WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

S лагать, что M(1)(T0, T1,...) M(1)(T0) +O(T2). На осноm m ве вышесказанного система дифференциальных урав- f (T0) = M(1)(T0)M(1)(T0) Km,l,n 2n l(l + 1) - n m l m=2 l=нений для отыскания коэффициентов G(2)(T0, T1,...), n (2) En (T0, T1,...), Fn(2)(T0, T1,...), M(2)(T0, T1,...) сведетn n(13m(m + 1) - 7) n(9m2 + 9m - 7) + w + We ся к следующему виду:

(2m - 1)(2m + 3) (2m - 1)(2m + 3) 1 1 nm(m - 1) M(2)(T0, T1,...) = M(1)(T0) ; + (11w - We) Km-2,l,n 0 2n + 1 2 (2m - 1)(2m + 1) n=n(m + 1)(m + 2) n(n - 1)(m - 1) + Km+2,l,n + We (2m + 1)(2m + 3) (2n - 1)(2m + 1) M(2) (T0, T1,...) AnM(2) (T0, T1,...) +Bn n-n-Tn(n - 1)(m + 1) m(m - 1)Km-1,l,n-1 - m-1,l,n-1 (2n - 1)(2m + 1) 2M(2)(T0, T1,...) n + + nM(2)(T0, T1,...) n Tn(n+1)(m-1) (m+1)(m+2)Km+1,l,n-1 - m+1,l,n-1 (2n+3)(2m+1) M(2) (T0, T1,...) + Cn n+1 + DnM(2) (T0, T1,...) n+n(n + 1)(m + 1) T m(m - 1)Km-1,l,n+1 - m-1,l,n+1 + (2n + 3)(2m + 1) = (n) f (T0); n 1; (22) n (m + 1)(m + 2)Km+1,l,n+1 - m+1,l,n+1 + M(1) (T0) m-1 M(2)(T0, T1,...) n (2) En (T0, T1,...) = n T nm(m+1) M(1)(T0) We (m-1)(m+2) Km+1,l,n l (2m+1)(2m-1) m,l,n M(1)(T0) m - (m - 1) Km,l,n - M(1)(T0) ;

m T0 l -m(m+5)Km-1,l,n -w (m+2)2Km+1,l,n+m(m+5)Km-1,l,n m=2 l=nm2 n2 (n + 1)(n + 2) 3n + w Km,l,n-1 + Km,l,n+G(2)(T0, T1,...) = UM(2) (T0, T1,...) n n-1 2m - 1 2n - 1 2n + 2(2n - 1) n(m + 1) 3n 1 M(2)(T0, T1,...) + M(1) (T0)M(1)(T0) We m m(m + 5) n m+1 l - UM(2) (T0, T1,...) (2m + 1)(2m + 3) n+2(2n + 3) n + 1 T Km-1,l,n - (m - 1)(m + 2)Km+1,l,n - w(m + 1) m + 2 m,l,n M(1)(T0) m - Km,l,n nm(m + 1) n + 1 (n + 1)(m + 1) Tm=2 l=2 m(m + 5)Km-1,l,n +(m + 2)2Km+1,l,n + w 2m + 3 m(m - 1) M(1)(T0) + UM(1)(T0)M(1)(T0) - n2 (n + 1)(n + 2) l m l 2 (n + 1)(2m + 1) Km,l,n-1 + Km,l,n-2n - 1 2n + (m + 1)2(m + 2) (m + 1)m+1,l,n nml[We +w] Km-1,l,n + Km+1,l,n + M(1) (T0)M(1) (T0) (n + 1)(2m + 1) (n + 1)(2m + 1) m-1 l-(2m + 1)(2l + 1) (m - 1)m-1,l,n nl[(m + 1)w - m We] + ;

