WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 1 01;03 К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах прямоугольного сечения © И.В. Хальзов, А.И. Смоляков Российский научный центр „Курчатовский институт“, 123182 Москва, Россия e-mail: halzovi@mail.ru, smolyakov@sask.usask.ca (Поступило в Редакцию 6 апреля 2005 г.) Разработан численный код для расчета двумерных стационарных магнитогидродинамических (МГД) течений несжимаемых проводящих вязких жидкостей (жидких металлов) в прямых и кольцевых каналах прямоугольного сечения с тонкими стенками. Течения обусловлены силой Лоренца j B, которая возникает при пропускании электрического тока через жидкость, помещенную в вертикальное однородное магнитное поле. Код является обобщением известного итерационного метода Гаусса–Зейделя на случай систем уравнений эллиптического типа. Данный метод позволяет проводить расчеты стационарных течений в широком диапазоне чисел Гартмана (Ha = 1-103) и Рейнольдса (Re = 1-106).

PACS: 47.90.+a, 47.85.M Введение при малых магнитных числах Рейнольдса (Rem 1).

Хант [7] получил точные решения, описывающие некоОпределение структуры стационарных МГД течений торые течения в прямых каналах. Хант и Стюартсон [8] проводящих жидкостей в каналах различной геометрии разработали асимптотический метод для анализа теченепосредственно связано с рядом инженерных приложе- ний в прямых каналах при больших числах Гартмана ний. Наиболее важным с точки зрения практического (Ha 1), который впоследствии был уточнен [9] и применения является случай прямого канала прямо- обобщен на случай кольцевых каналов [10].

угольного сечения, так как он лежит в основе МГД гене- Несмотря на эти попытки, до сих пор не найдераторов, электромагнитных насосов, систем охлаждения но удовлетворительного аналитического приближения, ядерных реакторов и т. д. Интерес к течениям в кольце- описывающего течения при любых числах Гартмана в вых каналах возник не так давно и обусловлен попыт- прямых и кольцевых каналах прямоугольного сечения со ками исследовать так называемую магниторотационную стенками произвольной проводимости. Поэтому главную неустойчивость (МРН) в лабораторных условиях [1,2].

роль здесь играют численные методы.

Впервые открытая Е.П. Велиховым [3] МРН, по всей Для расчета стационарных МГД течений в каналах видимости, играет значительную роль в динамике таких прямоугольного сечения были разработаны многочисастрофизических объектов, как аккреционные диски и ленные коды, основу которых составляют прямые спекспиральные галактики [4]. В последнее десятилетие тральные методы, т. е. разложение неизвестных величин появилось значительное количество работ, посвященных по некоторому базису и вычисление коэффициентов как аналитическому, так и численному моделированию разложения. К таковым можно отнести метод конечных различных аспектов МРН. Однако до сих пор не было элементов (см., например, [11] и ссылки в ней), метод прямых наблюдений этой неустойчивости ни в природе, конечных объемов [12,13], метод дифференциальных ни в лабораторных экспериментах.

квадратур [14]. Эти методы в принципе не накладывают С целью лабораторного исследования МРН недавно ограничений на значения чисел Гартмана и допускают был предложен эксперимент [5], в котором жидкий обобщение на нестационарный (динамический) случай.

натрий, помещенный в сильное магнитное поле, приво- Цель данной работы — демонстрация нового кода дится во вращение поперечным электрическим током.

