WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 9 01;03 Конвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью © Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 17 января 2005 г.) Теоретически обнаружен эффект снижения в результате взаимодействия капиллярно-гравитационных и конвективных движений жидкости критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Выявлено, что при стремлении плотности поверхностного заряда к критической в смысле проявления неустойчивости Тонкса-Френкеля конвективные движения жидкости возникают при сколь угодно малых значениях градиента температуры, причем этот эффект зависит от толщины слоя жидкости.

PACS: 47.55.pb Введение гидродинамика слоя хорошо описывается системой уравнений Буссинеска-Обербека [1], в которой локальное Феномен тепловой конвекции представляет как ака- значение температуры жидкости управляет плавучестью демический интерес, так и в связи с многочисленными малых элементов ее объема, а значит, и условиями приложениями в технике и технологии. Он неоднократно возникновения тепловой конвекции. В отсутствие констановился предметом исследования [1–3], в том числе векции в равновесном состоянии в жидком слое поле и при наличии волнового возмущения формы свободной скоростей течения жидкости тождественно равно нулю, поверхности жидкости [4,5]. Тем не менее до сих пор не кроме того постоянны: вертикальный градиент равновесисследована конвекция в неоднородно нагретом плоском ной температуры T0 = -Aez (ez — орт оси Oz ), градислое жидкости на твердом дне, когда по свободной по- ент равновесного давления p0 = -0g (0 — средняя верхности жидкости распределен электрический заряд, по температуре плотность в определенном выше слое хотя такая ситуация достаточно часто встречается как жидкости) и поверхностная плотность электрического в геофизических, так и технических, и технологических заряда 0 на свободной поверхности.

приложениях. Очевидно, что возникновение конвектив- В описанной физической системе при определенных ного движения в поверхностно заряженном слое жидко- параметрах могут реализоваться две качественно разсти конечной глубины вызовет деформацию равновесной личных неустойчивости: Тонкса-Френкеля (неустойчиее свободной поверхности с амплитудой, много большей вость свободной поверхности жидкости по отношению амплитуды тепловых возмущений [6], что в свою очередь к поверхностному электрическому заряду) и конвекдолжно привести к снижению порога устойчивости по тивная, проявляющаяся в возникновении под действием отношению к собственному заряду [7,8]. архимедовых сил вихревого движения в плоскости Oxz.

Зададимся целью исследовать устойчивость равновесного состояния слоя жидкости по отношению к Постановка задачи малым возмущениям полей: температуры T (r, t), поверхностной плотности электрического заряда (x, t), Пусть в декартовой прямоугольной системе коорди- давления p(r, t), плотности (r, t), скорости U(r, t) и нат Oxyz с осью Oz, направленной вертикально вверх, деформации (x, t) свободной поверхности жидкости, против направления действия поля сил тяжести g, гори- имея в виду возможное влияние на устойчивость равзонтальный слой вязкой теплопроводной идеально про- новесных состояний вариаций градиента температуры и водящей жидкости конечной толщины занимает область поверхностной плотности электрического заряда.

0 z h. Верхняя, свободная однородно электрически Естественно считать, что на верхней и нижней гразаряженная с плотностью 0, и нижняя, опирающаяся на ницах слоя жидкости, в силу принятого утверждения о плоское твердое дно, границы жидкости поддерживают- постоянстве температур, при которых они поддерживася при постоянных температурах. Примем толщину слоя ются, возмущения температуры, связанные с деформажидкости такой, что изменения плотности жидкости, цией равновесной свободной поверхности, обращаются вызванные изменением с глубиной гидростатического в нуль. Будем, однако, учитывать изменения капиллярдавления, пренебрежимо малы по сравнению с измене- ных, гравитационных и электрических сил, действуюниями плотности, обусловленными неравномерным рас- щих на элемент площади, деформированной тепловым пределением температуры жидкости. При этих условиях капиллярным волновым движением свободной поверхКонвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью ности, полагая что возмущение физических параметров Вывод критических условий обусловлено тепловым движением молекул [6], и для возникновения конвективного движения оценки порядка величины амплитуды возмущений положим, что в случае рассматриваемых безразмерных Решение задачи (1) будем искать, полагая, что зависиниже переменных T p U kT/, где k —по- мости физических параметров от координат и времени стоянная Больцмана, — коэффициент поверхностного имеют вид натяжения жидкости.

v(x, z, t) V (z ) exp(st - ikx);

Примем, что коэффициенты кинематической вязкости жидкости, поверхностного натяжения, теп- u(x, z, t) U(z ) exp(st - ikx);

-лового расширения жидкости = -0 (/T )p и p(x, z, t) p(z ) exp(st - ikx);

температуропроводности незначительно изменяются (x, z, t) (z ) exp(st - ikx);

с температурой, и их можно принять за постоян = 0 exp(st - ikx);

ные исходные параметры. Без ограничения общности можно считать возмущения всех физических велиT (x, z, t) (z ) exp(st - ikx), (2) чин независящими от горизонтальной координаты y:

здесь s — комплексная частота, k —волновое число.

