WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 3 01;09;10 Спектр колебаний заряженных частиц в квадрупольном радиочастотном поле © М.Ю. Судаков Рязанский гусударственный педагогический университет, 390000 Рязань, Россия (Поступило в Редакцию 1 декабря 1998 г.) Исследованы закономерности изменения спектрального состава колебаний ионов в ряде областей стабильности квадрупольного фильтра масс. Показано, что частотный спектр представляет собой две системы линий.

Вблизи гармоник n0, n = 0, 1, 2,... основной частоты в спектре колебаний ионов присутствуют боковые линии n = n0 ± 0/2, где 0 — круговая частота ВЧ поля, — параметр стабильности. Вблизи границ областей стабильности колебания имеют вид биений. Для четных значений = 2k, k = 1, 2,... частота биений совпадает с частотой поля 0, а для нечетных границ, где = 2k - 1, частоты основных биений равны 0/2 и 30/2.

Введение T питающее напряжение; — параметр, зависящий от типа прибора и координаты: x = 1, y = -1 для фильтра Динамический захват и удержание заряженных частиц масс, x - y = 1, z = -2 для трехмерной ловушки.

в квадрупольном электрическом периодчески изменяю- Для учета движения ионов в вязкой среде мы включили щемся во времени поле лежит в основе работы ионной в уравнение член затухания с коэффициентом. В ловушки и квадрупольного фильтра масс [1,2]. Основой некоторых случаях затухание принципиально важно для для понимания принципов работы таких приборов слу- работы прибора. Так, в ионной ловушке фирмы Finigan жит теория параметрического резонанса на базе уравне- MAT применение легкого буферного газа позволило ний Матье и Хилла, описывающих движение заряженных значительно улучшить аналитические характеристики частиц в периодическом квадрупольном поле. Характер- прибора [4]. Слабые и частые столкновения массивных ные черты спектра и частотный состав колебаний ионов в частиц с легким буферным газом можно интерпретирообщем известен [3]. Необходимость детального изучения вать как затухание, поэтому в данном случае движение спектра возникает при анализе нелинейных колебаний захваченных частиц можно описать уравнением (1).

ионов в мультипольных полях [4], резонансном выводе Для построения решений уравнений типа (1) из-за ионов из объема удержания путем действия малого периодичности коэффициентов достаточно изучить динавнешнего гармонического сигнала [5], а также при срав- мику решений только на одном периоде. Предположим, нительном анализе характеристик движения ионов в ряде что для 0 < t < T известна (как правило, в результате областей стабильности уравнения Матье [6].

численного интегрирования) пара характерных решений Задача настоящей работы состоит в разработке эф- y1(t) и y2(t), заданных начальными условиями y1(0) =1, фективных методов расчета спектральных характеристик y2(0) =0, 1(0) =1, 2(0) =0. В рамках матричного движения ионов в периодических квадрупольных полях метода введем вектор обобщенных координат X(t) и с учетом вязкого трения, изучении состава и структу- матрицу характерных решений Y (t) ры колебаний, сравнительный анализ колебаний в ряде x(t) y1(t) y2(t) областей стабильности.

X(t) =, Y(t) =. (2) (t) 1(t) 2(t) Общее решение уравнений движения Из-за линейности уравнения (1) решение для любого момента времени можно найти через начальные Квадрупольным называют электрическое поле, потенусловия X(0) как X(t) = Y (t) · X(0). В результате циал которого зависит от координат квадратично. В периодичности коэффициентов в уравнении (1) имеем n фильтре масс это условие достигается только для двух X(nT) = Y (T ) · X[(n - 1)T ] = Y (T ) · X(0). В итоге координат, а в ионной ловушке — для всех трех. Закон общее решение для момента времени t = nT +, где движения заряженной частицы в радиочастотном квадру0 <

Здесь x — координата частицы; e/m — удельный заряд; Следовательно, для определения координат необходиr0 — радиус поля; U(t) — периодическое с периодом мо вычислять произвольную степень матрицы L. Это 38 М.Ю. Судаков нетрудно сделать, если известны ее собственные векторы явялется важнейшим параметром уравнения Хилла. Если и собственные значения k, же |Supr(M)| > 2, то µ1 = 1/µ2 = exp() — при отсутствии затухания движение было бы неустойчивым.

n Ln · X(0) = ck · k · lk. (4) Наличие затухания приводит к тому, что движение и в k этом случае остается неустойчивым, пока выполняется условие || < 1 или ln(µ1) < T. Таким образом, Здесь ck — коэффициенты разложения вектора X(0) по затухание приводит к расширению границ областей стасобственным векторам матрицы преобразования за перибильности [7].

