WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 1 Геликон-фононный резонанс в висмуте © В.Г. Скобов, А.С. Чернов Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия Московский государственный инженерно-физический институт, 115409 Москва, Россия E-mail: chernov@theor.mephi.ru (Поступила в Редакцию 11 апреля 2005 г.) Показано, что в висмуте возможен геликон-фононный резонанс. Он должен иметь место в диапазоне коротких радиоволн в геометрии, когда постоянное магнитное поле H направлено вдоль биссекторной оси кристалла, ориентированной по нормали к поверхности пластины. Резонанс обусловлен деформационным взаимодействием дырок со звуковой волной. Резонанс происходит в сравнительно слабых магнитных полях порядка десятков эрстед в ситуации, в которой пространственная неоднородность волнового поля несущественна для электронов, но важна для дырок.

PACS: 63.20.Kr, 72.15.Eb, 72.50.+b 1. В работе [1] было показано, что в висмуте воз- носителей, в котором учитывается их взаимодействие можно распространение геликонов в диапазоне коротких с электрическим и звуковым полями. Вообще говоря, радиоволн. В геометрии, когда постоянное магнитное имеется три различных члена, описывающие взаимодейполе H и нормаль к поверхности пластины висмута ствие носителей с колебаниями решетки: деформацинаправлены вдоль биссекторной оси кристалла, реали- онный член, индукционный член и член, связанный с зуется ситуация, в которой неоднородность волнового эффектом Стюарта–Толмена. Последний обычно мал и поля несущественна для электронов, но важна для не играет роли. В условиях геликон-фононного резонандырок. В этой ситуации в висмуте возможно распростра- са в типичных металлах, который рассматривался в [2], нение геликонной волны, спектр которой определяется основным было индукционное взаимодействие электролокальной холловской проводимостью электронов, а нов со звуковой волной. В висмуте же концентрация затухание — бесстолкновительным поглощением дыр- носителей на пять порядков меньше и основным окаками. Фазовая скорость этой волны невелика, причем зывается деформационное взаимодействие, учетом кото ее величина пропорциональна H. Изменяя H, скорость рого мы и ограничимся. Тогда для монохроматической геликона можно сделать равной скорости звука в криплоской волны, поле которой описывается функцией сталле. При этом будет происходить резонансное связыexp (i(kr-t)), где k — волновой вектор, — частование геликонной и звуковой волн, а также их взаимная та волны, неравновесная часть функции распределения трансформация. Теории геликон-фононного резонанса в электронов проводимости имеет вид [2] висмуте и посвящена настоящая работа.

2. Распространение волн в металле описывается уравF нениями Максвелла и уравнениями колебаний решетки, F1 = d eEv + u (, ), (3) F которые связаны между собой благодаря взаимодействию электронов проводимости со звуком и электромагнитным полем. Эти уравнения имеют вид [2] (, ) = c 4 j rot rot E = -, (1) c2 t k exp ( - ) +i v( ) d, (4) 2u 2u c c = + f. (2) t2 xx F0 — функция Ферми от аргумента (p-F)/T, p — Здесь E(r, t) — электрическое поле в точке r в момент t;

энергия электрона проводимости с импульсом p, F — j(r, t) — плотность тока; u(r, t) — вектор смещения в энергия Ферми, T — температура в энергетических звуковой волне; — плотность металла; —тензор единицах, c = eH/mcc и mc — циклотронная частота модулей упругости; c — скорость света; f — объемная плотность силы, действующей со стороны носителей и циклотронная масса носителя соответственно, e — на решетку; по дважды встречающимся индексам про- величина заряда электрона, v —скорость, — частота изводится суммирование. В уравнениях Максвелла мы столкновений с рассеивателями, = ct — безразмерисключили переменное магнитное поле и пренебрегли ное время движения носителя по орбите в магниттоком смещения. Векторы j и f должны быть найдены ном поле, — тензор деформационного потенциа из кинетического уравнения для функции распределения ла, u =(u/x + u/x)/2 — тензор деформации, 22 В.Г. Скобов, А.С. Чернов (E) точка сверху означает частную производную по време- можно пренебречь по сравнению с f. Таким образом, ни t. Плотность тока j и плотность силы f определяются в рассматриваемом случае уравнения (1) и (2) для следующими формулами [2]: монохроматических плоских волн принимают вид 2e k2c2E = 4iE = 4i j( ), (10) j = vF1d3p, (2 )j (E) -2 + k2s2 u = f, = x, y, (11) f = F1d3p, (5) где s — скорость поперечного звука. Как было показано x (2 )j в [1], поле геликона в висмуте вращается по кругу в ту же сторону, что и электроны в магнитном поле (поляригде j — номер группы носителей.

