WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

w x |x=r2 = 0, w z |z =±1 = 0. (36) ± Данную итерационную процедуру можно ускорить Связь функций v, w, h и g с реальными физическими почти в два раза, используя алгоритм Гаусса–Зейделя, величинами имеет вид n+1 n n+1 n n+i, j = (i+1, j + i-1, j + i, j+1 + i, j-1 - s2 f ).

i, j V(R, Z) =V0(w(r2, z ) + v(r2, z )), (37) (43) B(R, Z) =B0ez Здесь предполагается, что значения сеточной функции в узлах обновляются с ростом i и j, поэтому для Rem + B0 g(r2, z ) + h(r2, z ). (38) расчета новой i, j используются уже обновленные i-1, j Ha и i, j-1. Чтобы избежать пространственную несимметрию, возникающую в простом алгоритме Гаусса– 2. Численный метод Зейделя (43), в численном счете используется метод Гаусса–Зейделя с „шахматным“ обновлением сеточной В этой главе описан численный метод, разработанный функции. Формально такой метод соответствует алгонами для решения систем уравнений эллиптического ритму Якоби (42) с двумя проходами, причем в первом типа, каковой является система (28)–(31). Данный метод проходе обновляются значения только в тех узлах, для обобщает известный итерационный алгоритм Гаусса– которых i + j четно („черные“ узлы), а во втором — Зейделя и содержит все его характерные особенности.

для которых i + j нечетно („белые“ узлы). Как нетрудно Проиллюстрируем их на простом примере — решезаметить, в этом случае в обновлении каждого „черния уравнения Пуассона (более подробное изложение ного“ узла участвуют только четыре соседних „белых“ смотрите, например, в [17]). Уравнение Пуассона для узла, которые были найдены в предыдущей итерации, и двумерной функции (x, y) записывается как наоборот.

Для ускорения сходимости перечисленных выше итеxx + yy = f (x, y), (39) рационных алгоритмов можно использовать так называгде f (x, y) — заданная функция.

емую последовательную сверхрелаксацию (в англоязычБудем решать это уравнение в квадратной области, ной литературе — Succesive Overrelaxation). Она заклюсчитая, что на искомую функцию заданы граничные чается в том, что новое значение сеточной функции в условия, определяющие ее однозначным образом (здесь узле (i, j) определяется линейной комбинацией старого мы не конкретизируем выбор граничных условий). Для и улучшенного значений функции в данном узле этого введем квадратную сетку с равным шагом по x и n+1 n i, j =(1 - w)i, j по y: x = y = s. Точки этой сетки можно пронумеровать парой индексов (i, j), где i и j пробегают значения w n n n n + i+1, j + i-1, j + i, j+1 + i, j-1 - s2 f, (44) от 0 до N. Если (x0, y0) — координаты левого нижнего i, j угла квадрата, то координатами точки (i, j) будут где w — параметр сверхрелаксации.

Следует отметить, что формулы (42)–(44) дают значеxi = x0 + is, y = y0 + js.

j ния сеточной функции только во внутренних узлах сетки, т. е. при 1 i, j N - 1. Значения сеточной функции Для введенной таким образом сетки дискретизация в граничных узлах на каждой итерации определяются из уравнения (39) имеет вид граничных условий.

i+1, j + i-1, j - 2i, j i, j+1 + i, j-1 - 2i, j Стандартное условие остановки счета в итерационных + = f, i, j s2 sалгоритмах состоит в равенстве нормы невязки наперед (40) заданному значению где i, j = (xi, y ), f = f (xi, y ).

j i, j j n+1 n i, j - i, j. (45) Точное решение сеточной задачи (40) удовлетворяет уравнению Норму сеточной функции Ai, j в этом выражении можно определить, например, как сумму квадратов знаi, j = (i+1, j + i-1, j + i, j+1 + i, j-1 - s2 f ). (41) i, j чений Ai, j во всех узлах сетки.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах... Аналогичную итерационную схему можно построить и для системы уравнений эллиптического типа (28)-(31). Для этого представим ее в виде u = f(u, x), (46) где неизвестная вектор-функция v(x, z ) h(x, z ) g(x, u(x, z ) = z ), w(x, z ) w(x, z ) а правая часть Рис. 3. Тороидальная скорость (в единицах V0).

f (u, x) - Hah z - 2Rem{g, h}-2Re{v, w} - Hav z - 2Rem({h, w}-hw z /x + {g, v} + vg z/x) - Haw z - 2Rem{g, w} =.

