WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

конфигурации зеркал начинающаяся слева траектория Преобразование ренормализационной группы для клавыходит, скажем, на верхнюю связь, то легко видеть, что стера с b = 3 (при этом число узлов n = 13) — траектория, начинающаяся справа, обязательно привесм. рис. 3, b — находится столь же просто, но имеет дет вниз. Поэтому преобразование ренормализационной несколько более громоздкий вид группы строится однозначно: надо определить, с какой вероятностью p траектория, начинающаяся справа, приp (p) =3p3(1 -p)10 + 38p4(1 - p)9 + 209p5(1 - p)ведет наверх, если соответствующая вероятность для + 627p6(1 - p)7 + 1089p7(1 - p)отдельных узлов равна p или 1 - p в зависимости от номера узла решетки (см. формулировку модели в начале + 1078p8(1 - p)5 + 677p9(1 - p)раздела). При этом, чтобы найти p, надо перебрать всего 2n возможных конфигураций зеркал.

+ 283p10(1 - p)3 + 78p11(1 - p)Простой перебор конфигураций с учетом их весов + 13p12(1 - p) +p13. (10) приводит для кластера с b = 2 (рис. 3, a) к следующему преобразованию вероятности p:

Теперь, используя соотношения (9) с b = 3 и (10), легко найти более точное значение критического индекса p (p) =2p2(1-p)3 +8p3(1-p)2 + 5p4(1-p)+p5. (8) корреляционной длины — = 1.3797.

Кстати, преобразование (8) имеет такой же вид, что Число конфигураций, которые приходится перебирать, и у преобразования ренормализационной группы для для кластеров с b = 3 и 4 уже довольно велико, поэтому простейшего самодуального кластера для обычного про- перебор удобнее производить с помощью компьютера, текания в задаче связей [25–27]. Оказывается, такое тем более что алгоритм отбора конфигураций, дающих совпадение имеет место лишь в случае b = 2. вклад в p для нашей задачи, оказывается крайне проИз-за симметричности используемых кластеров, ре- стым.

нормгрупповые преобразования приводят к точному зна- Пусть центр кластера имеет координаты (0,0). Отчению порога протекания. Действительно, фиксирован- бираются такие конфигурации зеркал, в которых траекная точка преобразования p (pc) = pc в точности тория частицы, начинающаяся слева — в точке (-b, 0), равняется одной второй — pc = 1/2. выходит наверх — в точку (0, b). Координаты узла, в Физика твердого тела, 1998, том 40, № Классический аналог модели Чалкера–Коддингтона которой частица попадет на k-м шаге, обозначим как ресечение этой кривой с осью ординат и даст искомое (i(k), j(k)). Введем для каждого из узлов кластера экстраполированное значение (b ).

величину d(i, j) =±1, которая равна +1, если зеркало в Ясно, что результат экстраполяции существенно заузле имеет наклон +/4 к горизонтали, и равна -1, если висит от того, какой показатель степени выбрать.

зеркало наклонено под углом -/4. Во ”внешних” узлах Например, для = 1 получается (b ) = 1.340.

используемого кластера (типа узлов с координатами Оказывается, что самое близкое к 4/3 решение (-b + 1, ±1), (b - 1, ±1) и т. п. — см. рис. 3) мы (b ) = 1.335 получается, если использовать также поместим зеркала, наклонив их так, чтобы частица значение = 1.335. Разумеется, это следует считать оставалась внутри кластера.

просто случайным совпадением. По крайней мере найти Нетрудно убедиться, что координаты частицы после объяснение ему мы не смогли. В любом случае эксочередного шага должны быть связаны с ее положением траполяция приводит к значениям, совсем близким к в предыдущие ”моменты времени” следующими соотно- значению индекса корреляционной длины для обычного шениями:

протекания, что подтверждает наши предположения. Заметим, что ранее индекс в подобной задаче оценивался i(k + 1) =i(k) +d i(k), j(k) j(k) - j(k - 1), с помощью процедуры, основанной на методе матрицы переноса, и было получено значение = 1.29 ± 0.04 [3].

j(k + 1) = j(k) +d i(k), j(k) i(k) - i(k - 1). (11) В заключение этого раздела кратко упомянем о другой модели с зеркалами в узлах, которая, казалось бы, близка Поэтому рассчитать всю траекторию частицы для каждо- к рассматриваемой. В этой модели для каждого из узлов го отдельного варианта расположения зеркал и отобрать решетки вероятность того, что зеркало имеет наклон нужные конфигурации не представляет особого труда.

