WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Функции (31) являются аналитическими в комплексr r ной плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси и имеют две особых точки, кото- n+aS(m) a n p(1) = a1(S(m)) exp(S(m)t) рые являются простыми полюсами и характеризуются n n n n + 1 r m=условиями Dn(S) =0. Поэтому для поиска оригиналов выберем контур типа Ханкеля (рис. 1) и, используя n+a a теорему о вычетах, запишем - a2( ) exp(- t)d ;

n + 1 r +i f (t)= F(S) exp(St)dS = res F(S) exp(St) 2i S=S(m) m=a1(S) = S+2(n+2)(2n+1) -4n(n+2)2 nn -i aa3 S hn - F(S) exp(St)dS.

;

2i SDn(S) BCDEFA При вычислении последнего интеграла учтем, что nhn a1(S) =- 1 + 2n(n + 2) n ;

интегралы вдоль контуров BC, FA равны нулю при a2S SDn(S) стремлении радиусов данных окружностей к бесконечности. Интеграл вдоль контура DE так же равен ну nhn b1(S) =2n(n + 2) n ;

лю при стремлении радиуса окружности к нулю. При aS SDn(S) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька... kn ±ir -S(2) = -n - in, где n =(n + 2)(2n + 1)/a2. Функции n (±) ;

n (r) (1) (1) же n (t), Urn (r, t) и p(1)(r, t) примут простой вид kn ±ia -1 n n (1) SDn(S) =2S + 2(n + 2)(2n + 1) + 2n(n + 2)n (t) =hn cos(nt) + sin(nt) exp(-nt);

a2 an 1 n+a 1 - n 2n + 1 +(4 + 2a2) n n;

(1) Urn (r,t)=-hn n sin(nt)-2n(n+2) cos(nt) a a r a kn-1 ±ia -(±) hn (a - r) n n ;

exp(-nt) - 2n(n + 2) cos + nt kn ±ia -r 4n(n + 2)2 hn3/2n (+) (-) (a - r) n a2( ) =- (n + n );

(+) (-) exp -nt + ;

a ( ) ( ) n n n+4n(n + 2) hn3/2n anhn a a2( ) = (n + 1) p(1)(r, t) =- cos(nt) - (n + 2) n (+) (-) 2 an + 1 r ( ) ( ) n n 2 (+) (-) sin(nt) exp(-nt). (33) 1 - 2(n - 1)(n + 2) - n n + n ;

a2n a2 Используя (33), несложно получить предельный пере2n(n + 2)n b(±) = ;

ход к идеальной жидкости:

(±) ai ( ) n (1) n (t)=hn · cos(nt);

(±) 4 ( ) = + n - 2(n + 2)(2n + 1) n n+a2 a (1) Urn (r, t)=-hn · · n · sin(nt);

r 2 3/2 (±) (±) n+ 1 ± n ± 4n(n + 2)2 n.

anhn a ia iap(1)(r, t) =- · · cos(nt).

n n + 1 r 4. Рассмотрим асимптотику маловязкой жидкости. Ес5. Рассмотрим случай сильно вязкой жидкости. Если ли вязкость жидкости мала, то аргумент модифицированвязкость жидкости весьма велика, то аргумент сфериченой сферической функции третьего рода будет большим ской модифицированной функции Бесселя будет малым и для нее можно использовать асимптотическое выражеи можно использовать асимптотическое разложение ние kn-1(z ) z z exp(-z ) n(n+1) (n-1)n(n+1)(n+2) = - + o(z ), z 0.

kn(z ) = 1 + + kn(z ) 2n - 1 (2n - 1)2(2n - 3) 2z 2z 8z (34) Сучетом(34), выражения (32) можно записать в виде + O ; z 1, z hn 2(n + 2)(2n2 + 1) (1) n (S) = Dn(S) 2n + 1 aиспользуя которое, найдем 3 2n(2n(n + 1) +1) - hn (1) + S + O ;

n (S) = S + 2(n + 2)(2n + 1) + o();

