WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10 01;03 Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости © А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поcтупило в Редакцию 23 января 2006 г.) Методом многих масштабов найдено аналитическое асимптотическое решение задачи о нелинейных радиальных пульсациях и поверхностных осцилляциях заряженного пузырька в идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости во втором порядке малости. Показано, что при нелинейных колебаниях может иметь место резонансный обмен энергией не только между поверхностными модами, но и между радиальной и одной из поверхностных мод. Обнаружен новый по сравнению с рэллевской неустойчивостью (к собственному заряду) вид неустойчивости по отношению к избыточному давлению пара в пузырьке, сопровождающийся передачей энергии из моды центрально-симметричных пульсаций сразу во все изначально возбужденные моды поверхностных осцилляций.

PACS: 47.55.DВведение пузырька между модами капиллярных колебаний и посвящено настоящая работа.

Микропузырьки в жидкости играют определяющую В нижеследующем изложении капиллярные колебароль в большом количестве физически и технически ния стенки пузырька будем разделять на радиальные значимых процессов от сонолюминесценции, электроцентрально-симметричные пульсации, происходящие с флотации и электроразряда в жидкостях до термоизменением объема пузырька, и поверхностные осеядерных реакций под действием высоких температур и симметричные осцилляции. Это удобно для физичедавлений, развивающихся при кавитационном схлопываского анализа, поскольку учитывает движения стенок нии пузырьков, в лазерной хирургии (микропузырьки, пузырька, различающиеся не только симметрией, но образуются в живой ткани под действием интенсивфизическими процессами, их вызывающими. Так, приного лазерного излучения и могут играть как полочиной возникновения радиальных пульсаций может служительную, так и отрицательную роль) (см., наприжить кратковременное выделение энергии лазерного мер, [1–7] и указанную там литературу). Но несмотря или электрического импульса, испарение пара внутрь на обилие теоретических и экспериментальных работ, пузырька и выделение в него растворенного в жидкости посвященных пузырькам в жидкостях, многие аспекты газа, а причиной возникновения поверхностных осцилзакономерностей реализации их осцилляций остались ляций, хотя бы и малой амплитуды, может служить невыясненными. Так, в нелинейных исследованиях оконуже тепловое движение молекул жидкости [15]. Полезно чательно не выяснен вопрос о закономерностях нелинейотметить, что при адиабатических пульсациях пузырька, ного переноса энергии между центрально-симметричной сопровождающихся испарением и конденсацией пара модой радиальных пульсаций и модами поверхностных окружающей жидкости в пузырьке, изменение агрегатноосцилляций, а также о закономерностях резонансного го состояния жидкости будет существенно сказываться обмена энергией между модами [8–10]. В целом ряде на изменение давления в нем.

публикаций [11–13] обсуждается идея трансляционной неустойчивости колеблющегося пузырька, при которой энергия из центрально-симметричной моды радиальных 1. Формулировка задачи пульсаций и мод поверхностных осцилляций перекачивается в трансляционную моду, вследствие чего пузырек Пусть в идеальной диэлектрической жидкости плотхаотически движется в объеме жидкости. Вызывает инности, коэффициентом поверхностного натяжения, терес и вопрос о закономерностях дробления растущего диэлектрической проницаемостью d, находящейся под за счет увеличения внутренного давления пузырька: как давлением p(0), образовался пузырек начального радивидно фотографий, приведенных в [14], на финальной уса r0, несущий на стенках электрический заряд Q, стадии увеличения размера пузырька на его поверхности содержащий совершенный газ с давлением p(0), подбыстро растут амплитуды высоких мод поверхностных g осцилляций, что и приводит к разделению одного пу- чиняющийся политропическому закону с показателем зырька на множество более мелких. Проблеме нелиней- политропы и насыщенный пар окружающей жидкости ного перераспределения энергии начальной деформации с давлением pV. На стенку такого пузырька будет 42 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова следует из линейной теории, радиальные движения стенок пузырька будут устойчивыми по отношению к бесконечно малым искажениям объема, если же будет иметь два корня, то радиальные движения стенок пузырька будут устойчивыми для пузырька, характеризующегося меньшим корнем (1) и неустойчивыми для пузырька, характеризующегося большим корнем уравнения (1).