для расчета течений жидких металлов в каналах прямоСоздание соответствующей экспериментальной установ- угольного сечения. Первоначально код разрабатывался ки с кольцевым каналом прямоугольного сечения плани- с целью определения структуры стационарных МГД теруется в Физико-энергетическом институте (г. Обнинск) чений жидкого натрия в экспериментальных установках в содружестве с Курчатовским институтом. Определение по изучению МРН, впоследствии он был адаптирован характеристик стационарных МГД течений при планиру- к расчету течений в прямых каналах. Основу кода соемых параметрах установки является стартовой точкой ставляет итерационный метод Гаусса–Зейделя решения для исследования МРН. уравнений эллиптического типа. Этот метод содержит Теоретическому анализу стационарных МГД течений положительные свойства, присущие всем итерационным в каналах прямоугольного сечения посвящен ряд работ. схемам, такие как относительная простота схемы, гладТак, Брагинский [6] разработал для описания тече- кость получаемого решения, необходимость хранения в ний гальваническое приближение, которое справедливо памяти на каждом шаге только O(N2) чисел, где N — К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах... число узлов сетки в каждомнаправлении. Вто же время быстродействие данного метода составляет O(N3), что сравнимо с самыми быстрыми прямыми спектральными методами, для которых быстродействие определяется как O(N2 ln N). Анализ устойчивости и сходимости предлагаемого метода мы оставляем за рамками данной статьи.

Структура статьи следующая. В разделе 1 приведены уравнения, описывающие стационарные течения жидких металлов, и формулируются граничные условия к ним. Затем эти уравнения рассмотрены в геометрии Рис. 1. Кольцевой канал.

кольцевого канала и приводятся к виду, удобному для численного счета. В разделе 2 изложены характерные особенности разработанного численного метода. В разЗдесь приняты типичные обозначения: V —поле скороделе 3 приведены результаты расчетов профилей скоростей жидкости, B — полное магнитное поле (внешнее сти и магнитного поля для параметров проектируемой и индуцированное), — электрический потенциал, установки по изучению МРН. В разделе 4 сделаны J — плотность электрического тока, P — давление, выводы о применимости данного численного метода к c — скорость света в вакууме. Физический смысл этой расчету течений.

системы достаточно очевиден. Уравнение (1), описывающее баланс сил, является уравнением Навье–Стокса 1. Постановка задачи с учетом силы Лоренца. Уравнение (2) задает условие несжимаемости жидкости. Уравнения (3), (4) — это Рассмотрим задачу об отыскании стационарных (полуравнения Максвелла для магнитного поля, а уравненостью развившихся) течений несжимаемой диссипание (5) представляет собой закон Ома в движущейся тивной жидкости в кольцевом канале прямоугольного среде.

сечения (рис. 1). Канал представляет собой осесимметДля дальнейшего анализа этих уравнений оказывается ричный тороид, ось симметрии которого совпадает с удобным перейти к безразмерным величинам таким осью Z цилиндрической системы координат (R,, Z).

образом, что Также сделаем следующие предположения: 1) жидкость однородна, обладает постоянными во всем объеме плотV = V0v, B = B0b, R = ar, ностью, кинематической вязкостью и проводиVмостью ; 2) жидкость полностью заполняет канал;

P = V0 p, = aB0, 3) боковые стенки канала (R = R±) идеально проводяc щие, дно и крышка (Z = ±a) — изоляторы; 4) канал погде V0 — характерная скорость жидкости, B0 — внешнее мещен во внешнее однородное магнитное поле, которое магнитное поле, R — радиус-вектор, a — полувысота направлено вдоль оси Z: B0 = B0 eZ; 5) электрический канала.

ток подводится к жидкости через внешнюю (R = R+) и Тогда система (1)–(5) переписывается как отводится через внутреннюю (R = R-) боковые стенки.

Нетрудно видеть, что эти предположения не нару(v)v = -p + Re-1 v + Al rot b b, (6) шают осевой симметрии, связанной с геометрией канала. Данное обстоятельство позволяет нам существенно div v = 0, (7) упростить задачу и свести ее к отысканию двумерных = v b - Re-1rot b, (8) m течений.

Стационарные течения несжимаемых проводящих вязdiv b = 0, (9) ких жидкостей в магнитном поле описываются уравгде введены следующие безразмерные параметры:

нениями стандартной диссипативной МГД (см., например, [15]) aV0 4 aV0 BRe =, Rem =, Al = P c2 4V(V)V = - + V + J B, (1) c — число Рейнольдса, магнитное число Рейнольдса и div V = 0, (2) число Альфвена соответственно.

