WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 2 01;03 Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа © С.А. Савков, Е.Ю. Тюлькина Орловский государственный университет, 302015 Орел, Россия (Поступило в Редакцию 1 марта 2005 г.) Рассмотрен вопрос о вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа. В линейном по перепаду температуры приближении получены общие (не зависящие от формы и способа решения кинетического уравнения) выражения зависимости потока тепла от коэффициента аккомодации энергии. В рамках метода полупространственных моментов проведен анализ зависимости точности вычисления потока тепла от числа удерживаемых в функции распределения слагаемых.

PACS: 51.10.+y Изучение процесса теплопереноса в молекулярных В силу линейности поставленной задачи, представим газах представляет интерес как с теоретической точ- функцию распределения в виде ки зрения, так и в плане практического приложения.

f = f (1 + ), В частности, данные, полученные по измерению потока 0 тепла между параллельными пластинами используются где для определения характера взаимодействия молекул газа с их поверхностью [1]. Теоретический анализ указанного 3/2 m J явления требует рассмотрения кинетического уравнения f = n0 exp -C2 - 2, 0 для решения которого, как правило, используются раз- 2kT0 kT0 личные численные методы [2–6]. Причем все конкрет C = V m/2kT0; = J/2kT0; V и — собственная ные расчеты проводятся при фиксированных значениях (тепловая) скорость поступательного и вращательного коэффициентов аккомодации, что затрудняет сравнение движения молекул газа; J — момент инерции молекул.

с экспериментом. Основной целью данной публикации является определение аналитических выражений, задаю- В качестве граничных условий примем закон диффузщих зависимость потока тепла от характера аккомода- ного отражения молекул газа от поверхности каждой из ции энергии. пластин, что эквивалентно В данной работе рассматривается процесс переноса nk - n0 тепла через слой двухатомного газа толщиной d, заклю- k r (-1) Cz <0,z =(-1)kd/2 = = + C2 - vk k r n0 ченного между двумя неподвижными плоскими пластинами, на поверхности которых поддерживается постоянk +(2 - 1). (2) ная температура Ts1 > Ts2. Перепад Ts = Ts1 - Ts2 считается достаточно малым, для того чтобы ограничиться k Значения nk, vk и определяются требованием отсутr линейным приближением.

ствия массового движения газа Введем декартову систему координат с осью OZ, направленной по нормали, и началом на расстоянии d/ Cz exp -C2 - 2 dd3C = 0 (3) от каждой из пластин.

В качестве единицы длины примем величину и характером аккомодации энергии l =, k k k k Ev,i + Ev,r k E,i + E,r k v =, =, (4) k k k k Ev,i + Ev,s E,i + E,s где где 2m =, =, (1) 3 kT0 7 n0k k Ev,i = 2-3/где и — коэффициенты тепло- и температуропро CzC2 z =(-1)kd/2 exp -C2 - 2 dd3C водности, m — масса, T0 и n0 — некоторые, принятые за равновесные, значения температуры и концентрации (-1)kCz >молекул газа, k — постоянная Больцмана. (5) 26 С.А. Савков, Е.Ю. Тюлькина и A0 = 1, A1 = C2, A2 = 2, k sk = Tsk - T0 T0.

E,i = 2-3/Искомый поток тепла определяется соотношением Cz z =(-1)kd/2 exp -C2 - 2 3dd3C mV J(-1)kCz >q = Cz + f dd3V 2 (6) — обезразмеренное значение энергии поступательного и может быть представлен в виде и вращательного движения, приносимой падающими, а 2k3Tk k Ev,r = 2-3/2 CzC2 exp -C2 - 2 dd3C q = n0 Q, r m (-1)kCz <где (7) Q = Qv + Q, и k k Qv = CzC2 exp -C2 - 2 dd3C, E,r = 2-3/2 Cz exp -C2 - 2 3dd3C r 3/(-1)kCz < Q = Cz exp -C2 - 2 3dd3C.

(8) 3/— уносимой отразившимися от поверхности k-й пластиПри этом на поверхности каждой из пластин ны молекулами;

k k Qv z =(-1)kd/2 = Ev,i + Ev,r = (-1)k+1vk + Ik - 2Ik, k k 1 Ev,s = 2-3/2 CzC2 exp -C2 - 2 dd3C s (-1)kCz

2 k k E,s = 2-3/2 Cz exp -C2 - 2 3dd3C s В силу принятого условия линейности интегралы (-1)kCz

1 2 1 v = v = v и = =, из (12) имеем nk - n0 vk k Ik k Ik r =(-1)k2Ik -, Ev,i = 1, E,i = 2, Ts n0 2 Qv(1 - v) +v v + 2 Q(1 - v) = v, v v Tk (-1)k+1vk - 2Ik k (-1)k+1 - 2Ik k 0 Ev,r =, E,r =, 4 Qv (1 - )v Ts (-1)k+1sk - 2Ik k (-1)k+1sk - 2Ik + 4 Q(1 - ) + =. (13) Ev,s =, E,s =, T что дает Здесь 1 2 1 k k Tv - Tv T - T 1 vk +(-1)k(1 - v)(2Ik - Ik) =vsk, 0 v = = v1 - v2, = = -.