Рассмотрим капиллярные колебания пузырька, находящегося в одном из равновесных состояний, т. е. при r = a. Поле скоростей течения жидкости в окрестности пузырька будем считать потенциальным с потенциалом (r,,t), поле давлений жидкости в окрестности пуРис. 1. Зависимости безразмерной функции (r) от безраззырька обозначим p(r,,t), а потенциалы электрическомерного радиуса пузырька r, в безразмерных переменных, в го поля в окрестности пузырька и на его поверхности — которых = = r0 = 1, построенные для = 4/3, W = 0, и (r,, t) и S(t) соответственно. Уравнение поверхности различных значениях безразмерного давления совершенного пузырька, совершающего радиальные центрально-симгаза в пузырьке: 1 — p(0) = 0.05; 2 —0.2; 3 —1.

g метричные пульсации и поверхностные осесимметричные осцилляции, в любой момент времени t запишем в сферической системе координат r,, в виде действовать давление F(r,, t) =r - a - R(t) - (, t)(2) r0 3 Q2 P(r) =-p(0) + pV + p(0) + -, g r 8dr4 r с начальным условием где r — текущий радиус пузырька. Если P(r) 0, t = 0 : R = h0P0(µ) =0; tR = 0;

пузырек будет увеличивать свой объем, если P(t) < 0 — уменьшать, при P(r) =0 пузырек будет находиться в = hmPm(µ); t = 0; µ = cos, (3) равновесии. Для исследования положений равновесия m стенок пузырька перепишем уравнение P(r) =0 в виде где R(t) — зависящая от времени амплитуда радиальных пульсаций пузырька; (, t) — искажение сферичеr0 3 Q2 p(0) - pV = p(0) + - (r) =const.

g ской поверхности пузырька осцилляциями поверхностr 8dr4 r ных мод, заданных в начальный момент времени и (1) возбужденными за счет нелинейного взаимодействия;

Уравнение (1), как видно из рис. 1, может иметь два, символ t означает частную производную по переменодин или ни одного корня. В частности, несложно ной t; — малый параметр, определенный отношевидеть, что при p(0) - pV 0 уравнение (1) имеет один нием амплитуды начальной деформации пузырька к корень r = a, если (p(0) - pV )min < p(0) - pV < 0, где его начальному радиусу r0; Pm(µ) —полином Лежан(p(0) - pV )min — некоторое наименьшее значение парадра порядка m; — множество индексов изначально метра p(0) - pV, то (1) будет иметь два решения, если же возбужденных мод; h0 и hm — константы, учитывающие p(0) - pV < (p(0) - pV )min, то ни одного. Используя (1) парциальный вклад m-й моды в формирование начальной несложно также найти формы пузырька, такие, что h0 + hm = O(a). В ниm r (a) r (r) = -a0, жеследующих построениях принимается, что амплитуда r=a радиальных пульсаций R(t) и амплитуды поверхностных где 0 — частота радиальных центрально-симметричных осцилляций (, t) являются величинами одного порядка пульсаций пузырька, находящегося в равновесном состомалости.

янии с радиусом r = a, определяющаяся соотношением Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряженного пузырька, форма 3 r0 3 Q2 0 = p(0) + -.

которого определена выше, состоит из уравнения Лапa2 g a 2da6 aласа для потенциалов поля скоростей течения жидкоИз этого соотношения и рис. 1 несложно видеть, сти (r, t), электрического потенциала (r, t) что если уравнение (1) имеет один корень, то для = 0; = 0;

корня r (a) < 0, а значит, 0 > 0, если (1) имеет два корня, то для меньшего корня r (a) < 0, а для и условий большего — r (a) > 0, и следовательно для меньшего 2 корня 0 > 0, а для большего 0 < 0 (r — знак r + : 0; 0;

дифференцирования по радиальной координате r). Таким образом, если уравнение (1) имеет один корень, то, как r = a + R(t) +(, t) : = S(t);

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости Из системы (6) найдем n dS = -4Q;

Q Q (0) S = r,, | : r = a + R + ; 0 ; 0 2 ; (0) = ; S =.

r a r = a + R(t) +(, t) : tF +()F = 0;

2b. Задача первого порядка малости - p + pV + pg + pQ = p = 0; (4) Приравняв коэффициенты при 1, выделим задачу n — единичный вектор внешней нормали к поверхности первого порядка малости пузырька; p, p, PQ, pg — давления жидкости, сил поверхностного натяжения, электрического поля собствен (1) = 0; (1) = 0; (7) ного заряда, газа в пузырьке, которые определяются выражениями r + : (1) 0; (1) 0; (8) t = 0 : R(1) = h0P0(µ); T R(1) = 0;

p = p(0) - t + ()2 ; p = (n);