= (x, t), p = p(x, z, t), T = T (x, z, t), = (x, z, t), Подставив (2) в (1), из требования совместимости U = u(x, z, t)ex + v(x, z, t)ez, где t — время, ex —орт граничных условий можно найти дисперсионное уравоси Ox.

нение задачи, которое, однако, имеет весьма громоздкий Учтем, что плотность жидкости связана с изменением вид и поэтому не приводится. Целью настоящего растемпературы известным соотношением [9]:

смотрения является определение критических условий начала возникновения конвекции, которые можно найти, = T -0T. если в дисперсионном уравнении положить комплексT p ную частоту s равной нулю. В этом случае критические условия выводятся в виде алгебраического соотношения Напряженность же электрического поля над искамежду безразмерными физическими параметрами систеженной волновым движением свободной поверхностью мы (1) в виде z = h + (x, t) определим соотношением E = - det(M) =0; (3) + (x, z, t), где малая поправка = (x, z, t) M = является величиной того же порядка малости, что и (x, t), а = -40ez [10].

0 1 G1 0 Ch(q1)G1 Ch(q1)G2 k2 Ch(q1 ) - µq1G1(-3k2 + q2)Sh(q1 ) 1 Все рассмотрение проведем в безразмерных перемен- 0 0 q1 G1 Sh(q1)G1 Sh(q1 )G2 k2 Sh(q1) - µq1G1 (-3k2 + q2)Ch(q1 ) 1 ных, в которых h = 0 = = T0 = 1. За всеми физиче- 1 G2 0 Ch(q2)G2 Ch(q2)G2 k2 Ch(q2 ) - µq2G2(-3k2 + q2)Sh(q2 ) 2 ;

= скими величинами оставим их прежние обозначения. 0 0 q2 G2 Sh(q2)G2 Sh(q2 )G2 k2 Sh(q2) - µq2G2 (-3k2 + q2)Ch(q2 ) 2 1 G3 0 Ch(q3)G3 Ch(q3)G2 k2 Ch(q3 ) - µq3G3(-3k2 + q2)Sh(q3 ) Математическая формулировка задачи о расчете ка3 0 0 q3 G3 Sh(q3)G3 Sh(q3 )G2 k2 Sh(q3) - µq3G3 (-3k2 + q2)Ch(q3 ) пиллярно-гравитационного и конвективного движения 3 жидкости в указанных безразмерных переменных в ли 1 + k22 - kW ;

нейном приближении по малым величинам имеет вид q1 = Q1; q2 = Q2; q3 = Q3; Gi k2 - Q2;

i U 0 z 1 : = -p + U + GrT ez ;

Q1 = k2 - k2/3Ra1/3, Q2 = k2 + (1 - i 3)k2/3Ra1/3, t Q3 = k2 + (1 + i 3)k2/3Ra1/3;

T - (Uez ) = T ; U = 0;

t Pr h/; µ /gh3; Ra Cr Pr; W E0/4 g, z 1 : = 0; z : | | 0;

где Ra — число Рэлея, характеризующее порог возникновения конвекции; W — параметр Тонкса-Френкеля, v E0 характеризующий устойчивость заряженной свободной z = 1 : = v; -g + p - 2 - + = 0;

t z 4 z xповерхности жидкости по отношению к собственному заряду. При W 2 заряженная равновесная плоская u v поверхность жидкости становится неустойчивой по от+ = 0; - E0 = 0; T - = 0;

z x ношению к капиллярным волновым возмущениям бесконечно малой амплитуды с размерным волновым числом v z = 0 : v = 0; = 0; T = 0;

k 1/, где — капиллярная постоянная жидкости z ( /os). При этом сила давления электрического поля превосходит давление сил поверхностного натяжеGr gAh4/2; Pr /. (1) ния, и с заряженной поверхности жидкости начинается Здесь Gr — число Грассгофа; Pr — число Прандтля. сброс избыточного заряда [6].

