WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

родном поле индукцией B0 + Bs(x). На траекториях сиВ случае достаточно глубокой потенциальной ямы стемы (t) =-B(t), B(t) =B0 + Bs(x(t)). В терминах параметры магнитной системы должны удовлетворять канонических переменных гамильтониан неравенству |bs(h)| |bs(0)| H =(1/2)[aa2- + aa1+ +(aa1 - aa2)3], (П2) 1 2 1 (I/a2) 1 +(1 + 4h2/a2)-3/где ± =1 ± i2.

- 2(1 + h2/a2)-3/2 I0/a2 1 - (1 + h2/a2)-3/2.

0 Уравнения движения dak/dt =[ak, H] (k = 1, 2) имеют вид С другой стороны, поскольку b s(0) = 0, то двиdak/dt = -iHknan, (П3) жение по x- и y-координатам в окрестности плоскости z = 0 ограничено при условии b s (0) > 0. Следовагде H11 = 3/2, H12 = -/2, H21 = +/2, тельно, в общем случае частицы могут быть локализоH22 = -3/2.

ваны, если функция bs(z) удовлетворяет неравенствам Найдем вначале решение задачи на собственные зна2b s - (b s)2/b0 > 0, |bs(h)| > |bs(0)|.

чения vn = -Hnkvk. Из уравнения det (H + I) = Излучение частиц из ловушки. Для реализаполучим собственные значения 1,2 = ±0, 0 =/2, ции направленного движения частиц после воздействия где =(2 +2 +2)1/2. Подставляя = 1,2, найдем 1 2 резонансного импульса достаточно включить виток с ортонормированные собственные векторы vn(1) и vn(2) током силой Ic, радиусом r в плоскости z = -H, H > h.

Потенциальная энергия частицы после переворота спи- v1(1) =[( - 3)/2]1/2, v1(2) =-/[2( - 3)]1/2, на приобретает вид W(c)(z) = µ(b0 + bs + bc), где bc(z) = µ0Icr/(2R3), R2 = r2 +(z + H)2, bs(z) — v2(1) = -+/[2(-3)]1/2, v2(2) =[(-3)/2]1/2.

функция (20). Магнитное поле дополнительного витка (П4) играет роль магнитной стенки, отражающей частицы в Можно параметризовать собственные векторы, ввоположительном направлении оси z. Для устранения ра- дя сферические углы и вектора B соотношенидиальной расходимости пучка параметры витка должны ями B1 = B12 cos, B2 = B12 sin, B12 = B sin, удовлетворять условию 2(b s + b c ) - (b s + b c)2/b0 < 0. B3 = B cos, B12 =(B2 + B2)1/2.

1 Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Локализация и излучение частиц магнитной ловушкой Представим гамильтониан (П2) в терминах коорди- касательную к силовой линии, является адиабатическим нат и импульсов H = -iHmnpmqn и произведем КП инвариантом. Среднее значение S = R3C = BC/B.

qk = ak, pk = ia q k = ck, p k = ic, порождаемое Отметим, что КП ak ck задает переход к новому k k производящей функцией F2(q, p, t) =(+)µk p µqk, зави- базису nk n k (k = 1, 2, 3), в котором вектор B сящей от старых координат и новых импульсов. Здесь направлен по орту n 3. Действительно, Eik =(R-1)ik — mµ =[um(µ)] — унитарная матрица, столбцами которой матрица поворота вокруг осей 323 на эйлеровы углы являются собственные векторы матрицы B/2B, совпа- 1 =, 2 =, 3 = 0 [17]. Учитывая (П9), дающие с (П4) с точностью до фазового множителя [16] представим решение уравнения (2) в виде u1(1) = cos(/2) exp(-i/2), S1 =(S1 cos +S3 sin ) cos - S2 sin, S2 =(S1 cos +S3 sin ) sin + S2 cos, u1(2) = - sin(/2) exp(-i/2), S3 = -S1 sin +S3 cos. (П11) u2(1) = sin(/2) exp(i/2), Рассмотрим теперь движение момента в магнитном u2(2) = cos(/2) exp(i/2). (П5) поле индукцией Bt = B0 + Bs(x) +B(t). Полный КП q = F2/ p, pm = F2/qm, порождаемое гамильтониан движения момента Ht = H + h; H — производящей функцией F2, имеет вид qn = nq, гамильтониан (П2), pm = ()+ p µ. Поскольку ()+ =[uk()], то µm k h = -(1/2)[aa2p exp(it) qn = un()q, pm =[um(µ)]p µ. (П6) + aa1p exp(-it)], t t0, (П12) Следовательно, после замены переменных новый где p = bp.

гамильтониан H (q, p, t) = (H + F2/t) равен Пусть b0 |bs|, 0 = b0. Если выполняH = H0 + h ется условие резонанса = 0, то в результате КП H0(q, p, t)=-iHµ p µq, h (q, p, t)=µ p µq, (П7) ak ck bk новый гамильтониан Ht = -(p/2)(bb2 + bb1). (П13) где Hµ = ()+ Hmnn = -µµ, µ(t) =+ k.