T0 Tk k k +(-1)k(1 - )(2Ik - 2Ik) =sk. (12) 0 Под Qv и Qv понимаются значения Qv и Q на поверхv Здесь ности первой (более нагретой) пластины, вычисленные при v = 1, = 0, a Q и Q —при v = 0, = 1.

v Ik = AiCz z =(-1)kd/2 exp -C2 - 2 dd3C, В качестве равновесных приняты значения температуры i и концентрации при z = 0.

(-1)kCz >Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа Решая (13), находим В силу (16) решение уравнения (14), удовлетворяющее условиям (2), может быть представлено в виде Ts Ts v v =, =, T0 T = +H(Cx ) +-H(-Cx ), где где N = v 4 Q(1 - ) + - 2 Q(1 - v), v v ± = a±k + a±kC2 + a±k2 Ck, (17) z 1, 2, 3, k= = 2 Qv(1 - v) +v - v4 Qv (1 - ), v |x|+x = 2 Qv(1 - v) +v 4 Q(1 - ) + H(x) = — стандартная функция Хевисайда.

2x v Коэффициенты ai,k определяются из системы диффе- 8QQv (1 - v)(1 - ). ренциальных уравнений, для составления которой кинеv тическое уравнение следует последовательно умножить Результирующий поток тепла определяется соотношена все входящие в (17) моменты и проинтегрировать по нием всему пространству скоростей.

Q =(Qv + Qv ) v +(Q + Q).

v v Опуская достаточно громоздкие выкладки, которые Значение потока тепла в промежуточном диапазоне могут быть выполнены в любой среде символьного определяется из решения кинетического уравнения, копрограммирования, такой как Maple, отметим, что реторое в силу принятого условия линейности и симметзультирующее решение задается выражением рии задачи может быть представлено в виде = Ch.E. +, Cz = Ist[]. (14) z где Следует заметить, что любой численный метод реCh.E. = K1 + K2 C2 + 2 - + K3Cz шения подобного рода уравнений по существу состоит в аппроксимации искомой функции на конечном множестве точек фазового пространства. При этом необ- + K4 C2 + 2 - (z - Cz ) ходимо учитывать тот факт, что основное изменение функции распределения происходит на расстояниях попредставляет собой газодинамическое решение кинетирядка длины свободного пробега. Данное обстоятельство ческого уравнения (функцию Чепмена–Энскога), опреприводит к необходимости соответствующего дробления деляющее распределение молекул на достаточно большага. Указанной проблемы можно избежать в рамшом (порядка нескольких длин свободного пробега) ках моментных методов, когда функция распределения удалении от каждой из пластин. А функция представляется в виде ряда по заданным полиномам скорости, коэффициенты которого являются функциями N-координат и определяются из соответствующей систе = Kk+4k exp(kz ) мы дифференциальных уравнений. Причем, в случае k=плоской геометрии последняя может быть решена в описывает поведение газа в непосредственной близости аналитической форме.

от каждой из пластин.

Для анализа рассмотрим простейшую модель интеграЗначения потоков энергии определяются соотношела столкновений [7]:

ниями 5 Ist[] = PiMi -. (15) Qv = K4 + Q, Q = K4 - Q, 4 i=где Здесь Q = CzC2 exp -C2 - 2 dd3C Mi = 2-3/2 Pi exp -C2 - 2 dd3C;

3/ = - Cz exp -C2 - 2 3dd3C.

2 3/P1 = 1; P2 = C2 + 2 - ; P3 = 2Cz.

