WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 11 01;03 Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации © А.В. Латышев, В.Н. Попов, А.А. Юшканов Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 163002 Архангельск, Россия e-mail: avlatyshev@comail.ru (Поступило в Редакцию 12 июля 2004 г.) Представлены результаты, полученные с использованием точных аналитических методов в задаче о скольжении молекулярного газа вдоль твердой сферической поверхности с учетом коэффициентов аккомодации двух первых моментов функции распределения. В качестве основного уравнения использовано обобщение БГК модели кинетического уравнения Больцмана на случай вращательных степеней свободы.

Введение ротатор, вращающийся в плоскости, перпендикулярной вектору вращательного момента молекулы M. В реальОписание молекулярных газов носит принципиальных физических задачах функцию распределения можно но более сложный характер, чем описание простого считать не зависящей от ориентации оси симметрии (одноатомного) газа [1]. Описание состояния простого молекулы в этой плоскости [2], поэтому вращатель(однооатомного) газа полностью исчерпывается заданое движение молекулы двухатомного газа полностью нием функции распределения как функции координат описывается заданием модуля вектора вращательного центров инерции молекул r и их скоростей v. В случае момента M = J (здесь J — модуль момента инерции молекулярного газа добавляется зависимость функции молекулы газа). Учитывая сказанное выше, функция f eq распределения от вращательных и колебательных стев случае двухатомного газа может быть записана в виде пеней свободы молекул. За исключением сверхнизких 3/2 температур, описание вращательных степеней свободы m J m(v - u)2 J2 f = neq - -, eq молекулярных газов всегда классично. Описание коле2kBTeq kBTeq 2kBTeq 2kBTeq бательных степеней свободы всегда квантовано. Однако для достаточно широкого диапазона температур (порядneq = f dd3v, u = v f dd3v, (2) ка 10–1000 K) можно считать, что колебательные степеneq ни свободы не возбуждены и молекулы газа находятся в основном энергетическом состоянии [2]. 2 m(v - u)2 JTeq = + f dd3v. (3) В качестве основного уравнения в кинетической тео5kBneq 2 рии разреженного газа используется уравнение БольцЗдесь m — масса молекул газа, kB — постоянная Больцмана [2], точные решения которого ввиду нелинейности мана. Возьмем стационарное БГК уравнение, записанное стоящего в его правой части пятикратного интеграла в сферической системе координат [3] с оператором столкновений в общем случае получить не представлястолкновений (1) ется возможным. В связи с этим при решении многих задач используется не само уравнение Больцмана, а его f v f v f vr + + модели. Наиболее простой моделью интеграла столкноr r r sin вений является интеграл столкновений в форме БГК v2 + v2 v2 ctg - vrv f f I( f ) =0( f - f ). (1) eq + + r vr r v Здесь f — функция распределения молекул газа, f — eq vvctg + vrv f локально-равновесный максвеллиан, 0 — столкнови- = 0( f - f ). (4) r v eq тельный параметр модели. В случае многоатомных газов f и f являются функциями координат центров eq Будем считать, что выполняются неравенства инерции молекул газа r, а также скоростей их поступательного v и вращательного движения.

|T /T0 - 1| 1, |lnT | 1, Обобщение БГК модели кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов, когда вращаm/2kBT0ueq 1, тельное движение классично, а колебательные степени свободы „заморожены“, может быть получено исходя где T0 — температура в начале координат, —длина из следующих соображений. Рассмотрим случай двух- свободного пробега молекул, ueq — среднемассовая атомного газа. Молекула такого газа представляет собой скорость движения газа.

Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности... Тогда функцию распределения можно записать в виде В случае многоатомного газа (число атомов в молекуле N 3) функция распределения зависит не только f (r, v, ) = f (v, )[1 + Y (r, v, )]. (5) от вектора вращательного момента молекулы M, но и от углов, определяющих ориентацию осей молекулы Здесь f — равновесная функция распределения с относительно вектора M [2]. Поэтому в этом случае параметрами, заданными на обтекаемой поверхности, 3/m (J1J2J3)1/ f = neq eq 3/2kBTeq (2kBTeq)3/m J mv2 Jf (v, ) =ns exp - -, 2kBTs kBTs 2kBTs 2kBTs 3 mv2 Jii i= exp - -, 2kBTeq 2kBTeq ns и Ts — плотность и температура газа на поверхности.