зация „минус“). Поэтому от декартовых компонент векПодстановка (3) в (5) дает торов A удобно перейти к циркулярно поляризованным величинам A± = Ax ± iAy. Тогда уравнение (10), (11) для j = j(c) + j( ) = E + j( ), (6) электромагнитной и звуковой волн записываются в виде (E) ( ) f = f + f, (7) k2c2 - 4i- E- = 4i j( ), (12) (E) где деформационный ток j( ) и сила f описываются (E) k2s2 - 2 u- = f, (13) выражениями где 2e F- = xx - iyx + yy + ixy. (14) j( ) = d3pv d u (, ), (2 )3 F j Выражение для проводимости - было получено в [1].

(8) В интересующей нас области значений k оно имеет вид (E) f = nec 3 nec x (2 )- = -i +, (15) j H 4|q| H где F d3p ( ) d eEv( ) (, ), (9) kc p F q =, (16) eH p = 2m1F, m1 = 0.54m, F = 2 · 10-14 erg, ток проводимости j(c) определяется выражением, кото рое получается из (8) в результате замены u на F — энергия Ферми дырок, m1 — эффективная масса ( ) eEv( ), а f — выражением, которое получается дырок вдоль тригональной оси, m — масса свободно из (9) в результате замены eEv( ) на u. го электрона, p — величина размерности импульса, 3. Рассмотрим геликон-фононный резонанс в висмуте которая определяет смещение дырок вдоль магнитнов геометрии, когда вектор распространения волны k го поля за циклотронный период. Первое слагаемое и постоянное магнитное поле H направлены вдоль в (15) представляет собой локальную холловскую пробиссекторной оси кристалла (k H z ). В этой гео- водимость, обусловленную электронами, а второе — метрии максимальные площади сечения всех трех элек- нелокальную проводимость, обусловленную бесстолкнотронных эллипсоидов в плоскости xy, перпендикуляр- вительным циклотронным поглощением волны дырками.

ной вектору H, в десятки раз меньше максимальной В (15) и далее пренебрегается членами порядка /c площади сечения дырочного эллипсоида. В результате и /c, которые предполагаются малыми.

циклотронные массы электронов и их максимальные 4. Для вычисления j( ) и f необходимо знать за- смещения за циклотронный период также оказываются висимость тензора деформационного потенциала от в десятки раз меньше соответствующих величин для импульса дырки p. Рассмотрим модель, в которой дырок. Поэтому существует область k, в которой длина волны много меньше максимального смещения дырок за = Mvv, (18) циклотронный период, но много больше максимальных (p) p2 p2 + pсмещений электронов. Эта область k нас и будет инy z x v =, (p) = +, (19) тересовать. Для таких k вклад электронов в j и f p 2m1 2mхорошо описывается локальным приближением. При m2 = 0.06m — эффективная масса дырки в базовой плосэтом вклад электронов нужно учитывать только при кости кристалла, M — константа размерности массы.

вычислении тока проводимости j(c), а электронные вкла Величина M определяется из условия, что деформады в j( ) и f оказываются пренебрежимо малыми по ционный потенциал имеет величину порядка атомной сравнению с соответствующими дырочными вкладами.

энергии (10-11 erg). Отсюда следует, что M должна быть ( ) Кроме того, в окрестности резонанса слагаемым f порядка 10-24 g.

