WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 8 02;10 Локализация и излучение частиц магнитной ловушкой © Ю.Г. Павленко Специализированный учебно-научный центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 121357 Москва, Россия (Поступило в Редакцию 11 мая 1999 г.) Рассмотрены три конфигурации магнитного поля, порождающие трехмерные потенциальные ямы для нейтральных атомов и ферромагнитных частиц. Обсуждается возможность формирования направленного пучка частиц.

Введение Уравнения движения частиц и магнитного момента Ионы, охлажденные до сверхнизких температур и локализованные в электромагнитных ловушках, предстаЭнергия взаимодействия частицы с магнитным полем вляют широкие возможности для исследования кванU(t, x) = -µB, где µ = gµBS — среднее значетовых переходов, квантового характера статистики фоние оператора магнитного момента, S — эффективный тонов, оптической бистабильности, проблем создания средний спин, g — фактор Ланде, µB = e /2me, стандартов частоты. Эксперименты с ансамблем чаµB = 5.787 · 10-5 eV/T — магнетон Бора [9]. Для стиц позволили наблюдать формирование упорядоченнейтрона и протона gµB gn,pµN, где gn = -3.826, ных структур и возникновение явлений типа фазовых gp = 5.586, µN = 3.15 · 10-8 eV/T — ядерный магнетон.

переходов [1,2]. Поэтому большое значение приобретает Магнитный момент ферромагнитной частицы µ = MV, анализ проблем локализации, накопления и удержания где M — объемная плотность магнитного момента, V — нейтральных частиц в магнитной ловушке [1,3–5]. Друобъем частицы; Mmax 107 (J/T · cm3).

гой аспект этой задачи связан с возможностью излучения Уравнение движения центра масс атома в квазиодночастиц из ловушки и реализации устройства, получивродном поле следует из уравнения Эренфеста шего название атомный лазер [6]. Излучение частиц может быть стимулировано каким-либо триггерным меmd2x/dt2 = gµBSnBn/x + mg0, (1) ханизмом [7,8].

Движение частицы, обладающей магнитным моменгде g0 — ускорение свободного падения.

том, описывается системой шести нелинейных уравнеУравнение (1) справедливо также для ферромагнитной ний относительно координат центра масс и компонент частицы [10]. Вектор S удовлетворяет уравнению магнитного момента. В настоящей работе предложен новый подход к динамике магнитного момента в магdS/dt = · S, (2) нитном поле. Уравнения движения магнитного момента представлены в гамильтоновой форме с фундамен- где = -B, = gµB/.

тальной скобкой Пуассона комплексных ”координат” и Очевидно, S2(t) = S0 — первый интеграл. Отме”импульсов”. Решение представляет собой канониче- тим, что в электронных системах циклотронная частота ское преобразование, обращающее новый гамильтониан [GHz] =eB/(2me) =27.9922 B [T].

в нуль. Рассмотрено несколько конфигураций постоянно- Рассмотрим движение частицы в магнитном поле, го аксиально-симметричного неоднородного магнитного представляющем собой суперпозицию постоянного акполя, порождающих трехмерные потенциальные ямы, сиально-симметричного поля индукцией Bs(x), постоудерживающие охлажденные частицы в ограниченной янного однородного поля индукцией B0 = (0, 0, b0) и области. Резонансный радиочастотный импульс возбу- высокочастотного магнитного поля индукцией ждает спин–флип переход в состояние инфинитного движения. Здесь возникает проблема перехода к полуогра- B(t) =(bp cos t, -bp sin t, 0) f (t). (3) ниченному режиму движения частиц. Показано, что Функция f (t) = 0 при t < t0, t > t0 + ; f (t) = асимметричная конфигурация поля позволяет получить в интервале t0 t t0 +.

направленный пучок частиц, вылетающих из ловушки.

Для реализации этого эффекта в случае симметричной Вектор-потенциал магнитного поля As(,, z) = ловушки, образованной полем трех кольцевых токов, = (0, A, 0), удовлетворяющий условиям div B = 0, необходим дополнительный виток. rot B = 0, может быть вычислен в цилиндрической 26 Ю.Г. Павленко системе координат в виде ряда A = A(, z) [11] спина S = CB/B, где C = S(0)B/B. В состоянии теплового равновесия C > 0. При понижении температуры A(, z) =bs(z)/2 - 3b s (z)/C S0. Более того, если C = S0, то S(t) = S0B/B.