1 µm µk КП приводит гамильтониан H0(q, p, t) к диагональной Учитывая (П9) или (П11), получим компоненты векформе H0(q, p, t) =-nccn, или n тора S(t) H0 = -(|c1|2 -|c2|2)/2. (П8) S1 = Re bb2 exp(-it), S2 = Im bb2 exp(-it), 1 Предположим, что индукция магнитного поля S3 =(bb1 - bb2)/2. (П1а) 1 на траекториях системы удовлетворяет условию |µ|, µ, = 1, 2. Тогда H (q, p, t) -nccn.

Начальные условия имеют вид S1(t0) =0, S2(t0) =0, n Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом H, S3(t0) = S0. Тогда решение уравнений, порождаемых представляет собой КП ck bk: c1 = b1 exp(i/2), гамильтонианом (П13), c2 = b2 exp(-i/2), (t) = (t)dt, где b1 = i(2S0)1/2 cos p(t - t0)/2, b1 =(S0 + C)1/2 exp(i/2), b2 =(S0 - C)1/2 exp(-i/2), C и — постоянные интегрирования. Общее решение b2 = -(2S0)1/2 sin p(t - t0)/2.

уравнений (П3) имеет вид an = nc. В результате подстановки an =nc в (П1) получим Sn = Rn()S, Следовательно, компоненты вектора S(t) соответгде Rn() — действительные векторы ( = 1, 2, 3) ственно равны R1(1) = B1B3/BB12, R1(2) = -B2/B12, R1(3) = B1/B, S1(t) =S0 sin[p(t - t0)] sin t, R2(1) = B2B3/BB12, R2(2) = B1/B12, R2(3) = B2/B, S2(t) =S0 sin[p(t - t0)] cos t, R3(1) = -B12/B, R3(2) = 0, R3(3) = B3/B. (П9) S3(t) =S0 cos p(t - t0). (П14) Компоненты вектора S определяются соотношениями Если переменное поле включено в интервал времени (П1) после замены an cn t - t0 =, удовлетворяющий условию p =, то в области t t0 + имеем S1(t) = 0, S2(t) = 0, S1 =(S0 - C2)1/2 cos( + ), S3(t) =-S0. Резонансный ”-импульс” переворачивает магнитный момент. Сделаем два замечания.

S2 = -(S0 - C2)1/2 sin( + ), S3 = C. (П10) 1) Представим уравнение (2) в тензорной форме Поскольку BS = BC, то в квазиоднородном магнитном dSi/dt = AikSk, где Aik = i jkj(t) — антисимметричный поле величина C = BS/B — проекция вектора S на тензор; A21 =3, A32 =1, A13 =2. Тогда векторы Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 30 Ю.Г. Павленко V(1) = (R(1) + iR(2))/ 2, V(2) = [V(1)], V(3) = R(3) представляют собой собственные векторы уравнения Vi = Ai jVj, соответствующие собственным значениям 1 = -i, 2 = i, 3 = 0. Векторы V() образуют ортогональный базис [V()]V() = [8].

2) Уравнения Лагранжа–Эйлера для функционала I = dtL(a, ak, t), k L(a, ak, ) =(i/2)[anda/dt - adan/dt] +H(a, ak, t) k n n k имеют форму уравнений Гамильтона [18]. Существенным достоинством гамильтонова формализма является возможность применения новых методов интегрирования канонических уравнений движения [18–20]. Введение функционала позволяет использовать прямые вариационные методы типа Бубнова–Галеркина.

Список литературы [1] Тошек П.Э. // УФН. 1989. Т. 158. № 3. С. 450–497.

[2] Драбович К.Н. // УФН. 1989. Т. 158. № 3. С. 499–509.

[3] Пауль В. // УФН. 1990. Т. 160. № 12. С. 109.

[4] Pritchard D.E. // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 51. P. 1336.

[5] Petrich W., Anderson M.E., Ensher J.R. et al. // Phys. Rev.

1955. Vol. 74. P. 3352.

[6] Holland M., Burnett K., Gardiner C. et al. // Phys. Rev. A.

1996. Vol. 54. P. 1757.

[7] Gazman A.M., Moore M., Meyste P. // Phys. Rev. A. 1996.

Vol. 54. P. 977.

[8] Yukalov V.I. // Laser Phys. Vol. 7. N 4. 1997. P. 998.

[9] Shore B.W. The Theory of Coherent Atomic Excitation.

New York: Wiley, 1990.

[10] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

[11] Глазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехиздат, 1957.

[12] Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.:

Мир, 1967. 65 с.

[13] Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье.

М.: ИЛ, 1953.

[14] Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.

Т. 1. М.: ИЛ, 1958.

[15] Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Мир, 1967. 101 с.

[16] Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.

Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989.

[17] Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики.

М.: Атомиздат, 1972. С. 324.

[18] Павленко Ю.Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и квантовой механике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1988.

[19] Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987.

[20] Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.