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Геликон-фононный резонанс в висмуте В этой модели свертка u, входящая в форму- описывает геликонную волну, спектр и затухание кото рой определяются выражением лу (7) для j( ), сводится к выражению k = kH + i, (29) u = kMvz vu = kMvz (v+u- + v-u+), (20) а уравнение (27) — звуковую волну с волновым векто1 ром k = /s.

v± = (v1 ± v2)ei + (v1 v2)e-i, (E) При учете деформационного тока j( ) и силы f 2 колебания электромагнитного и звукового полей ока2 p2 2 pz z v2 = -, v2 = -. (21) зываются связанными. Кроме величин n и M связь m1 2m2 2 m2 2mволн зависит от того, насколько близки их фазовые Подставляя (20), (21) в (8) и учитывая, что скорости. Чем ближе фазовая скорость геликона /kH к скорости звука s, тем в большей мере связаны эти 1 + ikvz волны. При равенстве скоростей (kH = /s), т. е. при (, ) = exp ( - ), (22) c c значении магнитного поля H = H0, где 4nesmc = m1m2, d3p = mcd dpz d, H0 =, (30) c получаем имеет место геликон-фононный резонанс, при котором pF связь волн является максимальной.

4e p2 vz dpz z Из (26), (27) следует, что дисперсионное уравнение, j( ) = kM - u-, (2 )3 2m2 i(kvz + c) определяющее спектр и затухание связанных волн, име-pF ет вид (23) где pF = 2m2F. Поскольку мы рассматриваем случай k2s2 4 M k2 - k2 1 + i - 1 = ne. (31) H q 1, слагаемое kvz в знаменателе подынтегральной k 2 c2 mc функции в (23) много больше c и выражение для j( ) Вследствие низкой концентрации носителей n в висмуте принимает вид величина в правой части (31) и, следовательно, степень pF связи волн оказываются малыми. Поэтому спектр волн M 4mc pz даже в окрестности резонанса изменяется незначительj( ) = -ie u- - dpz mc (2 )3 2mно. В то же время влияние резонанса сильно сказывается -pF на затухании звуковой волны. Чтобы определить это затухание, достаточно заменить k в квадратных скобках или M в (31) на /s. В результате дисперсионное уравнение j( ) = -ine u-, (24) mc для звуковой волны принимает вид где n — концентрация дырок.

2 (E) Аналогичное вычисление силы f дает k2 = +, (32) s2 1 - H0 - i H M (E) f = ne E-. (25) - где H0 дается формулой (30), mc 2 M 5. Подставим теперь выражения (15) и (24) в урав = ne, (33) c2 mc нение (12), а выражение (25) —в (13). В результате получаем ne2s 2 = 32. (34) pc M k2 - k2 1 + i c2E- = 4ne 2u-, (26) H Подстановка значений k mc n = 3 · 1017 cm-3, s = 105 cm/s, p = 5 · 10-21 g · cm/s 1 M k2s2 - 2 u- = ne E-, (27) mc в (34) дает для величину порядка 2 · 107 rad/s. Эта величина определяет нижнюю границу частотного диа4ne 3 eH k2 =, =. (28) H пазона, в котором имеет место геликон-фононный резоcH 4 pc нанс в висмуте.

В приближении M 0, в котором деформационный Из (32) следует, что затухание звуковой волны ток j( ), обусловленный звуковой волной, и электричеk Im k определяется формулой (E) ская сила f, действующая со стороны носителей на 2 4 -решетку, отсутствуют, электромагнитная и звуковая волs H0 k = 1 - +. (35) ны являются независимыми. При этом уравнение (26) H Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 24 В.Г. Скобов, А.С. Чернов Графики зависимости затухания звуковой воны от поля H при частотах 3 (1), 6 (2) и 10 MHz (3).

На рисунке приведены результаты расчета зависимости k от H для частоты /2 = 3 (кривая 1), 6 (кривая 2) и 10 MHz (кривая 3). Видно, что при частоте 3 MHz резонанс практически не проявляется, но при частотах 6 и 10 MHz он хорошо выражен: кривые и 3 имеют резонансные максимумы при H = 16 и 10 Oe соответственно.

Список литературы [1] В.Г. Скобов, А.С. Чернов. ФТТ 45, 10, 1770 (2003).

[2] В.Г. Скобов, Э.А. Канер. ЖЭТФ 46, 1, 273 (1964).

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.