Следовательно, в этом случае полную энергию частицы +... (-1)n+11/[(n - 1)! n!](/2)2n-1b(2n-2)(z), (4) s можно представить в виде E = mv2/2 - µB(x) - mg0x, где µ = gµBS0.

где =(x2 + y2)1/2, bs(z) — произвольная функция.

Подставляя S = CB/B в (1), получим уравнение Из (4) найдем вектор индукции постоянного неоднородного магнитного поля md2x/dt2 = gµBCB/x + mg0. (9) Bs(x) -(x/2)(b s - b s 2/8), Выберем начало координат на оси магнитной системы, совмещая ее с осью z, направленной вертикально - (y/2)(b s - b s 2/8), bs - (2/4)b s. (5) вверх. Найдем условия, при которых частицы движутся в ограниченной области пространства |z| < L/2,

Уравнение силовой линии постоянного поля индукциПредположим, что |bz| |Bs1|, |Bs2|, bz = b0 + bs(z).

ей B(x) = B0 + Bs(x) имеет вид [A(, z) +b0/2] = Тогда B(x) bz +(2/8) (b z)2/bz -2b z. Из (9) получим = const. Рассмотрим несколько конфигураций неодносистему уравнений родного магнитного поля.

а) Ловушка гиперболического типа. Характерный приmd2z/dt2 = gµBC b z+(2/4)(b zb z /bz-b z ) -mg0, (10) знак этой системы — индукция поля равна нулю на оси z и возрастает при удалении от оси. Пусть md2x/dt2 =(gµBC/4) (b z)2/bz - 2b z x, (11) bs(z) =a1z + a2z2/2 + a3z3/6. (6) md2y/dt2 =(gµBC/4) (b z)2/bz - 2b z y. (12) В параксиальном приближении L в области Первое слагаемое определяет квадрупольное поле, значений, удовлетворяющих условию 2|b zb z /bz второе — поле магнитной бутылки.

-b z | 4|b z|, уравнение (10) можно представить в виде b) Квазипериодическое магнитное поле можно задать функцией bs(z) = b cos kz, где k = 2/, —период md2z/dt2 = -W(z)/z, (13) пространственной структуры. В этом случае где функция W(z) = -gµBCbz(z) +mg0z играет роль Bs(x) (bkx/2) sin kz, потенциальной энергии.

Очевидно, первый интеграл уравнения (13) (bky/2) sin kz, b(1 + k22/4) cos kz. (7) (dz/dt)2 = G(z), G(z) =(2/m)[E3 - W(z)], (14) c) В случае витка с током радиусом a, расположенного в плоскости z = h с центром на оси z, функция где E3 — ”полная энергия” продольного движения.

bs(z) = µ0Ia/(2R3), где R2 = a2 +(z - h)2, I —сила Если выполняется неравенство b z > (b z)2/2bz, то тока, µ0 = 4 · 10-7 H/A2 — магнитная постоянная.

уравнения (11), (12) относятся к типу уравнений гармонического осциллятора с переменной частотой.

Уравнение движения частицы в магнитной ловушке Излучение частиц, захваченных ловушкой Из (1), (2) следует закон изменения полной энергии При движении в ловушке охлажденных частиц C S0.

dE/dt = -gµBSBt/dt, (8) Энергия взаимодействия момента с магнитным полем где E = mv2/2 - gµBS(t)Bt(t, x) - mg0x, Bt(t, x) =B0 + U(t, x) -µB, µ = gµBS0. Поместим теперь ловушку +Bs(x) +B(t) — полная индукция. в высокочастотное магнитное поле индукцией (3), враНайдем вначале решение уравнений (1), (2) в интер- щающееся вокруг оси z. Полная индукция магнитного вале времени 0 t t0, полагая B(x) = B0 + Bs(x). поля Bt(t, x) = Bs(x) +B0 + B(t). Предположим, Пространственные и спиновые переменные изменяются что выполняется неравенство b0 |bs|. Резонансный с характерными частотами a =(µB /m)1/2 и =B; импульс переменного поля длительностью = /p, B 200 T/m2, B 1T. Поскольку a, то в уравне- p = bp на частоте = b0 возбуждает спиннии (1) можно пренебречь вкладом быстроосциллирую- флип переход S0 -S0 [12]. Действительно, сощих компонент вектора S и перейти к медленным про- гласно (П14), решение уравнений движения момента странственным переменным. Эта процедура эквивалент- в области t > t0 + имеет вид S(t) = -S0B/B, где на замене S средним значением. В Приложении получено S0 = S(t0)B/B. При движении частицы в переменном решение уравнения (2) и показано, что среднее значение поле закон изменения полной энергии (8) приобретает Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. Локализация и излучение частиц магнитной ловушкой вид dE/dt = -gµBSdB(t)/dt. Отсюда найдем прира- направлении оси z. Из (16) следует оценка времени щение полной энергии E = 2µb0 за интервал времени вылета частиц из ловушки. Энергия взаимодействия частицы с постоянным полем в интервале t t0 + становится равной Uf (t, x) =µB.