(2n + 1)2(2n - 3) Dn(S) a nhn n+2 (1) a nhn (1) Urn (r, S) =- 2n(n + 2)(2n - 1) Urn (r, S) =- 1 + 2n(n + 2) (2n + 1)Dn(S) a2S a2S r Dn(S) n+8n3 - 2n - 3 a a nhn a kn(r) + - 2n(n + 2) + 2n(n + 2) + o();

(2n + 1)(2n - 3) r r a2S Dn(S) r kn(a) 2 2 kn(r) n+aS nhn a (2n - 1) + + O ;

p(1)(r,S)=- 1+2n(n+2) +o();

n a2S (2n+1)(2n-3) kn(a) n+1 a2S Dn(S) r anhn S 2 p(1)(r, S) =- 2n(n + 2)(2n - 1) n Dn(S) =S2 + n + 2(n + 2)(2n + 1) + o().

(n+1)(2n+1)Dn(S) aaПри малой вязкости дисперсионное уравнение n+(8n3 - 2n - 3) 1 a + S + O ;

Dn(S) =0 будет иметь два корня S(1) = -n + in и n (2n + 1)(2n - 3) r Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 22 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова 2(n + 2)(2n2 + 1) S При численном анализе радиальных движений поDn(S) = 2n + 1 a2 верхности пузырька выяснилось, что 0 > 0 для таких значений физических параметров p(0)-pV, p(0), W, при g 3 2n(2n(n + 1) +1) - которых уравнение (37) имеет одно решение a, а в ситу+ S2 + n + O.

(2n + 1)2(2n - 3) ации дисперсионное уравнение имеет два корня 0 > (35) для меньшего из корней. Для большего из корней всегда При большой вязкости в дисперсионном уравнении 0 < 0. Следовательно, радиальные движения пузырька Dn(S) =0 можно пренебречь членом, пропорциональбудут устойчивыми в той области параметров задачи, ным S2, и тогда оно будет иметь единственный корень в которой уравнение (37) будет иметь одно решение S = -nna2/, где n =(2n + 1)/ 2(n + 2)(2n2 + 1).

и для меньшего из корней (37), когда имеются два (1) (1) В итоге для функций n (t), Urn (r, t), p(1)(r, t) можно n решения. Пузырек, находящийся в равновесном состояполучить асимптотические выражения вида нии, отвечающем большему корню уравнения (37), когда оно имеет два корня, неустойчив (см. выражения (13)).

nna(1) Увеличение вязкости жидкости, окружающей пузырек, n (t) =hn exp - t ;

приводит к увеличению декремента затухания для случая устойчивого равновесия пузырька и к уменьшению hn (1) Urn (r, t) = 2n(n + 2)(2n - 1) (2n + 1)an+8n3 - 2n - 3 na4 a 2(n + 2)(2n - 3)(2n2 + 1) 2 r a 1 na- 2n (2n - 1)(n + 2) r (2n - 3)(2n2 + 1) nna Re{ (r)} exp - t ;

n kn irna-1 n (r) ;

n kn ina2-1 n 2 n+n(2n - 1)anhn a nnaРис. 2. Зависимость безразмерного радиуса R(1)(t) пульсиp(1)(r, t) =- exp - t.

n (n + 1)(2n2 + 1) r рующего пузырька от безразмерного времени t, рассчитанная (36) по (13), для различных значений вязкости жидкости: = 0.6. Для удобства численного анализа выполним обез- (точечная кривая), = 0.2 (сплошная кривая), = 0.8 (пункразмеривание, принимая = 1, = 1, r0 = 1. Тогда все тирная кривая), при p(0)-pV = -0.6, p(0) = 0.6, W = 0.1, g физические величины задачи будут выражаться в своих = 4/3, h0 = 1. Значение a соответствует меньшему корню характерных масштабах. Так масштабами длины, плот- уравнения (37).

