WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Физика твердого тела, 1998, том 40, № 1 Классический аналог модели Чалкера–Коддингтона © С.Н. Дороговцев Физико-технический институт им.А.Ф.Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 30 мая 1997 г.) Описан классический аналог модели Чалкера–Коддингтона — решеточной модели для целочисленного квантового эффекта Холла, в которой в последнее время интенсивно исследуются мезоскопические флуктуации кондактанса в области перехода между плато. Показано, что соответствующей классической проблемой является задача о протекании тока по связям, огибающим кластер протекания на двумерной решетке, — по его так называемой ”скорлупе”. Показано, что, в отличие от стандартных задач о протекании, в скейлинговые зависимости для проводимости, так же как и в функцию распределения по проводимости конечных образцов, в обсуждаемой задаче входит только критический индекс корреляционной длины. Как известно, в подобных зависимостях для целочисленного квантового эффекта Холла также фигурирует лишь критический индекс длины локализации. В результате сделан вывод, о что данная принципиальная особенность квантового эффекта Холла определяется не столько его квантовой природой, сколько геометрией задачи.

Модель Чалкера–Коддингтона [1,2] — сейчас самая пороге протекания также содержит динамический критипопулярная решеточная модель целочисленного кванто- ческий индекс вого эффекта Холла. Она позволяет достаточно просто P(, L) = f (Lt/). (3) и наглядно описать так называемый переход между плато (plateau transition) в квантовом эффекте Холла при На первый взгляд такая существенная разница между нулевой температуре [3]. В последнее время непосредквантовой и классической задачами не должна вызывать ственно в точке этого перехода наблюдались сильные особого удивления. Действительно, в квантовой задаче флуктуации кондактанса в мезоскопических образцах [4].

кондактанс выражается через матрицу прохождения [12], Функции распределения кондактанса в такой ситуации а критический индекс длины локализации нельзя назвать и поведение кондактанса малых образцов в окрестности ”статическим”, в то время как в классических задачах перехода между плато удалось исследовать в рамках протекания разделение критических индексов на ”статимодели Чалкера–Коддингтона как численно [5,6], так ческие” и ”динамические” имеет принципиальный хараки с помощью метода ренормализационной группы в тер (см., например, подробное обсуждение в обзоре [13]).

реальном пространстве [7].

Следует ли из этого, что между квантовой и классиОказалось, что средний кондактанс малого образца ческой задачами в этом смысле нет ничего общего связан с его линейными размерами L и отклонением от В настоящей работе мы докажем, что это не так. Мы точки перехода следующей скейлинговой зависимопокажем, что классическим аналогом модели Чалкера– стью, в которую входит только критический индекс Коддингтона является задача о протекании, в которой, длины локализации в отличие от стандартной, в скейлинговые выражения для проводимости и функцию распределения сопроти G = g(L1/), (1) влений в пороге протекания входят только статические критические индексы, как обычно, определяемые видом где g(x) — скейлинговая функция (смысл в модели протекательного кластера, а именно Чалкера–Коддингтона мы объясним позднее). Функция распределения кондактансов P(G) в точке перехода ме = L-dhs L1/(p - pc) (4) жду плато от размера L вообще не зависит.

Казалось бы, проводимость классических протекатель- и P(, L) = f (Ldh). (5) ных систем вблизи порога протекания ведет себя совершенно иначе. Скажем, в задаче о протекании по связям Здесь dh, как мы увидим, — фрактальная размерность так в скейлинговую зависимость усредненной проводимости называемой скорлупы обычного кластера протекания, образцов размера L от отклонения концентрации провото есть статический критический индекс. В двумерной дящих связей p от порога протекания pc — задаче, как известно, эта величина непосредственно выражается через критический индекс корреляционной (p, L) =L-t/s L1/(p - pc) (2) длины: dh = 1-1/ [14].

Таким образом, мы убедимся, что проводимость клас— входят как ”статический” индекс корреляционной сического аналога модели Чалкера-Коддингтона демондлины, так и ”динамический” критический индекс прово- стрирует общие черты с кондактансом квантовой задачи:

димости t (s(x) — скейлинговая функция) [8–11]. Общее в соответствующие скейлинговые формулы входит тольвыражение для функции распределения проводимостей в ко индекс. При этом мы не станем приводить строгих 42 С.Н. Дороговцев доказательств, а ограничимся весьма поучительным и простым вычислением критических индексов классической задачи.

1. Модель Чалкера–Коддингтона и спиральные случайные блуждания Прежде всего напомним, что такое модель Чалкера– Коддингтона [1]. Квантовая частица (электрон) может пролетать по связям квадратной решетки по направлениям, показанным на рис. 1. После рассеяния на узле решетки частица может провернуть либо налево с амплитудой вероятности r, либо направо — с амплитудой вероРис. 2. Узлы решетки, в которые может попасть частица из ятности t. При этом амплитуды вероятности рассеяния r узла A за два прыжка.

ипрохожденияt связаны между собой стандартным образом: |r|2 + |t|2 = 1. (Чтобы исключить термины ”правых и левых поворотов”, можно ввести две соответствующим Очевидно, что квантовой модели Чалкера– образом подобранные матрицы рассеяния для различных Коддингтона непосредственно соответствует следующая узлов решетки: одну матрицу рассеяния для узлов, сумма простая классическая задача о случайных блужданиях на координат которых i + j четное число, и вторую, связанквадратной решетке. Пусть классическая частица после ную с ней преобразованием поворота на угол /2, — очередного скачка с узла решетки на его ближайшего для узлов, сумма координат которых нечетна [1,5,15].) соседа может прыгнуть налево (на ближайший узел) При движении по связям набираются случайные фазы, по с вероятностью p и направо — с вероятностью 1-p.

которым в конце, при вычислении конкретных величин, Повторный прыжок в прежнем направлении запрещен.

следует произвести усреднение. Ограничение возможных Подобные случайные блуждания относятся к классу направлений движения моделирует магнитное поле и спиральных [16].

значительно упрощает задачу о квантовой локализации.

Если задать направление первого прыжка частицы, то На рассматриваемой квадратной решетке делокализация все ее дальнейшие возможные перемещения по решетке имеет место при |t|2 = 1/2 — точка перехода меобразуют ту же самую картину, что используется в жду плато в целочисленном квантовом эффекте Холла.

модели Чалкера–Коддингтона — см. рис. 1. (Строго Параметр отклонения от этой критической точки, говоря, в зависимости от того, в горизонтальном или фигурирующий в формуле (1), можно выразить через |t| в вертикальном направлении будет происходить первый следующим образом: |t|-1/ 2.

прыжок, получаются две картины — одна отличается от другой противоположным направлением соответствующих связей.) Ясно, что такие случайные блуждания, вообще говоря, являются немарковским процессом, поскольку направление последующего прыжка зависит от предыдущего. В двух случаях, однако, этот процесс сводится к марковскому. Если p 1, частица почти все время движется вокруг отдельных плакетов, лишь изредка совершая прыжки на соседние плакеты. Фактически происходит обычное случайное блуждание между плакетами с вероятностью переместиться в одну из четырех сторон после каждого прыжка, равной p/4. Пусть линейный размер ячейки решетки — a, а время между прыжками —. Соседние плакеты, между которыми происходит блуждание частиц, расположены по диагонали (рис. 1), так что расстояние между ними равно 2a. Воспользовавшись стандартными соотношениями [17], получим следующее выражение для коэффициента диффузии в этом режиме:

Рис. 1. Решетка с направленными связями, используемая в модели Чалкера–Коддингтона и в рассматриваемой модели. 2 a Стрелки на связях указывают направления, в которых может 2a2p D = 4p =. (6) двигаться частица.

Физика твердого тела, 1998, том 40, № Классический аналог модели Чалкера–Коддингтона Во втором таком случае вероятности прыжков налево плакеты против часовой стрелки, а при p = 1 —по и направо равны — p = 1/2. Заметим, что при этом часовой стрелке. Сам вид траекторий и характеристики независимо от направления предыдущего прыжка части- критического поведения, разумеется, не меняются.

ца через два прыжка с равной вероятностью попадет Таким образом, сформулирована модель, в которой в один из четырех отмеченных на рис. 2 узлов. Таким квантовая интерференция между различными траекториобразом, за два прыжка частица смещается по диагонали ями движения частицы в принципе исключена благодаря элементарной ячейки квадратной решетки опять-таки на жесткой фиксации направления рассеяния на каждом из 2a для каждого из четырех возможных направлений с узлов. Вместо квантовой матрицы рассеяния в узлах вероятностью 1/4. Тогда решетки — классические зеркала, которые однозначно (для данной конфигурации зеркал) определяют, куда частица должна отразиться — направо или налево. Вме2a 1 aсто усреднения по набегам фазы квантовой частицы в D = 4 · =. (7) 4/2 4 модели Чалкера-Коддингтона, в нашем случае должно производиться усреднение по различным конфигурациям В результате как и можно было ожидать, в классичезеркал. Далее, несмотря на естественные различия меской задаче, непосредственно соответствующей модели жду квантовой и классической задачами, мы обнаружим Чалкера–Коддингтона, нет даже намека на критические у них общие черты.

особенности, имеющие место при переходе между плато Надо отметить, что гораздо более сложная модель в квантовом эффекте Холла. Чтобы обнаружить нечто протекания, в которую была введена гиротропия для подобное в классических задачах нам придется обратитьописания влияния сильного магнитного поля, ранее была ся к задачам о протекании [18].

предложена в работе [19] — так называемое гиротропное протекание.

2. Модель Чалкера–Коддингтона Каким образом рассматриваемая задача может быть связана с обычной проблемой протекания Приведем и задача о протекании сначала некоторые общие соображения, а затем проРассмотрим следующую задачу о протекании. В уз- верим их непосредственным вычислением критических лах квадратной решетки с единичной решеточной по- индексов. При вероятности p, отличной от нуля или стоянной находятся отражающие с обеих сторон зер- единицы, система разбита на множество кластеров двух кала. Зеркала наклонены под углом +/4 или -/4 типов. В первом из них в узлах решетки (i, j) находятся к горизонтали, так что траектория движения частицы зеркала под наклоном (-1)i+ j/4 к горизонтали, в узлах по связям однозначно задается расположением зеркал. второго типа кластеров — зеркала под наклоном — Координаты узлов решетки обозначим (i, j). Пусть (-1)i+ j/4 к горизонтали. При p 1/2 возможно вероятность того, что угол наклона зеркала в данном обычное ”протекание” по областям первого типа, при узле равен (-1)i+ j/4, есть p, а вероятность того, что p 1/2 — по областям второго типа. Нетрудно убезеркало наклонено под углом — (-1)i+ j/4, равна 1-p диться в том, что траектории движения частицы в нашей (рис. 3). задаче проходят по границам между кластеров различСразу же заметим, что траектории частицы в такой ных типов. (Исключением являются траектории вокруг задаче не разветвляются, не сходятся и не пересекаются единичных плакетов, которые оказываются внутри таких друг с другом. Поэтому они могут быть либо замкнуты- кластеров.) Таким образом, наша задача фактически ми, либо начинаться и заканчиваться на границе образца. сводится к описанию движения частицы по связям, огиПри p = 0 и при p = 1 зеркала упорядочены бающим кластер протекания в обычной задаче о протекаи расположены в шахматном порядке, а вся решетка нии — по его так называемой ”скорлупе” [14,20–22]. В оказывается фактически разбита на несвязанные друг с континуальных задачах протекания этому соответствует другом плакеты, вокруг которых только и может двигать- движение по уровням равного потенциала вблизи порога ся частица. Нетрудно также понять (далее мы в этом не- протекания [23,24].

посредственно убедимся), что лишь при p = 1/2 частица Приведенные соображения ни в коем случае нельзя имеет возможность уйти на бесконечность. (Свет может считать строгими. Они нуждаются в серьезном обоснопройти через такую систему заркал только при p = 1/2!) вании. Мы же просто найдем методом позиционной Таким образом в рассматриваемой задаче протекание ренормгруппы критические индексы обсуждаемой задачи имеет место лишь в единственной точке p = 1/2. В с вполне достаточной точностью, чтобы убедиться в квантовой модели этому соответствует делокализация справедливости наших, по сути дела, предположений.

при |t|2 = 1/2. Если они верны, критический индекс корреляционной Подчеркнем, что наши зеркала мы может располагать длины рассматриваемой проблемы должен совпасть с ини на решетке со связями, ориентированными так же как дексом корреляционной длины для обычной двумерной в модели Чалкера–Коддингтона (рис. 1, 3). Это приводит задачи протекания. Фрактальная же размерность бесколишь к фиксации направления движения частицы, так нечной траектории при p = 1/2, полученная в нашем что, например, при p = 0 частица будет обходить случае, должна совпасть с фрактальной размерностью Физика твердого тела, 1998, том 40, № 44 С.Н. Дороговцев Рис. 3. Кластеры, используемые при построении преобразований ренормализационной группы. Множитель масштабного преобразования равен 2, 3 и 4 для кластеров a, b и c соответственно. Расположение зеркал в узлах выбрано произвольным образом.

”скорлупы” протекательного кластера в обычной задаче Чтобы найти критический индекс корреляционпротекания (см. формулы (4) и (5)). ной длины, воспользуемся стандартной процедуМетод позиционной ренормализационной группы или, рой [25–27]. Если до преобразования ренормализакак его еще называют, метод ренорм-группы в реальном ционной группы корреляционная длина в критической пространстве (см., например, [25–27]) в применении к области была равна = c0|p - 1/2|-, где c0 —консформулированной задаче оказывется особенно простым. станта, то после преобразования она выражается через Для построения ренорм-групповых преобразований ве- ренормированную вероятность p следующим образом:

роятности p оказывается лучше всего использовать кла- = bc0|p - 1/2|-, поскольку линейный размер ячейки стеры, показанные на рис. 3, a, b, c для коэффициента увеличился в b раз. В результате масштабного преобразования b, равного 2, 3 и 4, соответln b ственно. Нетрудно проверить, что число узлов в каждом =. (9) ln |dp (p = 1/2)/dp| таком кластере n = b2 +(b-1)2.

Пусть связи в используемых кластерах ориентироПодставляя в эту формулу для b = 2 соотношение (8), ваны так, как показано на рис. 3. Если для данной получаем = 1.4277.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.