tax 2/f D1/4, t2 = µa30/3m, В результате воздействия импульса нарушаются условия финитности движения и частицы вылетают из ловушки.

D4 = 3 z2 - 2a2z0/a30 - (2/a30)(a1 + mg0/µ).

Частица в асимметричной магнитной Характерное время радиальной расходимости tr можно оценить из уравнений (15) после замены -gµBC µ:

ловушке tr 2[(µ/m)(a2/b0 - 2a2)]-1/2. Если tax tr, то Локализация частицы. Положим в (6) область, занятая частицами, вытягивается вдоль оси z:

a3 = -a30 < 0, a1 > 0. Потенциальная энергия частицы возникает направленный пучок частиц в положительном W(z) = -gµBC(b0 + a1z + a2z2/2 - a30z3/6) +mg0z.

направлении оси z.

Тогда из уравнения dW/dz = 0 следует, что потенциальная энергия имеет два локальных экстремума — максимум и минимум, координаты Частица в квазипериодической которых e2,1 =[a2 ± (a2 + 2a30[a1 - mg0/gµBC])1/2]/a30, магнитной ловушке W(e1) > W(e2). Если значение E3 лежит в области W(e2) < E3 < W(e1), то частица движется в Подставляя bz(z) =b0 + b cos kz в (10)–(12), получим потенциальной яме между точками поворота z2 и в параксиальном приближении уравнения z1: e1 < z1 < e2 < z3. В этой области G(z) 0.

Нули функции G(z) образуют последовательность d2kz/dt2 + z sin kz = -kg0, (17) z3 > z2 > z1. Представляя функцию G(z) в виде G(z) = -2(z - z1)(z - z2)(z - z3), 2 = gµBCa30/3m, получим из (14) решение уравнения (10) d2x/dt2 - (z /2) (b/2b0) sin2 kz + cos kz ]x = 0, (18) z(t) =z3 - (z3 - z2)sn2[z(t + T )/2, ].

d2y/dt2 - (z /2)[(b/2b0) sin2 kz + cos kz)]y = 0, (19) Здесь sn[z(t + T )/2, ] — эллиптический синус, z = (z3 - z1)1/2, 2 = (z3 - z2)/(z3 - z1), где z = gµBCk2b/m.

z3 - z(0) =(z3 - z2)sn2[zT/2, ], z(t) — периодическая Можно отметить аналогию между (17) и уравфункция с периодом 4K/z, K() — полный эллиптиченением маятника, к которому приложен постоянский интеграл.

ный момент сил. Если kg0 < z, то равновесИсследуем теперь движение частицы по x- и y-коорные значения zeq следуют из уравнения z sin kzeq = динатам. Рассмотрим наиболее простую ситуацию, пред= -kg0; cos kzeq > 0. Потенциальная энергия полагая, что в области движения по z-координате W(z) = -gµBC(b0 + b cos kz) + mg0z. В окрестновыполняются неравенства b0 |bs|, (b z)2/bz сти положения равновесия z = zeq + A cos(0t + ):

-2b z a2/b0 - 2a2 < 0. Тогда уравнения (11), (12) 1 2 частица колеблется с частотой 0; 0 = z cos kzeq.

приобретают вид В этом случае уравнения (18), (19) относятся к клас2 d2x/dt2 + 12x = 0, d2y/dt2 + 12y = 0, (15) су уравнений Хилла. Если kA 1, то уравнения (18), (19) можно представить в виде уравнения Матье где 12 =(gµBC/4m)[2a2 - a2/b0].

d2u/ds2 +(p + 2q cos 2s)u = 0, где s = 2(0t + ), Проекция траектории на плоскость xy представляет собой эллипс. Частица движется в ограниченной области p = -(1/8)[1 + b sin2 kzeq/(2b0 cos kzeq)], пространства. Отметим, что при горизонтальном расположении оси магнитной системы величина равновесного смещения по вертикали равна g0/12. q = -(A/8)(- tg kzeq + b sin kzeq/b0).