При этом границами канала будут боковые стенки :

rot B = J, (3) c r = r± = R±/a, крышка и дно : z = ±1.

div B = 0, (4) Для однозначного определения входящих в систему (6)–(9) неизвестных величин необходимо задать граJ = (- + V B). (5) ничные условия. Стандартное гидродинамическое услоc Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 30 И.В. Хальзов, А.И. Смоляков вие состоит в требовании обращения в нуль скорости Тогда уравнения (6) и (8) в проекции на азимутальное вязкой жидкости на неподвижных твердых стенках [16] направление () дают соответственно V|, = 0. (10) 1 1 1 [, u] = u + Al(I z + [, I]), (16) r Re r Граничные условия для электрического тока определяются проводимостью стенок. На непроводящих стенках 1 0 = z + [, ] +, (17) при Z = ±a мы имеем r Rem JZ|Z=±a = где введены обозначения — отсутствие нормального тока на поверхности изоля f g f g 1 [ f, g] -, = r + тора.

r z z r r r r z На идеально проводящих стенках должно выполняться условие эквипотенциальности ( = const вдоль стенки), Исключим неизвестные p и из уравнений (6) и (8), что означает отсутствие тангенциальной компоненты взяв от них ротор. Имеем электрического поля (Et = 0). В этом случае закон Ома (5) и условие (10) дают u r, + r, u = - r2 r2 Re Jt|R=R = 0, ± I где Jt — тангенциальная компонента плотности тока.

+ Al - z + r, + r, I, (18) r2 rПереписывая два последних условия с учетом (3) в безразмерном виде, имеем u I 0 = u z + r, + r, + I. (19) (rot b)z | = 0, (11) 2 r2 r2 Rem (rot b)t| = 0. (12) Таким образом, мы получили систему четырех нелинейных уравнений (16)–(19) с четырьмя неизвестными Кроме того, отсутствие тангенциального тока на бофункциями, u,, I. Граничные условия (10)–(13) для ковых поверхностях канала приводит к непрерывности этой системы имеют вид тангенциального магнитного поля на этих поверхностях, что следует из уравнения Максвелла (3). Это условие u|, = 0, (20) 1 и условие непрерывности нормальной компоненты магнитного поля на дне и крышке канала дают (с учетом обезразмеривания) |, = 0, (21) 1 bz |, = 1. (13) 1 I r|, = 0, (22) 1 Будем решать систему уравнений (6)–(9) с граничr|, = 0. (23) 1 ными условиями (10)–(13) в геометрии кольцевого канала (рис. 1), предполагая наличие осевой симметрии Заметим, что граничные условия (21) и (23) опре(/ = 0). В этом случае оказывается удобным перейти деляют потоковые функции и c точностью до к представлению поля скоростей и магнитного поля в константы. Чтобы устранить эту неоднозначность в таком виде, что уравнения (7) и (9) выполнены автомачисленном счете, заметим, что геометрия задачи предпотически, а именно вводим потоковые функции (r, z ) и лагает также симметрию относительно плоскости z = 0, (r, z ) так, что следовательно, искомые функции должны быть либо симметричными, либо асимметричными относительно v = (r, z ) + u(r, z ), (14) этой плоскости. В дальнейшем считаем, что —четная, b = ez + (r, z ) + I(r, z ). (15) а — нечетная функции z. Это предположение не противоречит граничным условиям (21) и (23), а также Здесь u(r, z ) имеет смысл обезразмеренного углового согласуется с системой (16)–(19), в которой u является момента импульса четной, а I нечетной функциями z. Нечетность I в свою очередь обоснована простыми физическими соображениRV (R, Z) u(r, z ) =, ями, согласно которым индуцированное магнитное поле Mв проводниках с током, обладающих плоскостью симгде V (R, Z) — тороидальная скорость, M0 — характер- метрии, должно быть антисимметричным относительно ная величина углового момента, R = ar, Z = az. этой плоскости.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. К расчету стационарных магнитогидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналах... Найдем связь между функцией I и пропускаемым через жидкость электрическим током. Плотность тока есть c cB0 cBJ = rot B = rot b = (- + I ).