+ M(1) (T0)M(1) (T0) m+1 l-(n + 1)(2m + 1) (2m + 3)(2l - 1) Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции капли, движущейся с постоянной скоростью относительно... nm[(l + 1)w - l We] ентов M(2)(T0, T1,...) только от временного масштаn + M(1) (T0)M(1) (T0) m-1 l+(2m - 1)(2l + 3) ба T0. При этом можно записать, что M(2)(T0, T1,...) n M(2)(T0) +O(T1), и для возмущения поверхности поn n[(m + 1)(l + 1)w + nm We] + M(1) (T0)M(1) (T0) m+1 l+1 лучить следующую оценку:

(2m + 3)(2l + 3) (, t) =(1)(, t) +2(2)(, t) +O(3t). (23) M(1) (T0) 1 M(1)(T0) m+1 l (m + 1)(l + 1)Km,l,n + m,l,n + 2 2m + 3 T0 Выражение (23) справедливо на временном интервале t O(0) с ошибкой 3. На интервале M(1) (T0) M(1)(T0) 1 O(0) t O(-1) величина погрешности становится m-l - We n m(m + 1)Km,l,n сравнимой со вторым слагаемым (с поправкой второго 2m - 1 T0 порядка малости), и следовательно, в разложении (23) m 2M(1)(T0) справедливым останется лишь первый член, соответm + m,l,n + M(1)(T0) (m - n - 1)Km,l,n ствующий линейному приближению. Таким образом, l + 1 T02 l приближенное решение линейной задачи (20) примениm,l,n n m,l,n мо на временном интервале t O(-1).

- - (m - n + 1)Km,l,n Прежде чем приступать к численному решению сиm n + 1 m + стем дифференциальных уравнений (19) и (22), следует M(1)(T0) M(1)(T0) n n + 2l подчеркнуть, что капля в параллельных электростатичеm l + m - 1- Km,l,n - m,l,n ском поле и гидродинамическом потоке будет сохранять T0 T0 2 2ml сферическую форму. Согласно [10,11], это будет иметь n (n + 2l + 3)m,l,n место при We = w. При этом в системах уравнений (19) + (n - 2m - 3)Km,l,n + 2(n + 1) (m + 1)(l + 1) и (22) коэффициенты An и Dn обратятся в ноль.

Отметим, что критические для реализации неустойчиM(1)(T0) m(4+5n+3m+mn+m2) m вости n-й моды осцилляций капли значения параметров + We n M(1)(T0) T0 l (n + 1)(2m + 1) Тейлора (wcr) и Вебера (Wecr ) определяются условием прохождения через ноль квадрата частоты n-й моды (m + 2)(2 + n + m - mn + m2) n = Km-1,l,n + Km+1,l,n (n + 1)(2m + 1) n2(4n3 + 2n2 - 6n - 1) n(n - 1)(n + 2) - w (n - 1)(m + 2) (n + 1)(m + 2) (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) + Km,l,n-1 - Km,l,n+2n - 1 2n + 2n2 (2n + 1)(n2 - 1) +- We = 0.

(m - 1)m-1,l,n (n - 1)m,l,n-1 (n + 1)m,l.n+(2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) + - + (n + 1)(2m + 1) (m + 1)(2n - 1) (m + 1)(2n + 3) Из этого выражения несложно найти критические зна (m + 1)m+1,l,n M(1)(T0) n We чения параметров Тейлора и Вебера для различных мод l - + M(1)(T0) m осцилляций. Так, для основной моды wcr = Wecr 3.33;

(n + 1)(2m + 1) T0 (n+1)(2m+1) для третьей — 4.66; для четвертой — 5.79; для (m + 1)2(m + 2)Km+1,l,n - m(m - 1)2Km-1,l,n пятой — 6.84 и т. д.