од. Формулы (3), (4) позволяют определить временную Для стабильных колебательных траекторий имеем собзависимость решений произвольного уравнения с пе ственные значения 1 = 2 = exp(-T + i) и риодическими коэффициентами. Мы применяем их для собственные векторы матрицы преобразования за период определения решений уравнения Хилла с затуханием. В (для матриц L и M они совпадают) этом случае матрица преобразования за период является матрицей 2 · 2 и ее собственные значения определяются из характеристического уравнения второго порядка i m1 = m =. (9) 2 - A B 2 - Spur(L) +Det(L) =0. (5) Здесь используются обычные обозначения A и B для Здесь Spur(L) —след матрицы L, а Det(L) — детермипараметров эллипсов захвата [1] нант. В зависимости от величины модуля собственных m11 - m22 mзначений возможны две ситуации: собственные значения A =, B =, sin() sin() комплексно сопряжены и по модулю меньше или равны единице. В этом случае движение носит ограниченный m11 + mcos() =. (10) характер и траектория частицы называется стабильной.

Одно или оба собственныx значения имеют абсолютное С целью построения общего решения уравнения (1) значение, большее единицы, тогда координата и скорость рассмотрим его частное решения с начальными услобесконечно нарастают и траектория частицы называется виями u(0) = 1, u (0) = (i - A)/B. В этом случае нестабильной, так как ее движение попадает в область вектор начальных координат X(0) = m1 совпадает с параметрического резонанса.

собственным вектором матрицы преобразования за периДля дальнейшего анализа решений уравнения (1) на од. Согласно формуле (3), данное частное решение для основе формул (3), (4) и определения характера движемомента времени t = nT + имеет вид ния заряженной частицы в периодическом квадрупольi - A ном поле необходимо найти собственные значения и u(t) = y1( ) + y2( ) exp (-T + i)n собственные векторы матрицы преобразования за пери- B од. Прямой проверкой можно убедиться, что если y1(t) = (t) exp (i - )t. (11) и y2(t) — решения уравнения (1), то величина Det(Y ) удовлетворяет уравнению Здесь =T, а периодическая с периодом T функция (t) равна d Det(Y ) +2 · Det(Y ) =dt i - A (t) = y1( ) + y2( ) exp ( - i). (12) B или Det Y(t) =DetY (0) exp(-2t). (6) Существование решения уравнения Хилла (1) при Следовательно, Det(L) = Det(Y (T )) = exp(-2T ).

= 0 в виде (11) с периодической функцией (t) Для дальнейшего удобно ввести матрицу M из соотноявляется содержанием теоремы Флоке [8]. В связи с шения этим будем называть функцию (t) функцией Флоке.

m11 m12 Формула (12) дает выражение функции Флоке через L = exp(-T ) m21 m22 = M exp(-T), (7) два характерных решения уравнения (1). Решение Флоке (11) можно использовать для построения общего так что Det(M) =1. Собственные значения матрицы L решения уравнения Хилла. Если комплексная функция равны = µ exp(-T), где µ — собственные значения u(t) является решением действительного уравнения, то матрицы M, которые можно определить из уравнения комплексно сопряженная к ней функция u(t) будет являться вторым линейно независимым решением, а µ2 - Spur(M) · µ + 1 = 0. (8) общее решение можно представить в виде Анализ решений уравнения (8) показывает, что в x(t) =Cu(t) +Cu(t) = C(t) exp(it) случае, когда |Spur(M)| < 2, собственные значения комплексно сопряжены µ1 = µ2 = exp(i). Движение + C(t) exp(-it) exp(-t). (13) иона (4) в этом случае имеет вид конечных непериодических колебаний и характеризуется числом, которое Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Спектр колебаний заряженных частиц в квадрупольном радиочастотном поле Постоянная C определяется из начальных условий Формула (18) раскрывает структуру спектра парамеx(0) = x0; x(0) = v0. Используя формулу (13) и трических колебаний заряженной частицы, захваченной начальные условия для решения Флоке, получим в радиочастотном квадрупольном поле. Спектр представляет собой систему линий одинаковой ширины x0 - i · (Ax0 + Bv0) вблизи центральных частот n0, сдвинутых в ”красную” C =. (14) + и ”синюю” область на величину : n = n0 +;

Формулы (12)–(14) решают задачу построения общего n =(n + 1)0 - ; n = 0, 1, 2,.... При отсутствии решения уравнения Хилла с затуханием (1), если из- затухания в пределе 0 спектр становится дискретвестны два характерных решения y1( ) и y2( ), которые ным достаточно вычислить на одном периоде 0 <

x() = Ck( - k0 - ) k=Вычисление фурье-спектра решений + Ck ( + k0 +). (19) Для вычисления фурье-спектра колебаний заряженной частицы, захваченной в периодическом квадрупольном Формулы (18), (19) решают задачу анализа спектра поле, воспользуемся формулой общего решения (13).

