WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

n a a3 4daальных пульсаций R(2)(T0) и поверхностных осцилляций и M(2)(T0) n Подставив (19), (20) в выражения (34) и (35) и исключив секулярные члены, в нерезонансном случае получим дифференциальные уравнения для определения T T0R(2) + 0R(2) = -2T T1R(1) - T R(1) 0 0 2a неизвестных зависящих от времени коэффициентов 2 0 0 2 + + R(1) - M(1) T C(1)(T1) exp(i0T0) - T C(1)(T1) exp(-i0T0) =0;

0 1 a 3a + k T B(1)(T1) - 2B(1)(T1)T1 1 + k + M(1) 5a k (2k + 1)a k= C(1)(T1) exp(i2T0) +C(1)(T1) exp(-i2T0) = 0;

2 + 2k + - T M(1) ; (34) k 2a(2k + 1)(k + 1) T C(1)(T1) exp(inT0)-T C(1)(T1) exp(-inT0)=0; n 2.

n n k=2 1 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 46 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова Решив последнюю систему совместно с начальными ± k = a(2k + 1)(2k + 3) условиями (21), получим h0 3QC(1)(T1) =C(1)(T1) = ; C(10(T1) =h1; k(k + 1) 4(k + 2) - ± kk+1.

0 0 2 a3 4dahn Образующая формы пузырька, совершающего малые B(1)(T1) =0; C(1)(T1) =C(1)(T1) = ; n 2.

n 1 n капиллярные колебания в окрестности положения равСледовательно, выражения (19), (20) можно записать новесия, описывается функцией вида в виде R(1)(t) =h0 cos(0t); M(1)(t) =h1;

r = a + R(1)(t) +2R(2)(t) M(10(t) =hn cos(nt); n 2. (36) + n + M(1)(t)Pn(µ) +2 M(2)(t)Pn(µ), (40) n n Решение же уравнений (34), (35) определяющих нелиn n нейные поправки второго порядка малости в нерезонансном случае можно записать в виде где функции R(1)(t), M(1)(t), R(2)(t), M(2)(t) определяются n n 1 2h2 выражениями (36)-(39). Выражения для электрического R(2)(t) = h2 - - sin t поля в окрестности пузырька и распределение поля 0 2a 3a скоростей течения жидкости в его окрестности легко h2 5 30 получаются на основе соотношений (17), (18), (32), (33), + + sin t sin t 3 0 2a 2 (37)-(39) в виде, аналогичном (40).

h2 k 2 k + k - sin2 t 2 2a(k + 1)(2k + 1) 0 k 4. Анализ полученных результатов k(4k + 5)k cos(2kt) - cos(0t) Из выражений (37)-(39) видно, что для случая + k + ;

2 p(0) - pV 0, т. е. когда уравнение (2) имеет один ко2a(k + 1)(2k + 1) 0 - 4k рень r = a, или для меньшего корня уравнения (2) в (37) 12h1h2 2 случае (p(0) - pV )min < p(0) - pV < 0, выражения R(1)(t), M(2)(t) = sin2 t 5a M(1)(t), R(2)(t), M(2)(t) будут растущими функциями n n + k k+1 + k времени t, только если n < 0. Таким образом условие + hkhk=1 sin2 t неустойчивости формы пузырька можно записать в виде (k+1 + k)2 k k Q - (n + 2);

k k+1 - k 4da+ sin2 t ; (38) (k+1 - k)2 2 (41) r0 3 Q2 - pV = p(0) + -.

p(0) 2h0hn 6 g a 4da4 a M(2)(t)= 0 - n sin t cos(nt) n n 2 0(0 - 4n) a В (41) первое соотношение представляет собой кри3 0 - n 2 - 0 cos t sin(nt) sin t терий Рэлея [1] (критерий реализации неустойчивости n a 2 заряженной сферической границы раздела фаз по отно h2 n шению к собственному заряду), а второе соотношение 11n - sin2 t +( + )h1hn-1,n-1,n n-1,1,n n 2 есть условие баланса давлений на стенке равновесного пузырька. Проанализировав систему (41) несложно cos(n-1t) - cos(nt) +( + )h1hn+1 увидеть, что если p(0) - pV < 0, из второго уравнения 1,n+1,n n+1,1,n 2 n - n-системы (41) (из условия баланса давлений) следует cos(n+1t) - cos(nt) hkhm + Q2 2a r0 n - n+1 < 4 - p(0), k m g 4da3 a k2 m cos (k - m)t - cos(nt) что противоречит первому неравенству (41) (критерию ( + km) kmn kmn n - (k - m)неустойчивости Рэлея). Следовательно, пузырек, нахо дящийся в равновесном состоянии с меньшим радиусом cos (k + m)t - cos(nt) при условии (p(0) - pV )min < p(0) - pV < 0, будет устой+( - km) ;

