WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 8 01;03 Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости с конечной проводимостью © С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов Ярославский государственный университет, 150000 Ярославль, Россия (Поступило в Редакцию 10 апреля 1996 г.) Выведено и проанализировано дисперсионное уравнение для спектра капиллярных движений на заряженной плоской поверхности жидкости с учетом конечности скорости перераспределения заряда при выравнивании потенциала вследствие волновой деформации свободной поверхности. Показано, что при малых проводимостях жидкости неустойчивость сильно заряженной поверхности происходит в результате увеличения амплитуды апериодических зарядово-релаксационных движений жидкости, а не волновых, как это имеет место для хорошо проводящих сред. Влияние конечности скорости перераспределения заряда на структуру спектра капиллярных движений жидкости и условия реализации неустойчивости ее заряженной поверхности существенно, когда характерное время релаксации заряда сравнимо по величине с характерным временем выравнивания волновых деформаций свободной поверхности жидкости.

Введение координат так, чтобы ось z была направлена вертикально вверх, перпендикулярно поверхности, а ось x —по направлению движения плоской капиллярной волны. Пусть В связи с широким спектром разнообразных приложефункция (x, t) описывает малое возмущение равновесний в физике, геофизике, технике и технологии много ной плоской поверхности жидкости, а U(r, t) — поле работ посвящено исследованию закономерностей реалискоростей движения жидкости, вызванного возмущением зации капиллярного волнового движения на заряженной, имеющие тот же порядок малости.

поверхности жидкости [1]. Однако некоторые частные Система уравнений гидродинамики, определяющая ревопросы, связанные с этой темой, изучены не достаточно шение сформулированной задачи, линеаризованная по полно. В частности, сказанное относится к вопросу о малым величинам U,, имеет вид [6] влиянии конечности скорости выравнивания потенциала в реальной жидкости на особенности реализации каU пиллярных движений жидкости и их устойчивость. Не= - P(U) +U; (1) t значительное количество теоретических исследований, проведенных с учетом конечности проводимости жидко· U=0; (2) сти (см., например, [2–5]), не внесли полной ясности в специфические особенности реализации феномена. Предz -: U0; (3) варительный анализ обсуждаемой задачи [5] показывает, что учет конечности скорости выравнивания электри(x, t) z = 0 : - + Uz = 0; (4) ческого потенциала в реальной жидкости приводит, воt первых, к увеличению порядка дисперсионного уравне(2) (1) ния, а во-вторых, к увеличению декрементов затухания z = 0 : ( - ) - n( )U всех ветвей. Кроме того, при варьировании физических + (n)U) = 0; (5) параметров задачи (поверхностной плотности заряда, диэлектрической проницаемости, удельной электропроz = 0 : -P(U) +g +2n(n)U водности) происходит деформация и перезамыкание друг на друга различных ветвей дисперсионного уравнения, - PE() +P() =0, (6) что свидетельствует об изменении физического смысла реализующихся в новых условиях движений жидкости.

где P(U), PE(), P() — добавки к давлению внутри 1. Рассмотрим задачу о расчете спектра капиллярных жидкости при наличии электрического поля, давлению волн на граничащей с вакуумом плоской поверхности электрических сил и давлению сил поверхностного набесконечно глубокой жидкости с плотностью, прово- тяжения, вызванные возмущением поверхности и имедимостью, вязкостью, коэффициентом поверхност- ющие первый порядок малости по U и ; n, —единого натяжения, диэлектрической проницаемостью, ничные вектора нормали и касательных к поверхности находящейся под воздействием гравитационного поля g жидкости; = (/4)EnE ; En, E —нормальная и и внешнего электростатического поля, вектор напряжен- касательная компоненты напряженности электрического ности E0 которого направлен перпендикулярно плоской поля; индекс 1 относится к жидкости, а 2 — к внешней поверхности жидкости (E0 -g). Расположим систему среде.

Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости... Дополним систему (1)–(6) уравнениями, учитываю- для скалярных функций j и после несложных преобращими конечность скорости перераспределения электри- зований получим ческого заряда при выравнивании потенциала на колеблющейся поверхности жидкости, z -: 1 + =0;

z div Ej = 0; Ej = -j ( j = 1, 2); (7) 1 - = 0; 2 = 0. (16) z xz : E2 E0; z -: E1 0; (8) Кинематическое граничное условие на свободной поz = : E2n - E1n = 4; 1 =2; (9) верхности жидкости примет вид 1 z = : -(nE1) +(U)+ =0;

z = 0 : - + - = 0. (17) t t z x Граничное условие (5) для касательных компонент nx + ny. (10) тензора напряжений в связи с возможностью выбора x y в качестве вектора касательной ортов координатных i — электрический потенциал; (x, t) — поверхосей ex и ey распадется на два ностная плотность заряда (в равновесном состоянии (x, t) 0 = const : 40 = E0).

z = 0 : (2) -(1) (x) (x) Отметим, что в линейном по малым величинам приx ближении второй (конвективный) член в (10) пропадет, 1 2 так как имеет второй порядок малости, поскольку про 2 + - 3 = 0;

z z2 xпорционален произведению U(r, t) на добавку (x, t) к поверхностной плотности заряда, возникающую вслед z = 0 : (2) -(1) + = 0. (18) ствие деформации поверхности жидкости и имеющую (y) (y) xz величину.