параметрических колебаний. Обратная задача синтеза Периодическая функция Флоке (t) разлагается в ряд колебаний через спектр решается по формуле (17), а Фурье в случае отсутствия затухания с учетом особенностей спектра (19) можно записать (t) = k exp(ik0t), (15) k=- где 0 = 2/T, x(t) =2Re C k exp[i(k0 +)t]. (20) k=T k = (t) · exp(-ik0t)dt.

Для вычисления спектра необходимо вычислить комT 0 плексные амплитуды гармоник k. Для этого необходимо определить пару характерных решений уравнения Подставляя данное разложение в (13), получим для Хилла y1(t) и y2(t) в течение одного периода T. Амплирешений уравнения (1) туды гармоник, согласно (12), (15), определяются как x(t) = Ck exp[i(k0 +)t] +Ck k =(k0 +), (21) k exp[-i(k0 +)t]} exp(-t). (16) где T Полученная формула еще не является окончательной 1 i - A из-за множителя exp(-t). Для того чтобы получить () = y1(t) + y2(t) · exp(-it)dt.

T B спектр сигнала (16), воспользуемся формулами интегрального фурье-преобразования Параметры эллипсов A, B и величина частотного сдви га =T определяются согласно (10) через значения x() = x(t) · e-itdt, 2 тех же самых решений в конце периода m11 = y1(T ), m12 = y2(T ) и m22 = 2(T ). Применим теперь полученные формулы для вычисления спектра колебаний ионов в наиболее важных на практике случаях.

x(t) = x() · eitd. (17) Условия стабильности При использовании формул (17) важно поведение и спектр уравнения Матье функции x(t) при t < 0, которое в контексте нашей задачи несущественно. Поэтому без ограничения общности Полученные формулы для спектра параметрических можно доопределить решение (16) при t < 0, заменив колебаний заряженной частицы в квадрупольном поле множитель exp(-t) на exp(-|t|). В итоге получаем справедливы при любой форме периодического питаюспектр колебаний x() в виде щего напряжения. Значения амплитуд и фаз гармоник Ck зависят от конкретной формы питания U(t). В пракx() = · ( - k0 - )2 + 2 тической масс-спектрометрии чаще всего применяется k=гармоническое питание U(t) =U + V cos(0t), и урав нение (1) сводится к уравнению Матье. В этом случае Ck + ·. (18) характер движения ионов данной массы определяется ( + k0 +)2 + Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 40 М.Ю. Судаков двумя безразмерными параметрами Матье, связанными с амплитудой переменной и постоянной составляющих, 8eU 4eV a =, q =. (22) 2 mR20 mR0 На плоскости параметров (a, q) можно выделить области устойчивости, где величина является действительной и области неустойчивости, для которых имеет место параметрический резонанс. Границы областей определяются условием cos() = ±1. Важнейший параметр уравнения Хилла определяется с точностью до 1 и по его значению нельзя однозначно определить, к какой области устойчивости относится данное движение.

Поэтому для высших областей устойчивости принят диапазон n - 1 < < n, где n — номер области [6].

Рис. 1. Диаграмма стабильности квадрупольного фильтра Отметим, что на характеристиках движения выбор того масс.

или иного диапазона изменения никак не сказывается, однако смысл формул от этого может изменяться. В нашем случае величина через частотный сдвиг входит в выражение для частот и амплитуд гармоник k.

n - 1 < < n для высших областей устойчивости.

Для первой области стабильности 0 < < 1, поэтому При таком определении можно сказать, что физический низшая частота колебаний равна 0/2 (амплитуда 0), смысл величины /2 — число колебаний иона на одном а для второй области 1 < <2 и низшая частота равна периоде поля.

(1 - /2)0 (амплитуда -1).

Очевидно, что изменение сказывается и на спекПроизвол в определении величины не позволятральных характеристиках движения. В формуле (21) ет установить качественное различие между областями под интегралом стоит пара решений уравнения Хилустойчивости. Это различие наиболее ярко выявляется ла. С увеличением номера области стабильности они через изучение ”угловых” параметров уравнения Хилсовершают все большее число осцилляций на одном ла [9]. Последние определяются на основе аналогии периоде поля. Поэтому ширина спектральной функции уравнения Хилла (1) с уравнением гармонических ко() возрастает прямо пропорционально номеру облалебаний осциллятора сти устойчивости, что означает общее расширение спектра колебаний. Этот результат подтверждается ниже расe 1 = U(t) · dt, четами спектра для некоторых наиболее важных точек в mRU(t)>0 стабильных областях.

В реальности движение ионов осуществляется в трехe 2 = - U(t) · dt. (23) мерном пространстве. Для фильтра масс сортировка mRосуществляется по двум направлениям при условии U(t)

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.