(1) = hmPm(µ); T (1) = 0; (9) 1 V0 m pQ = ()2; pg = p(0), g 8d V (1) r = a : (10 + R(1) + (1) r(0) = S ; (10) где V и V0 — начальный и текущий объем пузырька.

ar(1) + R(1)+ (1) arr(0)+ 2r(0) dµ = 0;

2. Ход решения -(11) Решение задачи о капиллярных колебаниях пузырька в идеальной жидкости (2)-(4) проведем методом многих -T R(1) - T (1) + r(1) = 0; (12) 0 масштабов, ввoдя два различных временных масштаба r0 3 Tm = mt; m = 0, 1 и представив искомые величины T (1) - pg0 R(1) a a задачи в виде разложений + r(0) r(1) + R(1) + (1) rr(0) 4d (r,, t) = m(m)(r,, T0, T1) +O(3);

m=+ R(1) + (2 + )(1) = 0. (13) 2 a2 a(m) S(r, t) = mS (r, T0, T1) +O(3);

Решения уравнений (7), с учетом условий ограниченm=ности (8), имеют вид (m) + (r,, t) = mS (r,, T0, T1) +O(3);

D(1)(T0T1) n (1)(r,, T0, T1) = Pn(µ); (14) m=rn+n=R(t) = mR(m)(T0, T1) +O(3);

+ (1) Fn (T0T1) m=(1)(r,, T0, T1) = Pn(µ). (15) rn+n=(, t) = m(m)(, T0, T1) +O(3); (5) Величину (1)(, T0, T1), определяющую форму поверхm=ности пузырька, также разложим в ряд по полиномам Лежандра 2a. Задача нулевого порядка малости Подставив выражения (5) в систему (2)-(4), и при+ равняв коэффициенты при 0, выделим задачу нулевого (1)(, T0, T1) = M(1)(T0, T1)Pn(µ). (16) n порядка малости n= (0) = 0;

Подставим выражения (15), (16) в условия (10), (11) r + : (0) 0;

и, учитывая ортогональность полиномов Лежандра, найдем (0) r = a : (0) = S ; a2r(0)dµ = -2Q;

(1) (1) F0 = 0; Fn = an-1QM(1); n 1;

n -r0 3 Q2 2 Q (1) -p(0) + pV + p(0) + - = 0. (6) S = - R(1). (17) g a 8da4 a aЖурнал технической физики, 2006, том 76, вып. 44 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова В свою очередь подстановка (14)-(16) в (12), (13), с учетом (17), приводит к системе уравнений a2r(2) + a R(1) + (1) arr(1) + 2r(1) -T D(1) 0 D(1) = -a2T R(1); - 0R(1) = 0;

0 + a R(2) + (2) arr(0) + 2r(0) a an++ R(1) + (1) a2rrr(0) + 2arr(0) + r(0) D(1) = - T M(1);

n n (n + 1) T D(1) n 0 - (1)(1) d(µ) =0; (26) (n + 1) - 0M(1) = 0; n 1, (18) n an+где n — частоты поверхностных осцилляций заряжен-T R(2) - T R(1) - T (2) + T (1) + r(2) ного пузырька 0 1 0 r0 + R(1) + (1) rr(1) - (1)(1) = 0; (27) n = (n + 1)(n - 1) (n + 2) - W ;

aa3 a Q2 W. T (2) + T (1) + r(1) + (1) 0 2 a4dr Решение системы (18) можно записать в виде M(1) 3 r0 3 3 - 1 k - p(0) R(2)- R(1) + g a a 2a a 2k + R(1)(T0, T1) =C(1)(T1) exp(i0T0) +C(1)(T1) exp(-i0T0); k 0 M(1)(T0T1) =C(1)(T1) +B(1)(T1)T0; (19) + R(2) + (2 + )(2) 1 1 a2 aM(1)(T0, T1) =C(1)(T1) exp(inT0) n n - R(1) + (1) R(1) +(1 + )(1) a+ C(1)(T1) exp(-inT0); n 2, (20) n где C(1)(T1), C(1)(T1), B(1)(T1), C(1)(T1) — комплексные n 0 1 1 + 2 R(2) + (2) rr(0)r(0) 8d постоянные, удовлетворяющие, согласно (9), начальным условиям + R(1) + (1) rr(0) + rrr(0)r(0) C(1)(0) +C(1)(0) =h0; C(1)(0) - C(1)(0) =0;

0 0 0 + (1) + r(1) + 2r(2)r(0) aC(1)(0) =h1; B(1)(0) =0;

1 C(1)(0) +C(1)(0) =hn; C(1)(0) - C(1)(0) =0; n 2.

n n n n + 2 R(1) + (1) rr(0)r(1) + rr(1)r(0) = 0.

