WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

В проведенном анализе бросается в глаза то обстоятельство, что все решения дисперсионного уравнения для жидкости любой конечной глубины определены на верхнем листе римановой поверхности и теоретически могут быть наблюдаемы. В случае же жидкости бесконечной глубины имеются и ненаблюдаемые решения, определяемые на нижнем листе двулистной римановой поверхности.

5. Численный анализ дисперсионного уравнения (22) показывает, что оно имеет бесконечное однопараметрическое семейство решений (количество ветвей с номерами, большими 3, и с ординатами, увеличивающимися по абсолютной величине по мере увеличения номера ветви бесконечно) (рис. 1) в отличие от дисперсионного уравнения для жидкости бесконечной глубины [9], спектр капиллярных движений которой описывается кривыми 1–3 на рис. 1. С математической точки зрения это обстоятельство связано с появлением в рассматриваемой ситуации в дисперсионном уравнении гиперболических Рис. 4. Зависимости вещественной и мнимой компонент s от функций от комплексной частоты. С физической точки глубины слоя жидкости d для k = 1, b = 10, = 0.1, W = 1.9.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № 32 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов, Д.Ф. Белоножко соответствует ситуации, когда капиллярное волновое движение с данным волновым числом отсутствует, ниже кривой оно существует. Как видно из графика, влияние толщины слоя становится заметным при d < и слабо сказывается при d >.

Заключение Из вышеприведенного анализа следует, что утоньшение заряженного слоя жидкости до толщины, сравнимой с рассматриваемой длиной волны, приводит к увеличению декрементов всех затухающих движений жидкости и к снижению инкремента НТФ. Уменьшение толщины Рис. 5. Зависимости вещественной компоненты s от глубины слоя жидкости d для k = 1, b = 10, = 0.1, W = 2.02. слоя жидкости приводит также к сужению спектра реализующихся в нем волновых движений за счет ограничения как со стороны высоких, так и со стороны низких значений волновых чисел. Сужается и спектр значений волновых чисел, характеризующих движения, принимающие участие в реализации неустойчивости Тонкса–Френкеля.

Волновое число наиболее неустойчивой моды увеличивается с увеличением напряженности электрического поля у поверхности жидкости и с уменьшением толщины слоя.

Приложение А Решим задачу о расчете электрического давления на поверхность слоя жидкости в вышеописанной геометрии.

Математическая формулировка задачи расчета электрического поля между электродами имеет вид (7)–(10).

Известный факт отсутствия электрического поля в проводнике позволяет сразу принять, что в жидком слое потенциал электрического поля 1 = const = 0. Поэтому Рис. 6. Зависимости вязкости от толщины слоя жидкости, при решаемая задача редуцируется к более простой задаче которой прекращается капиллярное волновое движение, при b = 10, W = 0; k = 1 (1), 10 (2). определения электрического потенциала 2 в области между возмущенной поверхностью жидкости и плоским противоэлектродом На рис. 4, 5 приведены зависимости комплексной 2 = 0, (A1) частоты от глубины слоя жидкости d для k = 1 при докритическом (W = 1.9) и закритическом (W = 2.02) z = : 2 0, (A2) значениях электрического поля у поверхности жидкости.

Видно, что и инкремент НТФ, и частоты капиллярных z = b : 2 V. (A3) волн, и декременты затухания апериодических вихреБудем искать 2 в виде вых движений жидкости зависят от d. Причем эта зависимость наиболее существенна при d < 2. Рас2 =(0) +(1), (A4) четы зависимости комплексной частоты от вязкости в докритическом и закритическом режимах показывают, где (0) — стационарное решение, получающееся при что с увеличением вязкости декременты затухающих 0; (1) — малая добавка к (0), происходящая издвижений растут и инкремент НТФ убывает.

за деформации поверхности (x, t) и имеющая тот же Тот факт, что на условие существования капиллярных порядок малости.