ности, вязкости, времени, частоты, скорости и давления будут соответственно величины r0 r3 r0; ; ; ; ; ;.

r3 r0 rВ соответствии с данными экспериментов радиус устойчивых пузырьков в жидкости изменяется в пределах от r0 = 10-7 до r0 = 10-3 cm. Поверхностное натяжение и плотность жидкостей в среднем составляют = 50 dyne/cm и = 1g/cm3. При данных значениях характерный масштаб вязкости составит 2 · 10-3 cm2/s-2 · 10-1 cm2/s, масштаб времени — 5 · 10-12 s-5 · 10-6 s, масштаб частоты — 2 · 105 s-1-2 · 1011 s-1, масштаб скорости — 2 · 102 cm/s-2 · 104 cm/s, масштаб давления — Рис. 3. Зависимость безразмерного радиуса R(1)(t) пульси5 · 104 dyne/cm-5 · 108 dyne/cm. рующего пузырька от безразмерного времени t, рассчитанная по (13), для различных значений вязкостей жидкости:

Свободными параметрами задачи будут p(0)-pV, p(0), g = 0.05 (точечная кривая), = 0.5 (сплошная кривая), = W = Q2/(4d),,,,, hn, h0. Равновесное значение (пунктирная кривая) при p(0)-pV = -0.6, p(0) = 0.6, W = 0.1, g радиуса пузырька r = a определяется из уравнения = 4/3, h0 = 1. Значение a соответствует большему корню pV - p(0) + p(0)/a3 + W/(2a4) - 2/a = 0. (37) уравнения (37).

g Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька... инкремента неустойчивости в случае неустойчивого равновесия пузырька (рис. 2, 3).

При численном анализе точного дисперсионного соотношения Dn(S) =0, описывающего поверхностные осцилляции пузырька при неизменном объеме, выяснилось, что при W/a3 < n + 2 оно имеет два комплексно сопряженных корня S(1) и S(2) с отрицательной веn n щественной частью, мнимая часть Im(S(2)) =- Im(S(1)) n n которых определяет частоту колебаний поверхности пузырька, а вещественная Re(S(1)) =Re(S(2)) — декремент n n затухания. Отметим, что увеличение вязкости жидкости, окружающей пузырек, приводит к уменьшению мнимой части корней S(1), S(2), но не приводит к полному их n n (1) исчезновению (рис. 4). Влияние вязкости жидкости на Рис. 6. Зависимости коэффициента n (t), характеризующего искажение равновесной сферической формы пузырька, от действительную часть данных корней является сложным безразмерного времени t, построенные при: p(0)-pV = 0.6, (рис. 5). При W/a3 > n + 2 дисперсионное уравнение p(0) = 0.6, W = 0.5, = 4/3, n = 2, h2 = 1 и различных вязg костях жидкости = 0.8 (кривая 1), = 1.5 (кривая 2), = 2.5 (кривая 3). Сплошная кривая соответствует точному решению (32), пунктирная — приближению сильно вязкой жидкости (36).

Рис. 4. Зависимости мнимых частей Im(S(k)) точного комn плексного корня S(k) дисперсионного уравнения Dn(S(k)) =0, n n описывающего поверхностные осцилляции пузырька при постоянном его объеме, от безразмерной вязкости жидкости, рассчитанные для p(0)-pV = 0.1, p(0) = 0.6, W = 0.1, = 4/3, g (1) Рис. 7. Зависимости коэффициента n (t) от безразмерноn = 2. Номер у кривой совпадает с номером k.

го времени t, построенные при: p(0)-pV = 0.8, p(0) = 0.6, g W = 3.5, = 4/3, n = 2, h2 = 1 и различных вязкостях жидкости = 0.8 (кривая 1), = 1.5 (кривая 2), = 2.5 (кривая 3).

Сплошная кривая соответствует точному решению (32), пунктирная — приближению сильно вязкой жидкости (36).