+/4 есть p, и вероятность того, что наклон зеркала Для кластера с b = 4, показанного на рис. 3, c, в -/4 равна 1 -p. В таком случае при p = 0 частицы результате такого простого перебора 235 конфигураций или свет могут распространяться по одной диагонали мы сразу же получаем соотношение решетки и при p = 1 — по другой диагонали. Легко проверить, однако, что при сколь угодно малых значениp (p) =4p4(1- p)21 + 102p5(1- p)20 + 1230p6(1- p)19 ях p или 1 - p свет может распространяться далеко уже по обеим диагоналям решетки. Действительно, в этом + 9272p7(1 - p)18 + 48718p8(1 - p)случае в решетку размера N N свет может проникнуть + 188512p9(1 - p)16 + 553496p10(1 - p)по одной диагонали, естественно, на расстояние порядка N, а по другой — на расстояние порядка pN. Таким + 1252416p11(1 - p)14 + 2198498p12(1 - p)образом, в этой модели, в отличие от обсуждаемой + 3001802p13(1 - p)12 + 3204984p14(1 - p)11 в работе, отсутствуют экспоненциальные корреляции и традиционный порог протекания.

+ 2715264p15(1 - p)10 + 1854463p16(1 - p)+ 1032857p17(1 - p)8 + 471428p18(1 - p)3. Функции распределения для сопротивлений и проводимостей + 175870p19(1 - p)6 + 53028p20(1 - p)+ 12646p21(1 - p)4 + 2300p22(1 - p)Обсудим теперь, как ведут себя сопротивление и проводимость нашей модели в критической области.

+ 300p23(1 - p)2 + 25p24(1 - p) +p25, (12) Какие для них получаются функции распределения в из которого и формулы (9) находим следующее зна- точке p = 1/2 в случае конечного образца Чему равна фрактальная размерность бесконечной траектории чение критического индекса корреляционной длины:

при p = 1/2 = 1.3627.

Видно, что значения индекса, полученные с помо- В принципе задача нахождения этих функций расщью ренормгрупповой процедуры с b, равным последова- пределения является очень сложной. Надо построить тельно 2, 3 и 4, приближаются к 4/3 — величине индекса преобразование ренормализационной группы для соот для обычного протекания в двумерии. Поскольку эта ветствующих функций распределения и найти их стасходимость монотонна, имеет смысл попытаться экстра- ционарную точку, которая и представляет собой искополировать полученную серию к b [25–27]. Как мую универсальную функцию распределения. Фактичевсегда, процедура экстраполяции является совершенно ски требуется решить сложное нелинейное интегральне строгой и неоднозначной и может быть произведена, ное уравнение. Сделать это можно только приближеннапример, следующим образом. Отложим полученные но, и используемая процедура обычно крайне трудозначения индекса в зависимости от обратных степеней емка (см., например, [7]). Аналитически подобные b-, причем показатель степени > 0, в принципе, проблемы удается решить только в одномерной ситуапроизволен. Построим кривую, описываемую квадрат- ции или с помощью достаточно искусственного метода ным многочленом, проходящую через такие точки. Пе- Мигдала–Каданова [11].

Физика твердого тела, 1998, том 40, № 46 С.Н. Дороговцев Мы не будем пытаться использовать здесь эти изощренные процедуры, а воспользуемся крайне простым подходом, впервые предложенным для таких задач Киркпатриком [8], который тем не менее приводит к вполне удовлетворительным ответам для критических индексов.