Учитывая (2), (3) и (5), находим neq = f d3d3v, u = v f d3d3v, neq -5/n T f = f (v, ) 1 + 1 + eq 2 m(v - u)2 Jns Ts Teq = + f d3d3v, 5kBneq 2 mvu mv2 + J2 T 3/ exp + m (J1J2J3)1/kBTs 2kBTs Ts f (v, ) =ns 2kBTs (2kBTs)3/n mvu mv2 + J2 5 T 3 = f (v, ) 1 + + + -, mv2 Jii i=ns kBTs 2kBTs 2 Ts exp - -. (8) 2kBTs 2kBTs (6) Здесь Ji (i = 1-3) суть компоненты вектора момента n = f (v, )Y (r, v, )dd3v, 0 инерции молекул газа. Проводя с учетом (5) линеаризацию (8), после перехода к безразмерным величинам, как и в случае двухатомного газа, приходим к уравнению (7) 2 mv2 JT = + f (v, )Y (r, v, )dd3v.

0 с той лишь разницей, что для многоатомного газа 5kBns 2 l = 5/2, d = -3 exp(-C2 - 2)d3d3C. Таким обраПодставляя (5) и (6) в (4), после перехода к безраз- зом, обобщение БГК модели уравнения Больцмана на случай молекулярных газов построено и имеет вид (7).

мерным величинам приходим к уравнению Целью представленной работы является вычисление на основе обобщения БГК модели уравнения Больцмана Y Y C Y Cr + Y(r, C, ) +k C + на случай молекулярных газов с использованием двухr sin моментного аккомодационного граничного условия [4] скорости скольжения молекулярного газа вдоль тверY Y +(C2 + C2 ) +(C2 ctg - CrC) дой сферической поверхности малого радиуса кривизны Cr C (0.01 < Kn = /R < 0.4). Здесь Kn — число Кнудсена, R — размерный радиус аэрозольной частицы.

Y - (CCctg + CrC) Для молекулярного газа двухмоментное аккомодациC онное граничное условие записывается в виде Y (r, C, ) s = 2d1C + 2d2CrC, Cr > 0, = k(C,, C ; )Y (r, C, )d. (7) где d1 и d2 находятся из условий Здесь l = d = 2-3/2 exp(-C2 - 2)dd3C, k = 2, = 3Kn/(3 Pr) при описании изотермического сколь(1 - q1) f (r, C, ) sCrCdg жения и k = 2Kn/( Pr) при описании теплового, Cr + (C2 + 2 - l - 1/2)(C 2 + 2 - l - 1/2), l + 1/(1 - q2) f (r, C, ) sC2Cdg = f (r, C, ) sC2Cdg.

r r C = v m/2kBTs, = J/2kBTs, r = 3 Pr/(4)r Cr,0 Cr >при описании изотермического скольжения и r = Здесь dg = 2-3/2dd3C для двухатомного газа и = Pr/(2)r при описании теплового скольжения, dg = -3d3d3C для многоатомного, = g(m/2kBTs )1/2, g — кинематическая вязкость газа, Pr — число Прандтля. f (r, C, ) s = f (C, )[1 + Y (r, C, ) s].

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 28 А.В. Латышев, В.Н. Попов, А.А. Юшканов Для случая простого (одноатомного) газа задача в температуры на поверхности частицы, а вторая — к тептакой постановке решена в [5]. Случай обтекания по- ловому скольжению газа вдоль ее поверхности. Предповерхности прямого кругового цилиндра рассмотрен в [6]. ложим, что нормальная к поверхности компонента граПри q1 = q2 = использованное в работе граничное диента температуры не постоянна, а медленно меняется условие с высокой степенью точности аппроксимирует вдоль поверхности частицы. Таким образом, в задаче зеркально-диффузное граничное условие Максвелла. Как отлична от нуля величина 2T /r, которая приводит показывают приведенные в [5] расчеты, отличие полу- к дополнительному скольжению газа вдоль поверхности ченных с использованием данного граничного условия частицы (так называемому тепловому скольжению втозависимостей коэффициентов теплового и изотерми- рого порядка).

ческого скольжений разреженного газа вдоль твердой Предположим далее, что касательная к поверхности плоской поверхности от коэффициента аккомодации тансоставляющая массовой скорости газового потока не генциального импульса от аналогичных результатов, постоянна, а медленно меняется вдоль направления норприведенных в [7], не превышает соответстенно 0.мали к поверхности. Наличие неравномерности распреи 0.005% для всего диапазона чисел.