Излучение час тиц из ловушки. После взаимодействия с резонансным импульсом потенциальная Из теории функций Матье известно, что плосэнергия частицы W (z) Wf (z) =µbz(z) +mg0z, полная кость параметров (p, q) содержит области, соответэнергия E3 f = E3 + 2µb0. Уравнение (14) в интервале ствующие ограниченным и неограниченным решениt t0 + приобретает вид ям [13,14]. Ограниченные решения уравнений (18), (19) реализуются в первой области устойчивости в (dz/dt)2 = Gf (z), Gf (z) =(2/m)[E3 f - Wf (z)]. (16) плоскости (p, q), которая лежит справа от кривой Уравнение Gf (z) = 0 имеет один действительный pc0(q) = -q2/2 + 7q4/128 +..., ограничена кривой корень z = z0, поэтому остается только одна точка пово- ps1(q) = 1 + q - q2/8 +... при q < 0 и кривой рота и z0-частицы покидают ловушку в положительном pc1(q) =1 - q - q2/8 +... при q > 0 [13].

Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 28 Ю.Г. Павленко Частица в сферической секступольной Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 97-01магнитной ловушке 00957).

Л о к а л и з а ц и я ч а с т и ц ы. В экспериментах Паули и сотрудников была реализована ловушка для нейтронов, Приложение создаваемая магнитным полем кольцевых токов трех проводников, расположенных на поверхности сферы в Уравнение (2) — результат усреднения гейзенберговплоскостях z = ±h и z = 0 [3]. Направление экватоских уравнений движения оператора спина по суперпориального тока выбрано противоположно направлению зиции состояний квазиклассического волнового пакета.

двух полюсных токов. В этом случае равновесные соПоэтому оно не принадлежит к лагранжевым или гастояния находятся в двух симметрично расположенных мильтоновым уравнениям и не следует из какого-либо точках z = 0. Это обстоятельство усложняет процесс вариационного принципа. Однако уравнение (2) можно излучения частиц из ловушки.

представить в гамильтоновой форме, используя подход Мы рассмотрим движение частиц в магнитном поле, Швингера, установившего связь между оператором мосоздаваемом тремя параллельными кольцевыми токами, мента импульса и спаренными операторами ”рождения” полагая в (4) и ”уничтожения”, которые можно ввести при рассмотрении двух гармонических осцилляторов [15].

bs(z) =-(µ0Ia/2)[1/R3 + 1/R3] - µ0I0a0/2R3. (20) 1 2 Пусть — двумерный спинор-столбец с компонентами a1, a2; + = (a, a), k — матрицы Паули Здесь R2 = a2 +(z + h)2, R2 = a2 +(z - h)2, h > a/2;

1 1 (k = 1, 2, 3). Определим компоненты вектора S соотR2 = a2 + z2. Расположим ось z по горизонтали, ось x 0 ношениями Sk =(1/2)+k:

направим по вертикали вниз. Из (10)–(12) получим в параксиальном приближении уравнения S1 =(aa2 + aa1)/2, S2 =(aa2 - aa1)/2i, 1 2 1 md2z/dt2 = -dW/dz, (21) S3 =(aa1 - aa2)/2. (П1) 1 md2x/dt2 =(gµBC/4)[(b s)2/b0 - 2b s ]x + mg0, (22) Введем теперь ”координаты” и ”импульсы” qk = ak, md2y/dt2 =(gµBC/4)[(b s)2/b0 - 2b s ]y, (23) pk = ia (k = 1, 2) с фундаментальной скобкой Пуассона k (СП) [qi, pk] = ik. Поскольку СП [S1, S2] = i jkSk, где W(z) =-gµBC[b0 + bs(z)], b0 bs.

то уравнение (2) приобретает гамильтонову форму Из (21)–(23) находим координаты положения равноdS/dt =[S, H] с гамильтонианом H = S.

весия zeq = 0, xeq = 2mg0/[gµBCb s (0)], yeq = 0, Рассмотрим движение момента в постоянном неодноb s (0) =3gµBC[Ia(a2 - 4h2)(a2 + h2)7/2 + I0/2a4].

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.