kmn kmn n - (k + m)чив как к бесконечно малым искажениям объема, так и n 2; (39) формы при любом заряде пузырька.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости 4a. Электростатический канал реализации неустойчивости заряженного пузырька Если p(0 - pV 0, то из критерия Рэлея, первого из соотношений (41), видно, что наиболее неустойчивой будет являться основная мода поверхностных осцилляций пузырька (n = 2). Неустойчивость этой моды будет наблюдаться при условиях r0 p(0) + pV p(0);

g a Q2 p(0) g 4, 4dr3 p(0) - pV когда суммарное давление газа и пара в пузырьке не превосходит давления окружающей жидкости, а заряд пузырька превышает некоторое критическое значение.

Такой тип неустойчивости наиболее хорошо изучен на примере заряженных капель (см., например, [15,16]). Он характеризуется тем, что пузырек вытягивается пропорционально P2(µ) и либо разрывается на два пузырька, либо с его вершин происходит эмиссия некоторого числа заряженных пузырьков [15,16]. Отметим также, что данный тип неустойчивости может иметь место только при достаточно большом заряде на пузырьке, который может появиться, например, при электроразряде в жидкости на финальной стадии эволюции паровой полости, за счет оседания носителей заряда на стенках пузырька.

Заряд на пузырьке может присутствовать в тех случаях, Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени t безразкогда в жидкости имеются свободные носители заряда, мерных поправок второго порядка малости к амплитуде:

способные оседать на стенках пузырька, что может a — пульсационной моды R(2)(t); b — основной поверхностиметь место при неразвитой кавитации в электрогидроной моды M(2)(t), построенные при = 4/3, p(0) - pV = 0.5, динамических насосах. Очевидно, что при обсуждаемом p(0) = 0.5, h0 = h2 = 0.5 и различных значениях параметра g типе неустойчивости неустойчива и радиальная мода Рэлея W: 1 — 4.05; 2 —4.1; 3 —4.2.

пульсаций пузырька. В частности, из (37) видно, что при достаточно больших временах будет иметь место асимптотическое равенство и поверхностными модами мала, поскольку для его h2 13|2|2 ch(2|2|t) инициирования требуется весьма большой заряд на R(2)(t) 2 -, 2 30a 0 + 4|2|пузырьке.

где |2| — модуль частоты основной (n = 2) моды.

4b. Парадинамический канал реализации Однако при реализации подобной неустойчивости ско- неустойчивости пузырька рость роста нелинейной поправки к основной моде Анализ выражений (37)-(39) также приводит к вывоповерхностных колебаний пузырька M(2)(t) значительно ду, что при 0 < 0 (такая ситуация реализуется только превосходит скорость роста нелинейной поправки к когда (p(0) - pV )min < p(0) - pV < 0, рис. 3) и пузырек центрально-симметричной пульсационной моде R(2)(t), находится в положении с большим радиусом, отвечаючто проиллюстрировано рис. 2, на котором приведены щим большему корню уравнения (2), тогда появляется временные зависимости величин нелинейных поправок к возможность перекачки энергии из пульсационной раамплитудам пульсационной и поверхностной (основной) диальной моды сразу в несколько мод поверхностных мод. В результате заметно искажается форма пузырька осцилляций. Так, из выражения (39) видно, что при пепри реализации неустойчивости данного типа и незначиреходе 0 через нуль в область отрицательных значений тельно изменяется его объем.