волн влияют и вязкость, и толщина слоя, подтверждает Раскладывая граничное условие (A2) в окрестности и зависимость, приведенная на рис. 6, которая для невозмущенной поверхности жидкости z = 0в линейном k = 1 (кривая 1) и 10 (кривая 2) при фиксированной по и (1) приближении толщине слоя определяет характерную вязкость полного исчезновения капиллярного волнового движения. Гео(0) z = 0 : (0) +(1) + 0 (A5) метрическое место точек, находящихся выше кривой, z Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса–Френкеля слоя жидкости... и подставляя (A4) в (A1), (A3), (A5), несложно полуxy =yz =yy = 0, xz = E0ik.

чить задачи для нахождения потенциалов в нулевом (0) Принимая во внимание, что орт n нормали к вози в первом (1) приближениях мущенной волновым движением плоской свободной по(0) = 0, (A6) верхности жидкости в линейном по малому параметру приближении записывается в виде z = 0 : (0) 0, (A7) n = iknx + nz, z = b : (0) V, (A8) (1) = 0, (A9) и сохраняя слагаемые нулевого и первого порядков малости, несложно получить выражение для плотности (0) z = 0 : (1) -, (A10) потока импульса, втекающего в жидкость (т. е. для силы, z действующей на единицу площади поверхности), z = b : (1) 0. (A11) EЯсно также, что (1) следует искать в классе функций iknk = iknx + 1 + 2kcth(kb) nz.

ограниченных и периодических по x.

Решение задачи нулевого приближения имеет вид Умножая скалярно этот вектор на вектор нормали n, в линейном по приближении легко найти выражение (0) = -E0z, E0 = -V/b. (A12) для давления электрического поля на свободную поверхность жидкости в рассматриваемой системе электродов, Решение задачи первого приближения ищем в форме происходящее из-за возмущения (x, t), (1)(x, z, t) =(1)(x, z) exp(mt), EPE() = 1 +2kcth(kb). (A19) что после подстановки в (A9)–(A11) дает E(1) = - sh k(z - b). (A13) Список литературы sh(kb) Окончательно решение задачи (A1)–(A3) с точностью [1] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994.

№ 3. С. 3–22.

до малых первого порядка имеет вид [2] He J., Miskovsky N.M., Citler P.H., Chung M. // J. Appl. Phys.

E1990. Vol. 68. N 4. P. 1475–1482.

=-E0z + sh[k(z - b)]. (A14) sh(kb) [3] Surgy N.G., Chabrerie J.-P., Denoux O., Wesfreid J.E. // J.

Phys. II (France). 1990. Vol. 3. N 8. P. 1201–1225.

Для проекций вектора напряженности электрического [4] Grigor’ev A.I., Munichev M.I., Shiryaeva S.O. // J. Coll. Int.

поля на оси, необходимых для записи выражения для Sci. 1994. N 166. P. 267–274.

давления электрического поля на поверхность жидкости, [5] Лазарянц А.Э., Григорьев А.И. // ЖТФ. 1990. Вып. 60. № 6.

найдем С. 29–36.

ikE[6] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ФизматEx = - sh[k(z - b)], (A15) гиз, 1959. 699 с.

sh(kb) [7] Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных kEсред. М.: Наука, 1992. 661 с.

Ez = E0 + ch[k(z - b)]. (A16) sh(kb) [8] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980.

В окрестности невозмущенной поверхности жидкости 976 с.

z = 0 необходимые для работы с динамическим гра[9] Григорьев А.И., Григорьев О.А., Ширяева С.О. // ЖТФ.

ничным условием компоненты вектора напряженности 1992. Вып. 62. № 9. С. 12–21.

электрического поля на возмущенной поверхности запишутся в виде Ex = ikE0, (A17) Ez = E0 1 + kcth(kb). (A18) Эти величины определят компоненты максвеловского тензора напряжений ik = EiEk - E2ik на возмущенной поверхности жидкости E0 -zz =xx = - + E0kcth(kb), 4 3 Журнал технической физики, 1997, том 67, №

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.