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 44 Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев Анализ влияния электрического заряда на условия развития конвективной неустойчивости Примеры расчетов по уравнению (3) приведены на рисунке в виде зависимостей критического для начала реализации конвективной неустойчивости значения параметра Рэлея Ra от безразмерного волнового числа k при различных значениях отношения толщины слоя к капиллярной постоянной. В пределе W 0 полученные результаты совпадают с результатами работы [5], где показано, что при µ 0.01 влияние деформации поверхности на критические условия возникновения конвекции наиболее заметно.

Из рисунка видно, что увеличение поверхностной плотности электрического заряда существенно влияет на критические условия реализации конвективной неустойчивости: с ростом поверхностной плотности электрического заряда уменьшается критическое значение Ra, при котором развивается неустойчивость, и увеличивается (при принятом обезразмеривании) значение волновых чисел, соответствующее наиболее неустойчивой волне, определющееся положением минимумов на приведенных кривых.

Из рисунка, c видно, что при W = 2 критическое значение градиента температуры, пропорциональное Ra при определенных значениях волнового числа обращается в нуль для слоев жидкости конечной толщины.

Причем, оказалось, что для каждой из зависимостей наиболее неустойчивое безразмерное волновое число (положение минимума) определяется из условия k/ = 1. Для размерного волнового числа это условие будет иметь вид k = 1 (что означает: при обезразмеривании вида = 0 = g = 1 волновое число наиболее неустойчивой моды остается неизменным с изменением толщины слоя жидкости). Но значение параметра Тонкса-Френкеля W = 2 соответствует критическому значению поверхностной плотности электрического заряда, выше которого развивается неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Это означает, что на пороге реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля конвективная неустойчивость может начать развиваться при весьма незначительной разности температур между дном и свободной поверхЗависимости критического для начала возникновения тепловой ностью.

конвекции значения Ra от k, рассчитанные при µ = 0.01 для Проведенный анализ указывает на взаимное влияние слоев жидкости различной толщины. Кривая 1 получена для друг на друга электрокапиллярно-гравитационных и конслоя толщиной = 0.2; 2 — 0.5; 3 — 0.77; 4 — ;

вективных движений. Это влияние наиболее интенсив- a — W = 0; b —1; c —2.

но вблизи значений W = 2. При W чуть меньше даже небольшая разность температур между дном и свободной поверхностью приведет к развитию конвек- поверхностной плотности электрического заряда) реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля минимальны по тивной неустойчивости. Эта неустойчивость приведет к появлению на свободной поверхности волн конечной сравнению с волнами других длин и заметно снижаются амплитуды с волновым числом, близким к k = 1/. Но с увеличением их амплитуды [7,8]. Иными словами, именно для периодических волн с такими волновыми конвективная неустойчивость инициирует именно то числами критические условия (критическая величина волновое движение свободной поверхности жидкости, Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Конвективные движения в слое вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью которое ответственно за снижение порога проявления неустойчивости Тонкса-Френкеля. Сказанное можно также интерпретировать как возникновение вихревого конвенктивного движения электропроводной жидкости при реализации неустойчивости ее заряженной поверхности по отношению к собственному заряду, что согласуется с данными экспериментальных наблюдений [11].

Из рисунка видно также, что зависимость критической для возникновения конвективной неустойчивости в поверхностно заряженном слое вязкой электропроводной жидкости величины параметра Рэлея от толщины слоя немонотонна.

Заключение Критические условия возникновения конвекции в слое вязкой жидкости конечной толщины заметно снижаются с увеличением поверхностной плотности электрического заряда на свободной поверхности жидкости. Независимо от толщины слоя жидкости наиболее неустойчивой является волна с размерным волновым числом k = 1/. В результате взаимодействия электрокапиллярно-гравитационных и конвективных движений снижаются критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 03-01-00760 и 06-01-00066-a, и гранта президента РФ № МД-1990-2005-1.

Список литературы [1] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

[2] Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений в жидкостях. М.: Наука, 1989. 320 с.

[3] Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б.

Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен.

Т. 1. М.: Мир, 1991. 678 с.

[4] Изаксон В.Х., Юдович В.И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968.

№4. С. 23–28.

[5] Изаксон В.Х. // ПМТФ. 1969. № 3. С. 89–92.

[6] Френкель Я.И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. № 4. С. 348–350.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1989. 733 с.

[8] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

[9] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. // ЭОМ. 2004. № 4. С. 34–40.

[10] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 2. С. 19–27.

[11] Hayati J., Bailey A.J., Tadros H.F. // Nature. 1986. Vol. 319.

N1. P. 41–43.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.