имеют место преобразования Таким образом, существует принципиальная возможность переноса энергии из основной моды поверхност- cos(0t) ch (|0|t); 0 sin(0t) -|0| sh (|0|t), ных осцилляций в пульсационную радиальную. Тем не менее, следует отметить, что вероятность реализации где |0| — модуль частоты радиальных пульсаций.

такого канала обмена энергией между пульсационной Тогда выражение для нелинейной поправки к частоте Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 48 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова ющей со временем по закону |0| (2) An (t) n n sh2 t 1/|0| |0| + n ch2 t sh t. (42) 2 Таким образом, n-я мода становится неустойчивой.

Источником энергии в обсуждаемом канале реализации неустойчивости пузырька является потенциальная энергия давления пара в нем. Интересно отметить, что описываемый механизм применим ко всем модам, определяющим деформацию формы пузыря в начальный момент времени, в том числе и к модам с тепловой ( kT/ [15]) амплитудой, и, следовательно, применим ко всем модам, не подавляющимся вязкостью жидкости.

Описываемый тип неустойчивости принципиально отличается от электростатической, рассмотренной выше, поскольку, во-первых, она может реализоваться даже при нулевом заряде на пузырьке, во-вторых, при данном типе неустойчивости амплитуда нелинейных осцилляций поверхностных мод увеличивается с ростом номера моды (см. рис. 4, а также таблицу). Таким образом, если в начальный момент времени в спектре мод, определяющих начальную деформацию имеются моды Рис. 3. Зависимости от разности безразмерных давлений p(0) - pV квадрата безразмерной частоты центрально-симметричных пульсаций пузырька 0 в окрестности (a —большего из корней уравнения (2); b — меньшего из корней) построенные при = 4/3, W = 0, и различном давлении газа в пузырьке: 1 — p(0) = 0.3; 2 —0.4; 3 —0.5.

g n-й поверхностной моды M(2)(t) при больших временах n принимает вид |0| M(2)(t) n n sh t cos(nt) n |0| |0| + n ch t sin(nt) sh t ;

2 2h0hn ; n |0| - n ;

n a |0| |0|2 + 4n n n 2 + |0|2.

n a Это выражение можно переписать несколько иначе:

(2) Рис. 4. Зависимости безразмерных нелинейный поправок M(2)(t) An (t) sin nt + n(t) ;

n к амплитудам поверхностных пульсаций пузырька M(2)(t) n от безразмерного времени t, построенные при = 4/3, n |0| tg n(t) = th t p(0) - pV = -1.5, W = 0.1, p(0) = 0.4, h0 = 1/15, hk = 1/15, g n 2 k 15 и различных значений n. Номер у кривой совпадает с фазовым слагаемым n(t), практически неизменным с номером n поверхностной моды: a — кривая 1 — n = 2;

(2) при 0.5|0|t 1, и амплитудой An (t), быстро нараста- 2 —6; b — n = 15.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости (2) Численные значения амплитуды An (t) пузырька, претер- Пародинамический канал реализации неустойчивости певающего пародинамическую неустойчивость, рассчитанные пузырька имеет важное значение для понимания фипо (42), при = 4/3, W = 0, p(0) = 0.4, h0 = hn = 0.5 для g зических механизмов эволюции пузырей в жидкости, различных мод поверхностных осцилляций и при различных встречающихся в различных разделах технической физначениях безразмерного давления пара в пузырьке зики. В частности, такой тип неустойчивости имеет место при электроразряде в жидкости или пробое p(0) - pV = -0.5 p(0) - pV = -1.жидкого диэлектрика, поскольку в данном случае из-за n джоулева разогрева образуется полость, заполненная t = 0.2 t = 0.4 t = 0.2 t = 0.парами диэлектрика, давление которых может дости2 0.053 0.107 0.187 0.гать 107-108 N/m2 [18] (что в принятых выше обозна6 0.241 0.484 0.867 1.чениях соответствует p(0) - pV -(107-108) N/m2), и 10 0.493 0.990 1.779 3.следовательно, образовавшаяся полость неустойчива по 14 0.797 1.601 2.880 5.отношению к изменениям своей формы и должна про18 1.145 2.302 4.141 8.22 1.533 3.082 5.545 11.230 являть тенденцию к дроблению на части. Данный факт 26 1.957 3.934 7.080 14.хорошо согласуется с экспериментами по пробою жид30 2.414 4.852 8.733 17.кого диэлектрика, поскольку большинство авторов, на34 2.902 5.833 10.499 21.блюдавших распад полости, образовавшейся при пробое, 38 3.419 6.871 12.369 25.отмечают, что непосредственно перед распадом полость 42 3.963 7.065 14.339 29.начинает совершать капиллярные колебания, изменяя 46 4.534 9.111 16.403 33.свой объем и форму [19], причем настолько интенсивно, 50 5.129 10.308 18.558 37.что является источником радиоизлучения [20]. Также данный тип неустойчивости будет иметь место при кипении обычной жидкости или жидкости, помещенной в электрическое поле. Присутствие электрического поля, из интервала [0, 1, 2,..., m], то во втором порядке искажающего форму пузырька, должно привести к более малости у моды с максимальным номером m будет быстрому дроблению пузырьков в кипящей жидкости, самая большая амплитуда колебаний, и именно эта мода так как в спектре их колебаний будут присутствовать внесет определяющий вклад в формирование поверхноповерхностные моды большей амплитуды, чем при кипести неустойчивого пузырька (см. рис. 5, полученный нии без электрического поля, что также хорошо соглачисленно по (40)), что и подтверждает сказанное и суется с экспериментальными данными [21]. Данный тип совпадает с данными наблюдений [17].

