WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

9.91 W 10.15 ветвь 1 описывает колебательную неНа рис. 5–7 приведены зависимости вещественной и устойчивость капиллярных волн. При W < 9.91 ветвь мнимой компонент безразмерной частоты от проводимоописывает затухающие капиллярные волны.

сти жидкости при фиксированных W,,. На рис. На рис. 4 обсуждаемые зависимости приведены приведены расчеты капиллярных движений, связаные с для жидкости с существенно большей проводимостью модой k = 1 при = 0.1 и докритической плотности = 10. Зависимости Re Re (W) иIm=Im (W ) заряда (при W = 1.98). Ветвь 1 описывает затухающее в этом случае приближаются к соответствующим зависикапиллярное волновое движение. Ветвь 2 описывает замостям для идеально проводящей жидкости: ветвь 1 опитухающее волновое зарядово-релаксационное движение.

сывает затухающие капиллярные волны. Ветвь 2–4 дает На правом конце вещественной и мнимой компонент инкремент неустойчивости Тонкса–Френкеля. Ветвь 1–ветви 2 эта ветвь уходит на нижний лист римановой является непосредственным продолжением ветви 1 и описывает затухающие капиллярные волны. Однако дви- поверхности. Ветвь 3 лежит на нижнем листе римановой жение, определяемое ветвью 1–3, в реальности являет- поверхности и ненаблюдаема. Ветвь 4 имеет зарядовося апериодическим, поскольку частоты этого движения релаксационную природу, причем часть этой ветви в Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости... лярного волнового движения 1/Tk = 2 /(k2 + g - 40k)k.

Условие > T не является слишком жестким и может выполниться для высоких волновых чисел капиллярных движений даже такой распространенной в практике электродиспергирования жидкости, не считающейся плохим проводником, как вода.

Интересно отметить, что частоты капиллярных и релаксационных волн качественно различно зависят от вязкости: у капиллярных волн она уменьшается с увеличением вязкости, а у релаксационных увеличивается.

По-видимому, это связано с тем, что капиллярное волновое движение генерируется изменением давления на свободной поверхности (с математической точки зрения оно порождается динамическим граничным условием для нормальных компонент тензора напряжений), а появление релаксационных волн связано с возникновением касательных напряжений у поверхности жидкости (с изменением вида динамического граничного условия для касательных компонент тензора напряжений). Связь же Рис. 6. То же, что и на рис. 5, при W = 2.06, = 0.1.

частоты и вязкости в динамических граничных условиях для нормальной и касательной компонент тензора напряжений противоположна.

4. Обратимся теперь к краевой задаче для функции области Re >0 описывает апериодическую неустойчи2(r, t). Из второго граничного условия (18) для вость, которая реализуется в узком диапазоне проводис учетом решения (20) и выражения (П16), избавляясь мостей и характеризуется малыми инкрементами (как на основе фурье-преобразования от интегрирования по это видно из рис. 5).

k, получим На рис. 6 приведены результаты расчета капиллярных B2 k k2 + =0. (25) движений моды с k = 1, = 0.1 при закрити ческом значении поверхностной плотноти заряда (при Этому условию можно удовлетворить двумя спосоW = 2.05). Инкремент неустойчивости определяется бами: 1) потребовать обращения в нуль всех коэффиветвью 4. Ветвь 2 определяет затухающие зарядовоциентов B2, что равносильно занулению всей функции релаксационные волны. Ветви 5 и 6 определяют затухающие апериодические движения.

На рис. 7 приведены те же зависимости, что и на рис. 6, но при существенно большей вязкости = 1. Ветвь лежит на нижнем листе римановой поверхности. Несложно видеть, что величина инкремента неустойчивой ветви 4 с увеличением вязкости существенно снизилась, а область существования зарядово-релаксационных волн сместилась в область больших значений проводимости.

Отметим, что сами зарядово-релаксационные движения порождаются отставанием по фазе между капиллярными движениями жидкости, деформирующими поверхность, и связанными с ними токами перераспределяющегося заряда, диссипирующими энергию на джоулево тепловыделение.

Из физического смысла разбираемого эффекта ясно, что описанное изменение структуры капиллярных движений жидкости реализуется лишь для тех длин волн в плохо проводящих жидкостях, для которых характерное время релаксации электрического заряда = / больше или сравнимо по величине с периодом Tk капилРис. 7. То же, что и на рис. 5, при W = 2.05, = 1.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 40 С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов 2(r, t) =0; 2) предположить, что функция 2(r, t) = 0, Представим потенциалы j в виде разложений в этом случае дисперсионное уравнение для вихревых движений жидкости, определяемых функцией 2(r, t), j =(0) +j ( j =1, 2), (П4) j получится приравнением нулю выражения, стоящего в (25) в круглых скобках. Это дисперсионное уравнение где (0) — потенциалы при равновесном состоянии j имеет решение = -k2, т. е. соответствующие движесистемы; j — добавки, вызванные возмущением пония жидкости являются апериодически затухающими с верхности жидкости, являющиеся малыми того же декрементом k2.

порядка.

Несложно видеть, что движения этого типа не зависят Подставляя (П4) в систему (П1)–(П3), выпишем отот конечности скорости перераспределения заряда, как, дельно краевые задачи для (0) и j j собственно говоря, и должно быть из общефизического смысла.