4 4a 4a Отсюда видно, что I(r, z ) является потоковой функцией для плотности тока, т. е. в плоскости r-z ток течет по линиям I(r, z ) =const. Полный радиальный ток в произвольном сечении R = const a cRB0 1 I z -I0 = 2R JRdZ = - dz 2 r -a -caB= - (I|z =1 - I|z =-1), Рис. 2. Профиль функции u(z ) =(ch Ha - ch(Ha z ))/sh Ha при различных числах Гартмана Ha.

причем I0 > 0 соответствует току, текущему от внешней стенки канала к внутренней.

В силу нечетности I по z получаем которое дает II|z =1 =. (24) caBIM0 aV0 =. (27) Чтобы найти характерную величину углового момента M0, рассмотрим течение в центральной части Интересно отметить, что характерное значение углоканала вдали от боковых стенок. В этом случае можно пренебречь радиальной зависимостью параметров те- вого момента не зависит от величины магнитного поля.

чения, т. е. можно предположить, что /r 0. Тогда Объяснение этого факта приведено в [6].

уравнения (16) и (19) сводятся к системе Для получения системы, удобной для численного счета, сделаем следующие преобразования: x = r2, 0 = u zz + AlI z, u(r, z )=v(x, z ), (r, z )=w(x, z ), I(r, z )=Remh(x, z )/Ha, Re (r, z ) =Remg(x, z )/Ha. Тогда система (16)–(19) приводится к виду 0 = u z + I zz ;

Rem 0 = v + Hah z + 2Rem{g, h} + 2Re{v, w}, (28) решением которой с учетом граничных условий (20) и (24) являются функции:

I0Ha chHa - ch(Ha z ) 0 = h + Hav z u(z ) =, (25) caB0Rem shHa hw z vg z + 2Rem {h, w}- + {g, v} +, (29) I0 sh(Ha z ) x x I(z ) =, (26) caB0 shHa где введено число Гартмана Ha:

0 = g + Haw z + 2Rem{g, w}, (30) a2BHa2 AlReRem =.

cg z g hh z 0 = w + Ha g z + 2Rem {g, g} + + На рис. 2 показана зависимость профиля функции, x x стоящей в квадратных скобках в выражении (25), от значений числа Гартмана. Видно, что при Ha 1 проw z w vv z - 2Re {w, w} + +, (31) филь углового момента u(z ) имеет типичную „полочку“ x x в центральной области (ее значение близко к 1). Это позволяет нам определить характерные величины скорогде введены обозначения сти и углового момента из условия I0Ha f g f g 2 = 1, { f, g} -, = 4x +.

caB0Rem x z z x x2 z Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 32 И.В. Хальзов, А.И. Смоляков Граничные условия к этим уравнениям с учетом чет- Это уравнение является основой для формированости g и нечетности w по z запишутся как ния различных итерационных алгоритмов. Если известно некоторое начальное приближение сеточной функv|x=r2 = 0, v|z =±1 = 0, (32) ции i, j, то уравнение (41) можно использовать для ± улучшения этого приближения. Это приводит к итераh x|x=r2 = 0, h|z =±1 = ±1, (33) ционному алгоритму Якоби ± g x|x=r2 = 0, g|z =±1 = 0, (34) n+1 n n n n ± i, j = (i+1, j + i-1, j + i, j+1 + i, j-1 - s2 f ), i, j w|x=r2 = 0, w|z =±1 = 0, (35) (42) ± где n обозначает номер итерации.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.