- Ha g z - 2Rem({g, g} + g z g/x + hh z /x) + + 2Re({w, w} + w z w/x + vv z /x) w Дискретизация уравнения (46) в квадратной области с равномерной сеткой дает un+1 =( - P)un, j + P 4x(un+1, j + un-1, j) i, j i i i 8x + Рис. 4. Тороидальное магнитное поле (в единицах B0).

+ un, j+1 + un, j-1 - s2fi, j(un), (47) i i Здесь = diag{1,..., 1} — единичная матрица, P = Камера помещена во внешнее магнитное поле = diag{w1,..., w0} — диагональная матрица, элементы B0 = 0.3T, через нее пропускается ток 1 kA. Данные пакоторой являются параметрами сверхрелаксации (вораметры выбраны таким образом, чтобы удовлетворить обще говоря, они могут быть разными для разных критериям генерации МРН.

уравнений одной системы).

Решение системы (28)–(31) с граничными условияИтерационные схемы, подобные (47), несложно напими (32)–(36) зависит от пяти параметров, а именно:

сать для произвольной прямоугольной области, испольаспектных отношений r- = R-/a, r+ = R+/a, числа зуя сетку с переменным шагом. Однако получающиеся Гартмана Ha, магнитного и гидродинамического чисел выражения довольно громоздки, поэтому мы не привоРейнольдса Rem, Re. Для полного описания течения дим их здесь.

необходимы еще две величины (см. (37), (38)): характерная тороидальная скорость V0 (27), которая однозначно 3. Результаты связана с пропускаемым через канал током I0, и внешнее магнитное поле B0. Для рассматриваемой установки В данной главе представлены результаты расчеполучаются следующие расчетные параметры: r- = 1, та стационарного течения для проектируемой устаr+ = 3, Ha = 1800, Re = 1.4 · 106, Rem = 12.3.

новки по экспериментальному исследованию магниХарактерная тороидальная скорость при этом торотационной неустойчивости. Установка представляет собой тороидальную камеру прямоугольного сеM0 cm V0 = = 2 · 103.

чения с внутренним радиусом R- = 5 cm, внешним a s радиусом R+ = 15 cm и высотой 2a = 10 cm, заполненную жидким натрием. Физические свойства на- На рис. 3 и 4 показаны тороидальная скорость трия: плотность = 0.92 g/cm3, кинематическая вяз- v = v(r2, z )/r и индуцированное тороидальное магниткость = 7.1 · 10-3 cm2/s, коэффициент диффузии маг- ное поле b = Remh(r2, z )/rHa. Следует отметить, что нитного поля = c2/4 = 810 cm2/s, число Прандтля гартмановские слои при z = ±1 в этом случае настолько Pr = / = 8.8 · 10-6 (взято из [2]). тонкие, что на рис. 3 и 4 их невозможно разрешить.

3 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 34 И.В. Хальзов, А.И. Смоляков Более детальный график на рис. 5 дает представление о поведении тороидальной скорости в гартмановском слое.

Одной из важнейших характеристик для магниторотационной неустойчивости является радиальная зависимость тороидальной скорости. На рис. 6 показан вид функции v при z = 0 и для сравнения приведен график 1/r. Видно, что практически во всем объеме канала радиальная зависимость тороидальной скорости имеет вид 1/r.