(Подчеркнем, однако, что данный подход заведомо не может привести к точным результатам.) В нашем случае он выглядит следующим образом. Функцию распределения по длинам траекторий, проходящим, например, слева наверх (рис. 3), до преобразования ренормализационной группы заменим на дельта-функцию, то есть будем считать, что при b = 1 функция распределения имеет вид: Q0(l) =(l -2) (длина связи квадратной решетки или, что в нашем случае то же самое, ее сопротивление, Рис. 4. Функция распределения сопротивлений Q(R), получасчитаются единичными).

ющаяся после преобразования ренормализационной группы с Определим, в какую функцию распределения по длиb = 4 (см. рис. 3, c). Дискретные значения в точках R = 2b+4k, нам таких путей она перейдет после ренормгруппового k = 0, 1, 2,..., b2-b соединены линией.

преобразования в точке порога протекания, то есть там, где она имеет универсальный вид. (Ясно, что точную функцию распределения мы можем найти таким образом лишь при b.) Чтобы найти индексы масштабного преобразования — см. (4) и (5), полученную функцию распределения заменяют опять-таки на дельта-функцию.

Вопрос, в каком именно месте лучше расположить эту дельта-функцию, мы обсудим несколько ниже. Обычно строят дельта-функцию в точке среднего сопротивления или средней проводимости. (Поскольку траектории не разветвляются и не пересекаются, длина такой траектории l R играет роль сопротивления, а ее обратное значение l-1 — проводимости.) Чтобы найти искомый критический индекс, остается сравнить эти значения с соответствующей величиной до ренормгруппового преРис. 5. Функция распределения проводимостей P(), получаобразования — 2 или 1/2, соответственно в первом или ющаяся после преобразования ренормализационной группы с во втором случаях.

b = 4 (см. рис. 3, c). Обращение в нуль функции распределения Проведем описанную процедуру последовательно для при значении проводимости = [2b(2b - 1)]-1 = 1/56 — ренормгрупповых преобразований с масштабными коследствие конечности использованного кластера.

эффициентами 2, 3 и 4 — см. кластеры на рис. 3.

При переборе конфигураций, описанном в предыдущем разделе (теперь мы сразу положим p = 1/2), для каждой конфигурации вычислим длину траектории, близкими друг к другу. Поэтому, к примеру, по виду ведущей, например, слева наверх. Получающиеся при распределения проводимости P (, b = 4), полученного этом функции распределения для длин таких путей для кластера со множителем масштабного преобразо(т. е. сопротивлений кластеров) и проводимостей имеют вания b = 4 (рис. 5), можно представить себе, как вид типа распределений, показанных на рис. 4 и 5 — выглядит универсальная функция распределения, ввераспределения, полученные после действия на дельта- денная в (5). Из этого соотношения непосредственфункцию преобразования ренормализационной группы с но следует, что универсальная функция распределения масштабным множителем b = 4. f (x) = P(4-dhx, b = 4). Разумеется, использованная Собственно говоря, распределение проводимостей процедура не позволяет определить вид функции распреQ(R) получается в виде набора b2 - b + 1 дискретных деления при малых и больших значениях проводимости.

значений Q(R)R,(2b+4k), k = 0, 1, 2,..., b2-b, располо- Чтобы найти критический индекс dh, введенный в женных с равным шагом 4 от R = 2b до R = 2b(2b-1) — соотношении (5), придется, как было описано выше, минимальная и максимальная возможные длины траек- заменить вычисленные таким образом распределения тории в кластере. По этому распределению после сгла- на дельта-функции, сосредоточенные вокруг, например, живания легко построить распределение проводимостей среднего сопротивления или средней проводимости. ЯсP() =Q(-1)/2. но, что так как распределение проводимостей (рис. 5) Уже после применения преобразований с небольши- выглядит асимметричней распределения сопротивлений ми b = 3 и 4 найденные распределения оказываются (рис. 4), решение, полученное для индекса первым споФизика твердого тела, 1998, том 40, № Классический аналог модели Чалкера–Коддингтона собом, должно оказаться существенно более точным, круга. Тем не менее, критические индексы получены чем полученное вторым способом. В первом случае, с удивительно высокой точностью, которую трудно довоспользовавшись (5) и требованием универсальности стичь при исследовании обычной задачи протекания.