((0)) =0 ( j =1, 2); (П5) j Заключение z -: (0) =const;

Эффект релаксации электрического заряда заметно z + : (0) -40z;

усложняет структуру спектра капиллярных движений жидкости, приводя к появлению новых капиллярных z =0 : (0) =(0);

1 волновых и апериодических движений. Для плохопро(j) =0 ( j =1, 2); (П6) водящих жидкостей эффект релаксации заряда приводит к появлению периодической неустойчивости, реаz -: 1 0; z + : 2 0; (П7) лизующейся при напряженности электрического поля у поверхности жидкости меньшей критической для про(0) (0) 1 z = 0 : 1 + =2 + ; (П8) явления неустойчивости Тонкса–Френкеля, которая по z z своей сути является апериодической неустойчивостью.

Условия существенности влияния эффекта релаксации (1) (1) (2) z = 0 : + - =0. (П9) вязкости сводятся к требованию, чтобы характерное z 4 z z время релаксации заряда было порядка либо больше характерного времени выравнивания деформаций своКраевая задача (П5) для потенциалов (0) не предстаj бодной поверхности жидкости или характерного времени вляет трудностей и ее решение легко выписывается вязкой релаксации [12,13]. Последнее требование озна(0) чает, что обсуждаемый эффект существен для жидкостей, 1 = 0; (0) = -40z. (П10) относящихся к вязким в смысле электродиспергирования с мениска на торце капилляра, по которому жидкость Решения уравнений (П6), удовлетворяющие условиям подается в разрядную систему [12,13]. Типичными при(П7), естественно искать в виде разложений по плоским мерами таких жидкостей являются, например, глицерин волнам и циклогексанол.

1(r, t) = dkN1 exp(ikx) exp(kz) exp(t);

Приложение Будем решать задачу (7)–(10), что позволит нам по лучить выражения для электрической части касательных 2(r, t) = dkN2 exp(ikx) exp(-kz) exp(t), (П11) компонент тензора напряжений (2) - (1) и добавки к давлению электрических сил PE() с учетом эффекта релаксации электрического заряда, задействованные в где N1 и N2 — константы, коэффициенты разложения.

динамических граничных условиях (18), (19). Удовлетворяя с помощью решений (П10) и (П11) Система уравнений (7)–(10) позволяет сформулиро- условиям (П8), (П9), получим в первом порядке малости вать краевую задачу для электрических потенциалов j уравнения, связывающие константы N1 и N2 с коэффициентом C в разложении (21) возмущения (x, t) по j = 0 ( j = 1, 2), (П1) плоским волнам, z -: 1 ограничен; 2 0 = -40z;

N1 = -40 C;

4 + ( + 1) 1 1 z = : = - ; 1 =2; (П2) 4 n n 4 + N2 = 40 C. (П12) 1 4 + ( + 1) z = : +(U)+ =0. (П3) n t Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости... Теперь можно выписать нормальные и касательные [8] Алиев И.Н., Филиппов А.В. // Магнитная гидродинамика.

1989. № 4. С. 94–98.

компоненты вектора напряженности электрического по[9] Григорьев А.И., Григорьев О.А., Ширяева С.О. // ЖТФ.

ля с точностью до величин первого порядка малости 1992. Т. 62. Вып. 9. С. 12–21.

(2) (1) [10] Zeleny J. // Phys. Rev. 1917. Vol. 10. N 1. P. 1–6.

(2) (1) En 40 - ; En - ;

[11] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных z z сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

[12] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко А.А. Препринт (0) (2) (1) ( ) ( ) E2x) - - ; E1x) - ;

ИМРАН. Ярославль, 1993. № 25. 118 с.

( ( z x x x [13] Shiryaeva S.O., Grigor’ev A.I. // J. Electrostatics. 1995.

( ) (1) Vol. 34. N 1. P. 51–59.

E2y) 0; E (y) 0. (П13) ( Общее выражение для давления электрического поля на поверхность жидкости, граничащей с вакуумом, имеет вид [11] ( 1 E2) (2) (1) PE = (En )2 - (En )2 +(-1).

8 Отсюда с учетом (П13) в линейном приближении найдем E(0) (0) PE PE + PE(), PE 20 = ;

4 + PE() =4 + ( + 1) dkCk exp(ikx) exp(t). (П14) Электрические части касательных компонент тензора напряжений в первом порядке малости с учетом выражений (П11)–(П13), (21) и определения =(/4)EnE могут быть представлены в виде (1) z = 0 : (2) -(1) - (x) (x) x =40, (П15) 4 + ( + 1) x z = 0 : (2) -(1) =0. (П16) (y) (y) Список литературы [1] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // МЖГ. 1994. № 4. С. 3– 22.

[2] Melcher J.R., Schwarz W.J. // Phys. Fluids. 1968. Vol. 11.

N 12. P. 2604–2616.

[3] Melcher J.R., Smith C.V. // Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. N 4.

P. 778–790.

[4] Новоселец М.К., Николаев В.С. // УФЖ. 1987. Т. 32. № 5.

С. 713–718.

[5] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. // Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21. Вып. 19. С. 77–81.

[6] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 699 с.

[7] Ширяева С.О., Лазарянц А.Э. и др. Препринт ИМРАН.

Ярославль, 1994. № 27. 126 с.

Журнал технической физики, 1997, том 67, №

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.