Существенная особенность течения в кольцевом канале состоит в том, что течение обладает поперечными (полоидальными) компонентами скорости и индуцированного магнитного поля. На рис. 7 и 8 приведены структуры полоидальной скорости и индуцированного полоидального поля, которые полностью определяются Рис. 7. Структура полоидальной скорости. Контуры соответфункциями w(r2, z ) и g(r2, z ) соответственно. Интествуют уровням функции w(r2, z ) 104. Стрелки указывают ресно отметить, что полоидальная скорость образует направления течений.

четыре крупных ячейки, причем в нижней половине канала вращение жидкости в них происходит по часовой стрелке, а в верхней — против.

Рис. 8. Структура индуцированного полоидального магнитного поля. Контуры соответствуют уровням функции g(r2, z ) 102. Стрелки указывают направления силовых Рис. 5. Тороиадальная скорость в сечении r = 2 (в единилиний.

цах V0).

Заключение В данной работе предложен новый численный метод расчета стационарных течений жидких металлов в кольцевых каналах прямоугольного сечения. Метод, являющийся обобщением итерационной схемы Гаусса– Зейделя, оказывается пригодным для расчетов, включающих большие значения чисел Гартмана Ha и Рейнольдса Re. В частности, представлены результаты расчетов течения для кольцевого канала с Ha = 1800 и Ra = 1.4 · 106.

Отметим, что быстродействие данного метода можно довести до O(N2), где N — число узлов сетки в каждом направлении, используя так называемые многоРис. 6. Тороидальная скорость в сечении z = 0 (в едини- сеточные схемы (подробнее см. в [17]). В этом случае цах V0). описанный нами итерационный метод был бы быстрее Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах... существующих прямых методов, быстродействие которых O(N2lnN). Однако на этом пути возникают определенные трудности, связанные с нелинейностью нашей задачи. По всей видимости, данный метод допускает обобщение также и на нестационарный случай.

Расчеты, выполненные для параметров проектируемой установки по исследованию МРН, показывают, что радиальная зависимость тороидальной скорости имеет вид 1/R практически во всем сечении канала. Такой профиль скорости удовлетворяет критериям генерации МРН.

Авторы выражают свою благодарность Е.П. Велихову за постановку данной задачи, а также В.И. Ильгисонису и В.П. Лахину за плодотворные обсуждения.

Список литературы [1] Goodman Ji.H., Kageyama J.A. // Mon. Not. Roy. Astron. Soc.

2001. Vol. 325. N2. P. L1–L5.

[2] Noguchi K., Pariev V.I., Golgate S.A. et al. // Astrophys. J.

2002. Vol. 575. N2. P. 1151–1162.

[3] Велихов Е.П. // ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 1398–1404.

[4] Balbus S.A., Hawley J.F. // Astrophys J. 1991. Vol. 376. N1.

P. 214–222.

[5] Велихов Е.П. Частное сообщение.

[6] Брагинский С.И. // ЖЭТФ. 1959. Т. 37. С. 1417–1430.

[7] Hunt J.C.R. // J Fluid Mech. 1965. Vol. 21. C. 577–590.

[8] Hunt J.C.R., Stewartson K. // J. Fluid Mech. 1965. Vol. 23.

P. 563–581.

[9] Fahidy T.Z. // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 42. P. 245–248.

[10] Baylis J.A., Hunt J.C.R. // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 48. P. 423– 428.

[11] Verardi S.L.L., Cardoso J.R., Motta C.C. // Trans. on Magn.

1998. Vol. 34. N5. P. 3134–3137.

[12] Hughes M., Pericleous K.A., Cross M. // Appl. Math.

Modeling. 1995. Vol. 19. N12. P. 713–723.

[13] Leboucher L. // J. Comp. Phys. 1999. Vol. 150. N1. P. 181– 198.

[14] Tezer–Sezgin M. // Computers and Fluids. 2004. Vol. 33. N4.

P. 533–547.

[15] Shercliff J.A. A textbook on Magnetohydrodynamics. London, 1965. 265 p.

[16] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Учебное пособие. Т. VI. Гидродинамика. М., 1986. 736 с.

[17] Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A. et al. Numerical recipes in C: the Art of Scientific Computing. Cambrige, 1992.

994 p.

3 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.