Рис. 5. Зависимость вещественной части Re(S(1)) комплексноn (1) го корня S(1) дисперсионного уравнения поверхностных осцил- Рис. 8. Зависимости коэффициента n (t) от безразмерноn ляций пузырька Dn(S(1)) =0 от безразмерной вязкости жид- го времени t, построенные при: p(0)-pV = 0.6, p(0) = 0.6, n g кости, рассчитанная при p(0)-pV = 0.1, p(0) = 0.6, W = 0.1, W = 0.5, = 4/3, n = 2, h2 = 1 и различных вязкостях жидg = 4/3, n = 2. Точечная кривая соответствует приближению кости = 0.005 (кривая 1), = 0.01 (кривая 2). Сплошная маловязкой жидкости, сплошная — точному решению, пунк- кривая соответствует точному решению (32), точечная — тирная — приближению сильновязкой жидкости. приближению маловязкой жидкости (33).

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 24 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова Dn(S) =0 имеет один корень, который является ве- [15] Feng Z.C. // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 333. P. 1–21.

[16] Doinikov A.A. // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 501. P. 1–24.

щественным и положительным, определяя инкремент [17] Жаров А.Н., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 1.

неустойчивости поверхности пузырька.

С. 22–31.

Численные расчеты по выражению (32) хорошо со[18] Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. // ЖТФ. 2005.

гласуются с численными расчетами по асимптотическим Т. 75. Вып. 7. С. 19–28.

выражениям (33) и (36), полученными в асимптотиках [19] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Гос.

малой и большой вязкости, как это видно из рис. 6–8.

изд. физ.-мат. лит., 1959. 699 с.

7. Заключение Найденное решение задачи о расчете временной эволюции деформированного в начальный момент времени заряженного пузырька в диэлектрической жидкости в первом порядке малости по амплитуде начальной деформации делает актуальным поиск решений более высоких порядков малости, т. е. решения до сих пор не решенной задачи о расчете нелинейных осцилляций заряженного пузырька в вязкой диэлектрической жидкости. С ростом вязкости жидкости частоты радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций монотонно снижаются. Декремент затухания радиальных пульсаций с ростом вязкости при любых ее значениях монотонно увеличивается по тому же закону, что и декремент затухания поверхностных осцилляций в асимптотике малой вязкости. Декремент затухания поверхностных осцилляций при увеличении вязкости сначала растет, но, достигнув некого максимального значения, начинает снижаться (т. е. проявляются те же тенденции, что у вязкой капли [17] или волн в вязкой жидкости [19]).

Работа выполнена при поддержке гранта президента РФ № МК-2946-2004-1 и гранта РФФИ № 03-01-00760.

Список литературы [1] Жаров А.Н., Ширяева С.О. // ЭОМ. 1999. № 6. С. 9–22.

[2] Aitken F., McGluskey F.M., Denat A. // J. Fluid Mech. 1996.

Vol. 327. P. 373–392.

[3] Григорьев А.И., Жаров А.Н. // ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 4.

С. 8–13.

[4] Glinski M.E. // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. N 1. P. 20–31.

[5] Жаров А.Н., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 11.

С. 12–20.

[6] Васильев А.П. // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 1. С. 35–41.

[7] Bekshaev A.Ya., Kontush S.M., Rybak S.S. et al. // J. Aerosol Sci. 2003. Vol. 34. P. 469–484.

[8] Жаров А.Н., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 11.

С. 13–21.

[9] Максимов А.О. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. Вып. 7.

С. 7–13.

[10] Benjamin T.B., Ellis A.T. // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 212.

P. 65–80.

[11] Ffowcs-Williams J.E., Guo Y.P. // J. Fluid Mech. 1991.

Vol. 224. P. 507–529.

[12] Longet-Higgins M.S. // J. Fluid. Mech. 1991. Vol. 224. P. 531– 549.

[13] Mei Ch.C., Zhou X. // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 229. P. 29–50.

[14] Feng Z.C., Leal L.G. // Phys. Fluids. 1995. Vol. 7. N 6.

P. 1325–1336.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.