деления массовой скорости в слое Кнудсена приводит Отметим, что, несмотря на всю свою простоту, к скольжению газа вдоль поверхности, называемому БГК модель уравнения Больцмана корректно описывает изотермическим скольжением. К сожалению газа вдоль скольжения первого порядка (скольжения разреженного поверхности, называемому барнеттовским скольжением, газа вдоль твердой плоской поверхности). Так, получен- приводит и наличие объемных температурных напряженые на ее основе с использованием точных аналити- ний. Таким образом, в задаче отличны от нуля величических методов значения коэффициентов теплового и ны k1 = U/r|, k2 = lnT /|, k3 = 2T /r| и изотермического скольжений одноатомного газа вдоль k4 = Tr/2T |.

твердой плоской поверхности в точности совпадают Следуя [9], Y (r, C, ) ищем в виде разложения по с аналогичными значениями, полученными с испольпараметру k зованием ЭС (эллипсоидально-статистической) модели, которая в отличие от БГК модели при переходе к Y (r, C, ) =Y1(r, C, ) +kY2(r, C, ) +.... (9) гидродинамическому пределу дает истинное значение числа Прандтля для одноатомных газов, равное 2/3:

Учитывая (9), в ряд по параметру k будут разложе(0) KTS = 1.149996, C(0) = 1.14665627. Для сравнения в [8] m ны и гидродинамические характеристики потока газа.

на основе линеаризованного уравнения Больцмана для В частности, касательная к поверхности частицы комгаза, молекулы которого рассматриваются как жесткие понента массовой скорости U (0) сферы, получено KTS = 1.00217, C(0) = 1.11132. Знаm (1) (2) чения коэффициентов скачков температуры CT равны U = U + kU +.... (10) соответственно для БГК модели 2.2037, для модели, (0) использованной в [8], — 2.12703. Отличие KTS связано Подставляя (9) в (7) и приравнивая слагаемые при с различными подходами при определении связи между k, приходим к уравнению для нахождения функций средней длиной свободного пробега молекул газа и его Y1(r, C, ) и Y2(r, C, ) кинематической вязкостью, использованными при обезYразмеривании физических величин в представленной Cr + Y1(r, C, ) = k(C, ; C, )Y1(r, C, )d, r работе и в [8]. При вычислении C(0) и CT данная связь m (11) не используется и различия не превышают соответственYно 3.17 и 1.69%.

Cr + Y2(r, C, ) = k(C, ; C, )Y2(r, C, )d r Y1 Y1. Постановка задачи. Вывод - (C2 + C2 ) +(C2 ctg - CrC) Cr C основных уравнений Рассмотрим сферическую аэрозольную частицу, взвеY1 Y- (CCctg + CrC) - C. (12) шенную в потоке разреженного молекулярного газа.

C Свяжем с центром кривизны поверхности сферическую систему координат, полярная ось которой направлена Решение уравнение (11) и (12) ищем в виде вдоль градиента температуры вдоли от поверхности.

Предположим, что вдали от поверхности задан постоY1(r, C, ) =C1(x, Cr ) янный градиент температуры T. Вследствие неоднородности распределения температуры в объеме газа на + C(C2 + C2 + 2 - l - 1)2(x, Cr ) поверхности частицы будут отличными от нуля величинами T/r и T /. Первая из них приводит к скачку +[3(x, Cr ) +(C2 + 2 - l - 1/2)4(x, Cr )]k2, (13) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Вычисление скорости скольжения молекулярного газа вдоль сферической поверхности... Y2(r, C, ) =C1(x, Cr ) +C(2 - l + 1)2(x, Cr ) Таким образом, задача о вычислении скорости скольжения молекулярного газа с использованием двухмо ментного аккомодационного условия сводится к ре+ bk(C, C)k(x, Cr, ), (14) шению уравнений (15), (16) с граничными условияk=ми (17)-(19).

где x = r - R, 3(x, Cr ) и 4(x, Cr ) — функции, построенные в задаче о температурном скачке [10];

2. Основные результаты 2 = 1/(l + 1/2); bk(C, C) в совокупности с C образуют в пространстве скоростей полную систему ортоСистема уравнений (15), (16) с граничными условигональных с весом exp(-C2) многочленов; в качестве ями (17)–(19) решена с использованием метода элетакой системы ортогональных многочленов можно взять ментарных решений (метода Кейза) [11]. Учитывая широко используемые в кинетической теории газов разложение (10) и результаты, полученные в [12–14], полиномы Эрмита [3].