Численное решение системы дифференциальных урав- (m + 1)m+1,l,n +(m - 1)m-1,l,n + We nm(m + 1) нений (19) относительно M(1)(T0) проводилось в пакете n символьных компьютерных вычислений. Поскольку реM(1) (T0) M(1) (T0) M(1)(T0) M(1)(T0) m-l шение бесконечной системы дифференциальных уравне Km,l,n m+1 l T0 2m + 3 T0 2m - ний невозможно, расчет ограничивался первыми пятью модами (n = 2, 3, 4, 5, 6). Как будет видно из представM(1) (T0) M(1) (T0) nl M(1)(T0) m l+1 l-1 ленных ниже результатов расчетов, вклад более высоких + We 2 T0 2l + 3 2l - 1 мод весьма незначителен и проявляется при закритических в смысле устойчивости капли по отношению к m,l,n комбинированному действию давления электрического (1 + l)Km,l,n + ;

и гидродинамического полей на границе раздела сред 1 + m значениях w и We. Расчеты показывают, что при малых Km,l,n [Cn0 ]2;

m0l0 значениях плотности среды (например, для соотношения сред вода–воздух = 10-3) заметный вклад в m,l,n - m(m + 1)l(l + 1) Cn0 Cn0, m0l0 (m-1)lспектр капиллярных колебаний капли вносит только Cn0 и Cn0 — коэффициенты Клебша-Гордана.

изначально возбужденная мода (n = k) и (при k = 2) m0l0 (m-1)lРассмотрение задачи в квадратичном по прибли- основная мода, которая для капли в потоке возбуждается жении позволяет определить зависимость коэффици- автоматически за счет взаимодействия с движущейся Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 22 В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева средой и внешним электростатическим полем (в результате перераспределения гидродинамического давления по поверхности капли [10–11]). Вклад остальных мод (n = k), определяющийся линейным межмодовым вза имодействием, согласно (19), относительно мал. При этом моды, более близкие по номеру к изначально возбужденной k-й, имеют большую величину амплитуды колебаний, которая по мере удаления n от k убывает.

Выяснилось, что поверхность капли совершает близкие к гармоническим колебания, соответствующие суперпозиции k-й (изначально возбужденной) моды и основной моды, в окрестности равновесной формы. Амплитуды мод с номерами (n = k) незначительно возрас тают с увеличением w и We и становятся сравнимы с амплитудой изначально возбужденной моды только при значениях w = We > 3.33, т. е. когда основная мода, а следовательно и вся капля, становится неустойчивой (рис. 1 и 2). Для иллюстрации на рис. 1 приведены временные зависимости первых пяти мод для = 0.при изначально возбужденной основной моде (k = 2).

Видно (рис. 1, a), что даже при величинах w и We, близких к критическому значению для основной моды, амплитуды наиболее близких к основной третьей и четвертой мод остаются сравнительно малыми. Тогда как Рис. 2. Те же зависимости, что и на рис. 1, при начальной деформации, определяющейся третьей модой (k = 3).

a) w = We = 2, b) w = We = 3.5.

при закритических значениях w и We неустойчивыми оказываются все ближайшие моды (см. рис. 1, b), хотя критические значения параметров w и We превышены только для основной моды.

Для изначально возбужденной третьей моды (рис. 2) величины амплитуд мод, ближайших к возбужденной (второй и четвертой), становятся сравнимы с амплитудой изначально возбужденной моды уже при докритических значениях w и We, т. е. можно предположить, что процесс перекачки энергии из возбужденных мод к невозбужденным идет тем интенсивнее, чем выше номер изначально возбужденной моды. При этом, когда становится нейстойчивой основная мода, также становятся неустойчивыми и остальные моды, при этом для слабо закритичных значений w и We неустойчивость носит явно выраженный колебательный характер (рис. 2, b).

Следует отметить, что в процессе перекачки энергии от изначально возбужденной моды в соседние значительную роль играет также отношение плотностей. Так, при больших значениях безразмерной плотности амплитуды изначально невозбужденных, но возбуждаРис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных ющихся за счет линейного взаимодействия, мод станоамплитудных коэффициентов M(1)(t) мод, возбуждающихся в n вятся сравнимы с амплитудой изначально возбужденной первом порядке малости, при начальной деформации капмоды при докритических значениях w и We (рис. 3).

ли, определяющейся основной модой (k = 2), когда = 0.1.