5 При этом в свободномолекулярном режиме, т. е. в слуВ этом случае зависимость функции распределения чае, когда расстояние между пластинами много меньше от модуля скорости поступательного и вращательного средней длины свободного пробега молекул, изменением движения молекул определяется соотношением функции распределения в объеме газа можно пренебречь и считать ее равной = 1 + 2C2 + 32, (16) 1 где i зависит только от z и Cz. = H(Cz ) + H(-Cz ), r r Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 28 С.А. Савков, Е.Ю. Тюлькина Таблица 1. Значения Qv v d\N 1 2 3 4 0.01 0.55987 0.55988 0.55989 0.55990 0.0.1 0.52515 0.52606 0.52663 0.52701 0.0.5 0.42706 0.43336 0.43535 0.43584 0.1 0.36186 0.36840 0.36899 0.36879 0.1.25 0.33953 0.34501 0.34509 0.34485 0.1.5 0.32108 0.32542 0.32521 0.32503 0.1.75 0.30543 0.30874 0.30842 0.30832 0.2 0.29191 0.29437 0.29404 0.29401 0.2.5 0.26961 0.27090 0.27068 0.27073 0.3 0.25189 0.25255 0.25246 0.25253 0.4 0.22547 0.22569 0.22575 0.22579 0.5 0.20673 0.20691 0.20698 0.20700 0.7 0.18193 0.18211 0.18214 0.18215 0.10 0.16026 0.16036 0.16038 0.16039 0.100 0.10102 0.10105 0.10106 0.10106 0.Таблица 2. Значения Q = Qv v d\N 1 2 3 4 0.01 -7.4 10-8 -1.1 10-7 -1.4 10-7 -1.7 10-7 -1.9 10-0.1 -5.8 10-5 -7.6 10-5 -8.8 10-5 -9.5 10-5 -9.8 10-0.5 -0.00282 -0.00281 -0.00264 -0.02502 -0.1 -0.00922 -0.00818 -0.00766 -0.07500 -0.1.25 -0.01247 -0.01096 -0.01044 -0.01035 -0.1.5 -0.01554 -0.01373 -0.01329 -0.01327 -0.1.75 -0.01841 -0.01647 -0.01614 -0.01617 -0.2 -0.02110 -0.01915 -0.01894 -0.01900 -0.2.5 -0.02601 -0.02428 -0.02426 -0.02433 -0.3 -0.03040 -0.02904 -0.02912 -0.02917 -0.4 -0.03798 -0.03730 -0.03741 -0.03741 -0.5 -0.04424 -0.04398 -0.04404 -0.04403 -0.7 -0.05372 -0.05375 -0.05375 -0.05375 -0.10 -0.06292 -0.06296 -0.06296 -0.06296 -0.100 -0.08920 -0.08922 -0.08923 -0.08923 -0.Таблица 3. Значения Q d\N 1 2 3 4 0.01 0.27963 0.27963 0.27964 0.27964 0.0.1 0.26002 0.26050 0.26079 0.26097 0.0.5 0.20759 0.21032 0.21095 0.21099 0.1 0.17606 0.17778 0.17757 0.17740 0.1.25 0.16595 0.16684 0.16650 0.16639 0.1.5 0.15787 0.15811 0.15777 0.15774 0.1.75 0.15125 0.15103 0.15078 0.15080 0.2 0.14571 0.14524 0.14508 0.14514 0.2.5 0.13704 0.13642 0.13644 0.13651 0.3 0.13064 0.13015 0.13025 0.13030 0.4 0.12208 0.12196 0.12208 0.12208 0.5 0.11679 0.11692 0.11698 0.11697 0.7 0.11078 0.11100 0.11099 0.11099 0.10 0.10620 0.10631 0.10631 0.10632 0.100 0.09445 0.09448 0.09449 0.09449 0.Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа что дает Qv = 2Q =, Q = Qv = 0, v v 1 v 1 Ts Q = +.

2 - v 2 2 - TТаким образом, при = 0, т. е. когда в результате отражения от пластин возбуждаются только поступательные степени свободы молекул газа, поток тепла (в рассматриваемом пределе) совпадает, а при полной аккомодации энергии оказывается в полтора раза больше значения, рассчитанного для атомарного газа.

В газодинамическом пределе и при условии полной аккомодации энергии на поверхности каждой из пластин, т. е. в случае d 1 и v =, суммарный поток энергии может быть представлен в виде 7 1 Ts Q =, 4d 1 + 2KnCt Tздесь Kn = /d; Ct = 2.07 013, 2.06 022, 2.0 586, 2.05 и 2.05 808 для N = 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Напомним, что аналитическое решение [7] дает значение Ct = 2.05 798.

Результаты расчетов в промежуточном диапазоне значений d приведены в табл. 1–3.

Проведенный анализ позволяет утверждать, что погрешность полученных в рамках изложенного подхода к решению кинетического уравнения результатов не превышает 0.01% во всем диапазоне значений числа Кнудсена.

Авторы выражают признательность доктору физикоматематических наук, профессору А.А. Юшканову за обсуждение результатов и ценные рекомендации.

Список литературы [1] Ларина И.Н., Рыков В.А. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986.

№5. C. 141–148.

[2] Bassanini P., Cercingnani C., Pagani C.D. // J. Heat and Mass Transfer. 1967. Vol. 10. N 4. P. 447–460.

[3] Черемисин Ф.Г. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 5.

C. 190–193.

[4] Hsu S.K., Morse T.F. // Phys. Fluids. 1972. Vol. 15. P. 584–591.

[5] Cipolla J.W. // J. Heat and Mass Transfer. 1970. Vol. 14. N 10.

P. 1599–1610.

[6] Pazooki N., Loyalka S.K. // J. Heat and Mass Transfer. 1985.

Vol 28. N 11. P. 2019–2026.

[7] Латышев А.В., Юшканов А.А. // Teoр. и мат. физика. 1993.

Т. 95. № 3. C. 530–540.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.