неустойчивости важен для понимания процессов, проПостроенная теория имеет лишь второй порядок маисходящих при пузырьковой кавитации. Так, известно, лости по амплитуде начальной деформации и не дает что при неразвитой пузырьковой кавитации происходит возможности судить о финальной стадии неустойчиворазрушение поверхностей, движущихся в жидкости, в сти, однако из физических соображений следует, что окрестности которых образуются воздушные пузырьки, данный тип неустойчивости будет оканчиваться распачто связано с кавитационными микроструями, образуюдом пузырька на некоторое число малых пузырьков с щимися при коллапсе пузырька. Физический механизм последующей их стабилизацией или схлопыванием.

образования кавитационных микроструй, по всей видимости, обусловлен реализацией неустойчивости одной из нечетных поверхностных мод осцилляций пузырька, сопровождающейся интенсивным переносом энергии от пульсационной радиальной моды к поверхностной.

4c. Резонансный обмен энергией между пульсационной модой и модами поверхностных осцилляций Выражения (37)-(39) содержат в знаменателях выра2 жения 0 - 4k, которые при определенных условиях могут обращаться в нуль. Данный факт указывает на то, что пульсационная радиальная и поверхностные осцилляционные моды могут участвовать в нелинейном резонансном обмене энергией. В таком случае выражения (37)-(39) в окрестностях резонансов должны быть преобразованы в соответствии со стандартной маРис. 5. Контуры образующей пузырька, претерпевающего тематической процедурой с использованием параметра пародинамическую неустойчивость, в различные моменты безразмерного времени: 1 — t = 0; 2 —4.5; 3 — 5.27, построен- расстройки [22]. Не останавливаясь детально на полученые при = 0.3; остальные параметры те же, что и для рис. 4. нии равно пригодных разложений, описывающих форму 4 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 50 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова пузырька в резонансной ситуации, отметить лишь, что [10] Жаров А.Н., Григорьев А.И. Аналитический асимптотический расчет нелинейных осцилляций заряженного предварительные численные расчеты, проведенные при пузырька в вязкой среде. Препринт ИМИРАН. № 32.

0 = 2k, указывают на то, что резонанс между нулевой Ярославль, 2005. 17 с.

и поверхностной модой может наблюдаться практически [11] Benjamin T.B., Ellis A.T. // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 212.

для любого номера моды k 2. Помимо того, чем P. 65–80.

меньше номер поверхностной моды k, тем при меньшем [12] Feng Z.C., Leal L.G. // Phys. Fluids. 1995. Vol. A7. N 6.

значении заряда на пузырьке может наблюдаться данный P. 1325–1336.

резонанс. Интересно также отметить, что резонансное [13] Doinikov A.A. // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 501. P. 1–24.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.