Численное решение систем дифференциальных уравКривая 1 соответствует второй моде, 2 — третьей, 3 — нений (19) и (22) относительно M(2)(T0) —амплитуд четвертой, 4 — пятой, 5 — шестой моде. a) w = We = 3, n b) w = We = 3.5. мод, возбуждающихся во втором порядке малости за Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции капли, движущейся с постоянной скоростью относительно... к появлению взаимодействия мод как в первом, так и во втором порядках малости, следствием чего является возбуждение мод, отсутствующих в спектре мод, определяющих начальную деформацию капли. С увеличением скорости потока и напряженности внешнего электростатического поля растут и амплитуды колебаний изначально невозмущенных мод. Наличие взаимодействия мод приводит во втором порядке малости к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин напряженности электрического поля, скорости и плотности внешней среды.

Рис. 3. Те же зависимости, что и на рис. 1, при безразмерной плотности среды = 1 и w = We = 2.

счет нелинейного взаимодействия (для мод от нулевой до шестой), показывает, что при малых величинах плотности и скорости внешней среды и малости напряженности электрического поля наибольшую амплитуду имеют моды, которые возбуждались бы в отсутствие движения внешней среды [14,15] аналогично тому, как это было в линейном приближении, т. е. моды с номерами n = 2 j, где j = 0, 1,..., k. Движение внешней среды приводит к возбуждению во втором порядке малости дополнительных мод, появление которых связано с наличием в спектре мод первого порядка малости, отличных от изначально возбужденных, появившихся только за счет линейного взаимодействия. Амплитуды таких дополительно возбужденных мод весьма малы, и их вклад в формирование рельефа осциллирующей капли незначителен. С ростом величин, w и We амплитуды дополнительно возбужденных мод увеличиваются.

На рис. 4, a–c приведены рассчитанные по (22) при различных значениях плотности среды, параметров Вебера (We) и Тейлора (w) временные зависимости амплитуд мод, возбуждающихся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, когда начальная деформация определена виртуальным возбуждением основной (k = 2) моды. При малых значениях w и We во втором порядке малости возбудились бы только нулевая, вторая и четвертая моды. Наличие же движения внешней среды и электрического поля привело к дополнительному возбуждению первой, третьей, пятой, шестой мод. Тем не менее видно, что амплитуды основной и четвертой мод максимальны.

Из рис. 4 видно также, что с ростом w и We растут и величины амплитуд колебаний изначально невозбужденных мод. Согласно рис. 4, c, при w = We = 3, т. е. при Рис. 4. Зависимости безразмерных амплитудных коэффидокритических значениях w и We, возникает неустойчициентов M(2)(t) мод, возбуждающихся за счет нелинейного n вость нулевой, второй и третьей мод, капля становится взаимодействия во втором порядке малости, при начальной неустойчивой.

деформации, определяющейся основной модой (k = 2), при Наличие идеальной несжимаемой диэлектрической = 0.1. Кривая 6 соответствует нулевой моде, 7 — первой;

среды, обтекающей идеально проводящую каплю парал- остальные кривые обозначены так же, как и на предыдущих лельно внешнему электростатическому полю, приводит рисунках. a) w = We = 1, b) w = We = 2, c) w = We = 3.

Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 24 В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 03-01-00760.

Список литературы [1] Гонор А.Л., Ривкинд В.Я. // Итоги науки и техники. Сер.

Механика жидкости и газа. Т. 17. М.: Изд. ВИНИТИ, 1982.

С. 98–159.

[2] Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994.

№3. С. 3–22.

[3] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЭОМ. 2000. № 4.

С. 17–27.

[4] Дячук В.А., Мучник В.М. // ДАН СССР. 1979. Т. 248. № 1.

С. 60–63.

[5] Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O. // Physica Scripta. 1996.

Vol. 54. P. 660–666.

[6] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

[7] Коромыслов В.А., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2002. Т. 72.

Вып. 9. С. 21–28.

[8] Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова М.В., Ширяева С.О. // ЭОМ. 2002. № 1. С. 41–45.

[9] Григорьев А.И. // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 7. С. 41–47.

[10] Григорьев А.И. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 12.

С. 91–94.

[11] