WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 1 01;02 Логарифмически точные полные сечения рассеяния быстрых электронов на атомах © Б.А. Зон, В.Б. Зон Воронежский государственный университет, 394006 Россия, Воронеж e-mail: zon@niif.vsu.ru (Поступило в Редакцию 29 марта 2006 г.) Получена простая аналитическая формула для полного интегрального сечения рассеяния быстрых электронов на атомах. Эта формула имеет логарифмическую точность и получена на основе приближенного правила сумм, не учитывающего обменных эффектов в атомной волновой функции (приближение Хартри).

Анализ показывает, что пренебрежение обменными эффектами допустимо в той же области рассеиваемых электронов, что и первое борновское приближение. Проведенные расчеты для He, Ne, Ar хорошо согласуются с экспериментальными данными.

PACS: 03.65.Nk С помощью правила сумм для обобщенных сил ос- вой функции лишь основного состояния системы, может цилляторов Бете получил простую аналитическую фор- оказаться полезным для анализа рассеяния электронов мулу для энергетических потерь быстрой частицы, про- на молекулах. Хорошо известно, что современные алходящей через вещество, имеющей логарифмическую горитмы не позволяют рассчитывать волновые функции точность [1]. Напомним, что логарифмически точными возбужденных состояний молекул с высокой точностью.

обычно называют формулы, содержащие эмпирическую В борновском приближении сечение рассеяния элеквеличину порядка 1, входящую множителем под знак трона с импульсом p, соответствующее переходу атологарифма, где второй множитель много больше 1. ма из начального состояния i в конечное f, имеет В теории Бете такой эмпирической величиной являлась вид [11,12]:

средняя энергия возбуждения атома (в атомных еди2 ницах) при рассеянии на нем быстрого электрона, а df 4m2e4 p Z = f Z - exp(iqrj) i, 4 большой величиной — борновский параметр, определяеd p pq4 j=1 мый отношением энергии быстрого электрона к атомной единице энергии.

q =(p - p)/, p = p2 - 2m, = Ef - Ei.

На основе идей Бете в работе [2] полное сечение Здесь Z — заряд атомного ядра, rj — координаты неупругого рассеяния быстрого электрона на атоме быатомных электронов, q — передаваемый импульс, — ло выражено через сумму сил осцилляторов дипольных энергия возбуждения атома.

переходов в этом атоме. Таким образом были получены Рассмотрим в отдельности упругое ( f = i) и неупруполные сечения рассеяния электронов на 2-электронных гое ( f = i) рассеяния системах (He [2], H- [3], Li+ [4], метастабильный He [5], а также Ne [6]). Обзор подобного развития теории di 4m2e4ZБете для неупругого рассеяния электронов на атомах = |1 - F(q)|2, (1) d p qдан в [7]. Позже этот метод применялся и для других атомов [8–10].

Z В данной работе используется приближенное праF(q) = i exp(iqrj) i, F(q 0) 1, (2) Z вило сумм, справедливое в приближении Хартри, т. е.

j=в пренебрежении обменными эффектами в атомной Z df 4m2e4 p волновой функции. Как хорошо известно, именно об= f exp(iqrj) i, f = i. (3) d p pq4 j=менные эффекты отличают приближение Хартри–Фока от приближения Хартри. В данной работе в приблиОпределение формфактора F(q) отличается множении Хартри сечение полного неупругого рассеяния жителем 1/Z от обычно используемого (см., напривыражается через атомный формфактор, определяющий мер, [1,11,12]). Для сферически симметричных систем, сечение упругого рассеяния. Таким образом, расчеты в частности для атомов с заполненными оболочками, полного интегрального сечения оказываются не более которыми здесь ограничимся, сложными, чем расчеты упругого сечения, хотя имеют практически ту же точность, что и расчеты с помощью Z 1 sin qr j сил осцилляторов. Подобное упрощение теории, когда F(q) = i i. (4) Z qr j для расчетов полного сечения требуется знание волноj=Логарифмически точные полные сечения рассеяния быстрых электронов на атомах По аналогии с теорией энергетических потерь при То обстоятельство, что сечение упругого рассеяния прохождении быстрых частиц через вещество [1] введем Z2 (первое слагаемое в (9)), а неупругого Z (второе среднюю энергию возбуждения. Эмпирические форму- слагаемое в (9)), связано с когерентностью упругого и некогерентностью неупругого рассеяния.

лы для приводятся во многих источниках (см., наприЗависимость полного дифференциального сечения (9) мер, [1], а также ссылки, указанные ниже). Воспользоот выбора является достаточно сильной, поэтому вавшись теперь полнотой функции | f, получим полезность формулы (9) ограничена. Однако полное Z dr df 4m2e4 p интегральное сечение будет зависеть от слабо, а = f exp(iqrj) i именно через множитель в большом аргументе логаd p f =i d p p q4 j= f =i рифмической функции (см. ниже). Поэтому формулы Z для интегрального сечения, следующие из (9), имеют 4m2e4p -r j ) j i eiq(r i логарифмическую точность.

pq4 j j = Простейшая аналитическая модель для формфактора Z Z F(q) =(1 + a2q2)-2 (10) j j - i eiqr i i eiqr i, (5) соответствует экспоненциальному распределению элекj=1 j =тронной плотности p = p2 - 2m, q =(p - p)/.

(r) =(Z/8a3) exp(-r/a). (11) Легко видеть, что в одночастичном приближении Функция (11) моделирует, в частности, распределение Хартри, когда многоэлектронная функция атома |i предзаряда в атоме He в простейшей вариационной модеставляет собой произведение одноэлектронных функций, ли [12]. При этом a =(8/27)aB. Подставив (10) в (9), первое и второе слагаемые в квадратных скобках (5) получим сокращаются, за исключением членов с j = j, так что 8m2e4 Z2 dr 4m2e4Z p = 1 = 1 -|F(q)|2. (6) q4 (1 + a2q2) d p pqZ p Выражение в квадратных скобках в (5) лишь множи+ 1 - sin d. (12) телем отличается от суммы обобщенных сил осцилля- pq4 (1 + a2q2) торов S(-1, q) (см. формулу (3.17) в [7]), так что в Перейдем от интегрирования по к интегрированию приближении Хартри для этой суммы следует по q2 в первом слагаемом под интегралом (12) и по q2 во втором слагаемом: dq2 =(2pp / ) sin d, S(-1, q) (qaB)-2 1 -|F(q)|2, (7) dq2 =(2pp / ) sin d. Поскольку для быстрых элек где aB — борновский радиус.

тронов pa/ 1, верхний предел в интегралах по dqДля малых q из формулы (4) следует и dq2 можно положить бесконечно большим. Нижний предел по q2 равен нулю. Считая E = p2/2m, можно F(q) 1 - q2 r2, (8) во втором интеграле по q2 пренебречь отличием p от p всюду, кроме нижнего предела, который следует где r2 — среднеквадратичное значение радиуса атоположить равным ма. Поэтому сечение (6), не учитывающее обменных m эффектов в атомной волновой функции, расходится q2 =. (13) min при q 0. Иными словами, именно область малых q p дает основной вклад в интегральное сечение неупруЕсли qmina 1, в результате простых вычислений гого рассеяния, причем этот вклад тем больше, чем получим лучше выполняется условие применимости борновского 4m2e4 dq2 приближения. В то же время обменные интегралы, = Z2 1 входящие в первое слагаемое в квадратных скобках (5), p2 0 q4 (1 + a2q2)при q 0 имеют порядок q4 в силу ортогональности dq2 одноэлектронных волновых функций. Следовательно, их + Z 1 q4 (1 + a2q2) вклад в интегральное сечение будет много меньшим.

qmin Эти соображения и являются обоснованием использо 4m2e4aвания приближения Хартри в данной задаче.

= 7Z2 - 13Z - 24Z log(aqmin) 3 pПолное дифференциальное сечение d di dr 4a + = 7Z2 - 13Z d p d p d p 3(E/Ry) 4m2e4 Z2 Z p 4(E/Ry) = |1 - F(q)|2 + 1 -|F(q)|2.

+ 12Z log. (14) q4 pq (a/aB)2( /Ry)(9) Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 40 Б.А. Зон, В.Б. Зон Это выражение можно сравнить с аппроксимационной формулой (26) работы [2], полученной, как уже говорилось, в результате достаточно громоздкого суммирования сил осцилляторов для атома He:

=(E/Ry)-1 3.603 log(E/Ry) - 6.229 · 10-15 cm2.

Полагая в (14) Z = 2, a =(8/27) a.e., 1.5 a.e.

(см. ниже), вместо 3.603 получим из (14) 3.359, а вместо 6.229 число 6.958. Отличие лежит в пределах 10%.

Сравнение вычислений по формуле (14) с экспериментальными данными [13,14] для атома He приведено на рис. 1. При расчетах выбрано = 1.5 a.e. 40.8eV.

Это значение в точности совпадает с данными [15,16] и Рис. 3. Энергетическая зависимость полного интегрального близко к 38.82 eV, полученному в [8]. Как видно, теория сечения рассеяния электронов на атоме Ar. Экспериментальпрекрасно согласуется с экспериментальными результа- ные данные из работ [18] (+) и [14] (). Сплошная кривая — расчет по формулам данной работы при = 10, штриховая — тами. Отметим, что для атома He обменные эффекты в при 3 a.e.

атомной волновой функции не сказываются на точности формулы (9). В этом легко убедиться непосредственно, поскольку два электрона в He имеют противоположные спины, а операторы в матричных элементах (5) от спина не зависят.

Полные интегральные сечения для Ne, рассчитанные по формуле (9), приведены на рис. 2. Расчеты атомного формфактора проводились с помощью многоэлектронных волновых функций, аналитическая аппроксимация которых дана в работе [17]. Для было принято значение 4 a.e. Как видно, борновский предел достигается для Ne при больших энергиях рассеиваемого электрона, чем для He, что, конечно, совершенно естественно.

Аналогичные данные для Ar приведены на рис. 3.

Для иллюстрации зависимости сечения от выбора параметра приведены расчеты для = 3 и 10 a.e. Видно, Рис. 1. Энергетическая зависимость полного интегрального что зависимость сечения от является слабой. Это сечения рассеяния электронов на атоме He. Эксперименталь- полностью согласуется с указанным выше основным ные данные из работ [13] (+) и [14] (). Сплошная кривая — принципом логарифмически точных приближений.

расчет по формуле (14), штриховая — согласно [2].

Краткое изложение данной работы было представлено на 24-й Международной конференции по физике фотонных, электронных и атомных столкновений (ICPEAC-2005) [19].

Работа выполнена при поддержке программы BRHE US CRDF и Министерства образования и науки РФ, грант VZ-010-0.34.80Dp.

Список литературы [1] Бете Г. Квантовая механика. М., 1965. 334 с.

[2] Inokuti M., Kim Y.-K., Platzman R.L. // Phys. Rev. 1967.

Vol. 164. N 1. P. 55–61.

[3] Inokuti M., Kim Y.-K. // Phys. Rev. 1968. Vol. 165. N 1. P. 39– 43.

[4] Kim Y.-K., Inokuti M. // Phys. Rev. A. 1970. Vol. 1. N 4.

Рис. 2. Энергетическая зависимость полного интегрального P. 1132–1137.

сечения рассеяния электронов на атоме Ne. Эксперименталь- [5] Briggs J.S., Kim Y.-K. // Phys. Rev. A. 1971. Vol. 3. N 4.

ные данные из работ [18] (+) и [14] (). Сплошная кривая — P. 1342–1348.

расчет по формулам данной работы, штриховая — расчет [6]. [6] Saxon R.P. // Phys. Rev. A. 1973. Vol. 8. N 2. P. 839–849.

Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. Логарифмически точные полные сечения рассеяния быстрых электронов на атомах [7] Inokuti M. // Rev. Mod. Phys. 1971. Vol. 43. N 3. P. 297–347.

[8] Dehmer J.L., Inokuti M., Saxon R.P. // Phys. Rev. A. 1975.

Vol. 12. N 1. P. 102–121.

[9] Inokuti M., Saxon R.P., Dehmer J.L. // Int. J. Radiat. Phys.

Chem. 1975. Vol. 7. P. 109.

[10] Inokuti M., Dehmer J.L., Baer T. et al. // Phys. Rev. A. 1981.

Vol. 23. N1. P. 96–109.

[11] Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М., 1969. 756 с.

[12] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М., 1974. 752 с.

[13] Dalba G., Fornasini P., Lazzizzera I. et al. // J. Phys. B: At.

Mol. Phys. 1979. Vol. 12. N 22. P. 3787–3795.

[14] Nickel J.C., Imre K., Register D.F. et al. // J. Phys. B: At. Mol.

Phys. 1985. Vol. 18. P. 125–133.

[15] Fano U. // Ann. Rev. Nucl. Sci. 1963. Vol. 13.

[16] McGuire R.J. // Phys. Rev. A. 1971. Vol. 3. N 1. P. 267–279.

[17] Salvat F., Martinez J.D., Mayol R. et al. // Phys. Rev. A. 1987.

Vol. 36. N 2. P. 467–474.

[18] Zecca A., Oss S., Karwasz G. et al. // J. Phys. B: At. Mol.

Phys. 1987. Vol. 20. N 19. P. 5157–5164.

[19] Zon B.A., Zon V.B. Book of Abstracts ICPEAC 2005.

Zon-3-3-117-49152120. Rosario, 2005. 88 c.

Журнал технической физики, 2007, том 77, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.