вида функции распределения в точке порога протекания, Можно указать на две причины столь высокой точнонетрудно получить следующее общее соотношение для сти. Во-первых, пути, по которым может двигаться частивычисления индекса dh: ца, имеют в рассматриваемой ситуации очень простую структуру — они не могут сходиться, разветвляться и R r dh = ln ln b. (13) пересекаться друг с другом. Это значительно упрощает ренорм-групповую процедуру. Во-вторых, удачно выбраПри вычислении же искомого индекса по средней про- ны кластеры для преобразований ренормализационной водимости следует использовать несколько иное соотно- группы. Заметим, что кластер, показанный на рис. 3, a, шение был использован в работе [7] при исследовании модели Чалкера–Коддингтона.

dh = ln ln b. (14) 1/Автор благодарен А.В. Гольцеву, С.А. Ктиторову, Верхние индексы r и у dh указывают, каким из двух Е.К. Кудинову, А.М. Монахову, А.Н. Самухину, Б.Н. Шаспособов производится вычисление. Подчеркнем, что мы лаеву и Ю.А. Фирсову за многочисленные и полезные фактически вычисляем фрактальную размерность нашей обсуждения.

траектории в пороге протекания.

Работа частично поддержана грантом Российского В результате вычисления критического индекса по фонда фундаментальных исследований.

формулам (13) и (14) получим сходящиеся серии r dh = 1.7549, 1.7485, 1.7454 и dh = 1.4764, 1.5289, 1.для кластеров с b = 2, b = 3 и b =4, соответственно.

Список литературы Экстраполяции, построенные с помощью таких же экстраполирующих функций, что и в предыдущем разделе, [1] J.T. Chalker, P.D. Coddington. J. Phys. C21, 2665 (1988).

r приводят к следующим значениям: dh(b ) =1.[2] Г.В. Мильников, И.М. Соколов. Письма в ЖЭТФ 48, и dh (b ) = 1.655. Как мы отмечали выше, (1988).

[3] D.-H. Lee, Z. Wang, S. Kivelson. Phys. Rev. Lett. 70, первое значение должно быть существенно ближе к (1993).

истинному, чем второе. Это позволяет представить себе, [4] D.H. Cobden, E. Kogan. Phys. Rev. B54, R17316 (1996).

с какой погрешностью получен ответ. Итак, найденное [5] S. Cho, M.P.A. Fisher. Phys. Rev. B55, 1637 (1997).

приближенное значение индекса (1.738) очень близко к [6] Z. Wang, B. Jovanovi, D.-H. Lee. Phys. Rev. Lett. 77, величине фрактальной размерности ”скорлупы” обычно(1996).

го протекательного кластера dh = 1 + 1/ = 7/4. Это, [7] A.G. Galstyan, M.E. Raikh. Phys. Rev. B55, in press (1997).

собственно, и подтверждает наши предположения.

[8] S. Kirkpatrick. Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).

Таким образом, несмотря на свою кажущуюся про[9] T. Nakayama, K. Yakubo, R.L. Orbach. Rev. Mod. Phys. 66, стоту, модель Чалкера-Коддингтона все-таки достаточно 381 (1994).

сложна в силу сложности интерференции, которая сопро- [10] C. Tsallis, A.C.N. de Magalhes. Phys. Rep. 268, 305 (1996).

вождает процесс распространения квантовой частицы в [11] A.N. Samukhin, V.N. Prigodin, L. Jastrabik. Phys. Rev. Lett.

78, 5276 (1997).

системе с большим числом центров рассеяния. Природа [12] D.S. Fisher, P.A. Lee. Phys. Rev. B23, 6851 (1981).

квантовой локализации в ней не изучена достаточно [13] M.B. Isichenko. Rev. Mod. Phys. 64, 961 (1992).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.