(21) (28) Черта над символом означает взятие комплексного сопряжения. Решения системы (22) с учетом условий ограниченности (23) можно записать в виде 3. Задача второго порядка малости + D(2) n (2)(r,, T0, T1) = Pn(µ); (29) rn+Данная задача получается после подстановки выраn=жений (5) в систему (2)-(4) и выделения слагаемых, содержащих 2, + Fn(2) (2)(r,, T0, T1) = Pn(µ). (30) (2) = 0; (2) = 0; (22) rn+n=r + : (2) 0; (2) 0; (23) Величину (2)(, T0, T1), определяющую поправку второt = 0 : R(2) = 0; T R(2) + T R(1) = 0;

го порядка малости к форме образующей осесимметрич0 ного рельефа пузырька, разложим в ряд по полиномам (2) = 0; T (2) + T (1) = 0; (24) 0 Лежандра r = a : (2) + R(2)+ (2) r(0) + R(1) + (1) rr(0) + (2)(, T0, T1) = M(2)Pn(µ). (31) (2) n + R(1) + (1) r(1) = S ; (25) n=Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные капиллярные колебания заряженного пузырька в идеальной диэлектрической жидкости Подставим выражения (15), (16), (30), (31) в уравнеT T0M(2) = -2T T1M(1) - T R(1)T M(1) 1 1 0 0 0 a ния (25), (26) и, учитывая (17), найдем 62 + + M(1)M(1) - T M(1)T M(1) 2 1 k Q 1 1 2 1 0 (2) 5a 5a S = - R(2) - R(1) + M(1) ;

k a2 a a 2k + k=2 + + + M(1)M(1) + T M(1)T M(1) ;

mk1 m km1 k m k 0 k=2 m=F0(2) = 0;

T T0M(2) + nM(2) = -2T T1M(1) - T R(1)T M(1) n n n n 0 0 0 1 a Fn(2) = Qan-1 M(2) + R(1)(n - 1)M(1) n n a + R(1)M(1) + M(1) + T M(1) n n 11n 1 11n + + + + mKkmnM(1)M(1) ; n 1, (32) k m a + ( + )M(1)M(1) 1kn k1n k=1 m=1 1 k k=где Kkmn =(Cn0 )2, а Cn0 — коэффициент Клебша- k0m0 k0m+( + )T M(1)T M(1) Гордона.

1kn k1n 1 k 0 Затем из (27) на основе выражений (14), (16), (29), + + (31) с учетом (18) найдем + M(1)M(1) + T M(1)T M(1) ;

kmn m kmn k km k 0 k=2 m=(35) D(2) = - a2 T R(2) + T R(1) + R(1)T R(1) 0 0 1 a 1 3(3 + 1) r0 3 5Q2 = p(0) + - ;

g + + a3 2 a 4da4 a 1 + T M(1)M(1) ;

k m 1 r0 a 2k + k=1 m=1 k = - 3p(0) (2k + 1)a3 g a an+Q2 D(2) = - T M(2) + T M(1) +(7k - 3) - (k2 + k - 1) ;

n n n 0 n + 8da4 a 2 1 1 + M(1)T R(1) + (n + 2)R(1)T M(1) = (n + 1)(k2 + k - 1)Kkmn n n kmn 0 a a a a+ + 1 kmn kmn 2 Q+ (k + 2)Kkmn - M(1)T M(1) ;

- (n -k -1)Kkmn + k + (n+1) m k a k + k + 1 8dak=1 m= n 1, (33) 3 - 2k2 + m + k(2n + m - 7) Kkmn + kmn ;

где kmn = -Cn0 Cn0 k(k + 1)m(m + 1).

k0m0 k(-1)m1 1 n + 1 n + 1 kmn = - k +2 Kkmn + 1+ ;

kmn Используя выражения (14)-(18), (29)-(33) в (28) a 2 2(m + 1) k +получим дифференциальные уравнения для отыскания 1 n2-1 5Q2 поправок второго порядка малости к амплитудам ради = n - (n-1)0 - - 2(n+2).

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.