Граничное условие (6) для нормальной компоненты 2. Используя метод скаляризации, подробно описантензора напряжений с учетом уравнения (14) примет вид ный в [7], представим поле скоростей U в виде суммы трех ортогональных полей 1 21 2 z = 0 : +g +2 t z2 x2 z U(r, t) = Njj(r, t), (11) - pE() +P() =0. (19) j=Система уравнений (14), (15) с граничными условигде j(r, t) — скалярные функции, определяемые видом ями (16)–(19) представляет гидродинамическую часть поля U(r, t); Nj — векторные операторы, удовлетворяю- задачи в скаляризованном виде.

щие соотношениям ортогональности и условиям комму- 3. Примем, что поле скоростей U и возмущение свотативности с оператором Лапласа, бодной поверхности зависят от времени t экспоненциально: U exp(t); exp(t), где —комплексная Nj · Nk = 0 (при j = k); Nj = Nj( j =1, 2, 3) (12) частота. Тогда решения системы (15), удовлетворяющие условиям (16), в декартовых координатах можно запиимеют вид сать в виде N1 = ; N2 = ez; N3 = ( ez). (13) 1(r, t) = dkB1 exp(kz) exp(ikx) exp(t);

Оператор N1 выделяет потенциальную часть движения жидкости, N2 и N3 — его вихревые компоненты.

Подставляя разложение (11) в систему векторных j(r, t) = dkBj exp k2 + z уравнений (1), (2) и приняв, что собственные значения операторов N+ · Nj отличны от нуля, получим эквиваj лентную (1), (2) систему скалярных уравнений exp(ikx) exp(t) ( j = 2, 3), (20) здесь i — мнимая единица.

P(U) =- ; (14) Функция (x, t), описывающая возмущение поверхноt сти жидкости, также может быть представлена в виде 1 j разложения по плоским волнам j - (1 - 1 j) = 0 ( j = 1, 2, 3). (15) t Подставив разложение (11) в (3)–(6), преобразуем (x, t) = dkC exp(ikx) exp(t). (21) граничные условия для векторной функции U в условия 3 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 36 С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов В (20), (21) Bj, C — константы, коэффициенты разложений, связь между которыми определяется граничными условиями (17)–(19).

Чтобы удовлетворить динамическим граничным условиям (18), (19), воспользуемся полученными в приложении выражениями для электрических частей касательных компонент тензора напряжений (П15), (П16) и для добавки к давлению электрических сил PE() (П14), а также известным выражением для добавки к давлению сил поверхностного натяжения P в линейном по приближении [6] P() -. (22) xУдовлетворяя граничным условиям (17)–(19) с учетом упомянутых соотношений, можно получить дисперсионные уравнения, характеризующие капиллярные движения жидкости. Отметим, что речь идет о двух дисперсионных уравнениях, поскольку задача определеРис. 1. Зависимости вещественной и мнимой компонент ния вихревых движений, описываемых функцией 2(r, t) безразмерной частоты капиллярных движений жидкости полностью автономна, не зависит от функций 1(r, t), от величины безразмерного параметра W, характеризующего 3(r, t) и (x, t) (т.е. не оказывает влияния на фордавление электрического поля (плотность поверхностного замирование рельефа поверхности жидкости) и приводит ряда) на свободную поверхность жидкости, рассчитанные при к отдельному дисперсионному уравнению. Однако рас- = 0.1, = 0.1.

смотрим сначала краевую задачу для функций 1(r, t), 3(r, t) и (x, t).

Подставляя решения (20), (21) в граничные условия Тогда дисперсионное уравнение (23) примет вид (17)–(19), учитывая выписанные выражения (38), (39) и (22), получим однородную систему трех линейных уравk(K2 + 1) + (+2k2)2 -4(k2)3/2 +kнений относительно коэффициентов B1, B3, C, которая имеет нетривиальное решение, когда ее определитель Wk- (4 + ) +(+2k2) обращается в нуль, — это условие и дает одно из 4 + ( + 1) дисперсионных уравнений -2(k2)1/2 +k2 =0, k (k2 + g) + (+2k2)2 -4(k2)3/2 +k W =40. (24) k2 Несложно заметить, что уравнение (24) имеет более - (4 + ) 4 + ( + 1) высокий порядок, чем дисперсионное уравнение без учета эффекта релаксации заряда [7–11] (получающееся +(+2k2) -2(k2)1/2 +k2 =0. (23) из (24) при ). Кроме ветвей капиллярных волн, обычных для плоской заряженной поверхности идеально проводящей жидкости, появляются ветви затуПерейдем к безразмерным переменным в которых хающих движений жидкости, связанных с перераспреде = g = = 1. Тогда все величины (за которыми лением заряда по поверхности жидкости при ее дефороставим прежние обозначения) будут выражены в долях мации, которые естественно назвать ветвями зарядовохарактерных значений релаксационных движений.