искомая скорость скольжения разреженного газа вдоль Подставляя (13) и (14) в (11) и (12), после интегрисферической поверхности с учетом коэффициентов аккорования в правых частях полученных уравнений по C, модации первых двух моментов функции распределения C и приходим к системе уравнений для нахождения записывается в виде i(x, µ) и i(x, µ) (i = 1, 2), µ = Cr (1) (2) U|s = kU |s + k2U |s +..., 1 (1) µ + 1(x, µ) = exp(- )1(x, )d, (15) U |s = isk1 + T k2 + Bk4, x µ (2) U |s = 1k1 + 2k2 + 3k3, (q-1 - 1)( + Q1/2) - (1 - /4)Qis =(2 - q2), µ + 2(x, µ) =0, x 1 - /4 +(1 - q2)(1 + /4 + 4Q1) T = 1 µ + 1(x, µ) = exp(- )1(x, )d (2- q2)(1- /4)(Q2 +1/2)/2-(1-q2)( Q1/2+/4) x µ -, 1 - /4 +(1 - q2)(1 + /4 + 4Q1) B =(2 - q2) 1 + µ1(x, µ) - 2 + 2µ2(x, µ) - µ µ (2Q3 - Q1)(1 - /4) - (q-1 - 1)(2 + Q1), 2(1 - /4)(2 - q2) + (1 - q2)( + 2Q1) - [3(x, µ) +(µ2 + 1/2)4(x, µ)]k3, 1 = -, 2 µ + 2(x, µ) =4µ2(x, µ) - 2. (16) (2 - q2)(1 - /4) x µ =, (2 - q2)(1 - /4) + 4(1 - q2)(Q1 + /2) Граничные условия для функций i(x, µ) и i(x, µ) 2 = [Q3 + Q1Q2], (i = 1, 2) с учетом принятого способа линеаризации 3 = 0.5[(Q2 - 1/2)T + Q1 - 2Q3 - n]. (20) функции распределения (5) и вида разложений (13) и (14) запишем в виде Здесь Q1 = -1.01619, Q2 = -1.2663, Q3 = -1.суть лоялковские интегралы [15]. Для двухатомных (1) 1(, µ) =2U s -2µk1 газов T = 1.2168, n = -0.6716. Для многоатомных T = 1.1914, n = -0.6525. Таким образом, для двух1 атомных газов 3 = 0.5740, а для многоатомных - µ2 - k2 - 2µ µ2 - k4, (17) 2 3 = 0.5873.

Переходя в (20) к размерным величинам и записывая (1) (1) 1(0, µ) =2d1 + 2µd2, µ > 0, (18) в виде, принятом в кинетической теории разреженного газа, находим 2(, µ) =-k2, 2(0, µ) =0, µ > 0, U (2) (2) (2) U|s =[C(0) - (C(0))C(1)Kn] 1(, µ) =2U s, 1(0, µ) =2d1 + 2µd2, µ > 0, m m m r 2(, µ) =0; 2(0, µ) =0, µ > 0. (19) lnT (0) (0) (i) +[KTS - (KTS ) Kn]g Так как искомые компоненты U |s (i = 1, 2) в разло жении массовой скорости газа на поверхности частицы в ряд по параметру k(10) входят только в граничные 2lnT Tr (0) (0) условия (17), (19), то в дальнейшем можно ограни+(KTS )RgKn - (KTS )BgKn, r 2T читься решением уравнений (15), (16) с граничными условиями (17)-(19). (21) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 30 А.В. Латышев, В.Н. Попов, А.А. Юшканов (0) C(0) = 0.7524Pr-1is, KTS = 2Pr-1T, m C(1) = 0.7403Pr-1, m = 1.5723Pr-1, B = 2.9454Pr-1B.

(0) Здесь (C(0)) = 0.7645Pr-1 и (KTS ) = 0.7662Pr-1 — m значения соответствующих коэффициентов в случае полной аккомодации первых двух моментов функции распределения (q1 = q2 = 1), R = 1.6934Pr-1 для двухатомных газов и R = 1.7299Pr-1 для многоатомных.

Pages:     || 2 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.