n/d)z]; n = 0, ±1,..., Для получения дисперсионного уравнения (13) в раn=боте [24] используется метод передаточной матрицы, связывающей поля в начале и конце периода.

приводящей к закону сохранения для блоховской компоненты волнового вектора В дальнейшем понадобятся выражения для полей.

Их нахождение не имеет особенностей, поэтому сразу k + k - k + 2n/d = 0, (10) запишем результат для первого слоя (Nd z < d1 +Nd) где k — так называемое блоховское волновое число, Hy1 = A1(cos kz1z + A2 sin kz1z), являющееся ”усредненным” волновым числом вместо поперечных волновых чисел полупроводникового и дидля второго слоя (d1 + Nd z < (N + 1)d) электрического слоев kz1 и kz2.

Предположим, что компоненты поля добавок подчиняются тем же граничным условиям, что и линеариHy2 = A1(B1 cos kz2z + B2 sin kz2z).

зованные. Тогда при выполнении резонансных условий (условий синхронизма) Коэффициенты A2, B1, B2 определяются из условия непрерывности для тангенциальных компонент полей на + - = 0, границах слоев и теоремы Флоке kx + kx - kx = 0, B1 = cos kz1d1 cos kz2d1 + sin kz2d2n kz2 fk + k - k + = 0 (11) d уравнение для амплитуды Ck имеет вид [17–19] kz1 sin kz1d1 - ikx cos kz1d dCk = Wk,k,k Ck Ck, (12) dt + A2 sin kz1d1 cos kz2d1 - sin kz2dkz2f где Wk,k,k — матричный коэффициент.

Уравнения для амплитуд двух других волн Ck и Ck kz1 cos kz1d1 + ikx sin kz1d1, получаем перестановкой индексов. Следует учесть, что, Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. 46 А.А. Булгаков, О.В. Шрамкова d1 = 0.01 cm, d2 = 0.015 cm, kxd = 2. Зоны пропускания B2 = cos kz1d1 sin kz2d1 + cos kz2dkz2fвыделены штриховкой.

Особенности нелинейного взаимодействия, связанного ikx cos kz1d1 - kz1 sin kz1dс периодичностью структуры, заключены в следующем.

1. Матричный элемент и условия синхронизма имеют смысл только в зонах пропускания решетки.

+ A2 sin kz1d1 sin kz2d1 + cos kz2d2. Первые два закона аналогичны законам синхронизма kz2f в однородной среде, а последний — закон для блоховских компонент волнового вектора содержат слагаемое kz1 cos kz1d1 + ikx sin kz1d1, (2n)/d, связанное с периодичностью среды. Это соот ношение заменяет закон для z-овых компонент волнового f 1 вектора, как в случае однородных сред.

A2 = i cos kz1d1 cos kz2dc kz1 m3. Для периодической структуры матричный элемент Wk,k,k — комплексная величина, а для однородной — kz- sin kz1d1 sin kz2dмнимая.

kz2f Схематически матричный элемент можно представить как сумму четырех слагаемых вида kx2 + i cos kz1d1 sin kz2d2 - e-ikd, kz2f 1 cos ksd1 - 1 + i sin ksdfs, (16) где m12 — элемент передаточной матрицы, ks f 1 m12=-i sin kz1d1 cos k2d2-i cos kz1d1 sin kz2d2 где ks = kz1 ± kz1 ± kz1; fs — коэффициент, определяемый c kz1 c kzс помощью амплитуд взаимодействующих волн.

Исследование уравнений связи проведено в рабо 1 kx - 2 sin kz1d1 sin kz2d2.

те [20]. Показано, что физические характеристики взаc 1 kz1kzимодействия волн могут быть получены при исследова(15) нии зависимостей матричных коэффициентов Wk,k,k от Зонная структура спектра с учетом конечности скопараметров структуры.

рости света приведена на рис. 1 (кривые 1–8). Расчеты произведены для сверхрешетки со следующими параметрами: первый слой — полупроводник типа InSb Взаимодействие первой и второй (01 = 17.8), второй слой — диэлектрик (2 = 2), гармоник Проанализируем условия взаимодействия первой и второй гармоник с частотами = 2 и. При этом условия синхронизма следующие:

= 2, kx = 2kx, k = 2k. (17) Для определения kx и используем систему дисперсионных соотношений f kzcos k d = cos kz1d1 cos kz2d2 2kz1kz2 f kz2 + - kx2 sin kz1d1 sin kz2d2, 2 1 f f 12 kz1 cos kd = cos kz1d1 cos kz2d2 2kz1kz2 f kz2 2 1 + - kx sin kz1d1 sin kz2d2.

2 1f (18) Так как f 1 = f 1, то, следовательно, kz1 = 2kz1. Вслед ствие этого аналитически данную систему уравнений Рис. 1. Дисперсионная зависимость. 0 = 17.8, d1 = 0.01 cm, 2 = 2, d2 = 0.015 cm, kxd = 2. решить не удается, численное решение данной системы Журнал технической физики, 2001, том 71, вып. Нелинейное возбуждение второй гармоники в полупроводниковой сверхрешетке... и W (H) связана с возрастанием скорости движения носителей v1 при = H (см. (9)). Разумеется, что расходимость связана с неучетом процессов диссипации.

Если их учесть, то в формуле (9) следует 1/(H - 2) заменить на 1/(H -2 -2i+2) (см. формулу (14)).

б) Условия обращения в нуль одной из величин ks (см.

формулу (16)) также приводит к возрастанию W. Это условие можно рассматривать как нелинейный резонанс.

Отметим, что в пределе ks 0 действительная часть второго множителя в формуле (16) равна нулю, а мнимая — d1. Поэтому максимум будет иметь только или ReW (Re W), или ImW (ImW ). Физической причиной увеличения взаимодействия волн является то, что при kx = 0 энергия взаимодействующих волн оказывается неибольшей.

в) Брэгговский резонанс — резонанс на периоде структуры. Он связан с тем, что амплитуды полей принимают бесконечные значения в точках, для которых m 12 = 0 или m12 = 0. (20) Решения данных соотношений расположены в запрещенных зонах для первой или второй гармоник, так как (m 11 + m 22)/2 > 1 (или (m11 + m22)/2 > 1), где законы Рис. 2. Дисперсионная зависимость.

синхронизма не выполняются. Таким образом, условие для брэгговского резонанса не может быть выполнено точно. В то же время значения амплитуд полей внупредставлено на рис. 1 сплошными кривыми 1–8 для три разрешенных зон конечные и зависят от близости первой гармоники. Кривые расположены в зонах пропусточек резонанса и точек, удовлетворяющих условиям кания. Все кривые обрываются при значении k = /2, синхронизма (17) и расположенных на границах зон.

поскольку при k > /2, k >, т. е. вторая гармоника Итак, существенное увеличение матричного элемента W в этом случае попадает в зону непропускания.

на границе зоны пропускания определяется брэгговским Поскольку знак блоховского волнового числа из дисрезонансом.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.