Результаты численных расчетов по (24) для k = 1/g g3 1/4 g3 1/4 при = 100 и различных значениях вязкости и k =, =, =, проводимости проиллюстрированы рис. 1–4 в виде зависимостей вещественной и мнимой компонент безразмерной частоты от безразмерного давления электрического поля на невозмущенную поверхность жидко3 1/ =(g)1/4, =.

сти. Несложно заметить, что кроме ветвей капиллярных 3g Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости... Рис. 4. То же, что и на рис. 1, при = 0.001, = 10.

Рис. 2. То же, что и на рис. 1, при = 0.01, = 0.1.

движений жидкости, обычных для плоской заряженной поверхности (ветви 1–3), появляется ряд ветвей 4–движений жидкости, связанных с перераспределением заряда по поверхности жидкости при ее деформации.

Ветви дисперсионного уравнения, лежащие на нижнем листе двулистной римановой поверхности, на которой определено дисперсионное уравнение (24), и, следовательно, не реализующиеся на практике, на рисунках приводятся лишь в порядке исключения, когда это облегчает понимание смысла новых ветвей. На рис. 1–зависимости Re (W) приведены для диапазона значений W, содержащего точку перехода капиллярной ветви моды с k = 10 к неустойчивому состоянию.

Как показывают расчеты (и очевидно из физического смысла), эффект конечности скорости выравнивания потенциала вдоль поверхности жидкости существен при малых проводимостях. Из рис. 1–3 видно также, что существенную роль в структурировании зарядоворелаксационных движений жидкости, играет вязкость жидкости, и что с увеличением вязкости структура ветвей этих движений заметно усложняется.

Отметим, что для идеальной, но реальнопроводящей жидкости невозможен корректный учет конечности скорости перераспределения заряда при капиллярных движениях жидкости, ввиду того что зарядоворелаксационные движения порождаются тангенциальныРис. 3. То же, что и на рис. 1, при = 0.001, = 0.1.

ми напряжениями на поверхности жидкости, которые Журнал технической физики, 1997, том 67, № 38 С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов в идеальной жидкости не учитываются (на свободной поверхности идеальной жидкости отсутствуют граничные условия для тангенциальной компоненты тензора напряжений).

На рис. 1 бросается в глаза, что по мере увеличения W неустойчивость претерпевает зарядово-релаксационное движение 4, а не ветвь 2 капиллярных движений, как это имеет место для ситуации идеальнопроводящей жидкости. Из рис. 1 и 2 видно, что с увеличением вязкости жидкости при прочих равных условиях ветви 1–капиллярных движений поднимаются к оси абсцисс.

Интересно, что в интервале 10.1 < W 10.2 инкремент неустойчивости зарядово-релаксационных волн сразу после перехода при W = 10.1 ветви 4 из области отрицательных значений Re в область положительных при увеличении W до W 10.2 практически не изменяется по величине, оставаясь весьма малым, и быстрое увеличение инкремента с ростом W начинается при W 10.2.

Дальнейшее увеличение вязкости (рис. 3) приводит к существенному усложнению структуры зарядоворелаксационных и капиллярных движений жидкости, связанному с перемещением и перезамыканием различных ветвей дисперсионного уравнения и появлением новых ветвей. Так ветвь 1 частично поднимается в область Рис. 5. Зависимости вещественной и мнимой компонент Re >0 и замыкается на ветвь 4. Часть ветви 4 в обла- безразмеренной частоты капиллярных движений жидкости, сти Re >0при10.1 W 10.2 оказывается при этом от величины безразмерного параметра, характеризующего проводимость жидкости, рассчитанные при = 100, W = 1.98, лежащей ниже ветви 1 и перенумеруется как ветвь 6.

= 0.1.

Кривая 7, связывающая точку пересечения кривых 1 и с точкой пересечения кривых 6 и 4, описывает инкремент апериодической неустойчивости, уменьшающийся по величине с ростом поверхностной плотности заряда оказываются существенно меньше декрементов их зату(с увеличением W ). Правее точки пересечения ветвей хания. За один период колебания амплитуда такой волны и 6 начинается ветвь 5, переходящая из области Re >падает более чем на порядок. Дальнейшее увеличение в область Re < 0 и имеющая мнимую компоненту, проводимости приводит к тому, что мнимая часть т. е. описывающая периодическое волновое движение:

ветви 1–3 исчезает при значении W, соответствующем нарастающее со временем в левой части ветви 5 в точке пересечения кривых 1 и 2, а ее вещественная часть диапазоне 10.175 W 10.195 и затухающее в правой с номером 3 описывает чисто апериодически затухающее части в диапазоне 10.195 W 10.257. В точке движение. Таким образом, область физических характеокончания вещественной части ветви 5 порождаются два ристик жидкостей, для которых существенно влияние коапериодически затухающих движения 2 и 3.

нечности скорости перераспределения заряда на спектр Часть ветви 1, лежащая в области Re > 0, уходит реализующихся капиллярных движений, ограничена срев область Re < 0 при W = 9.91. В диапазоне же дами с малыми проводимостями.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.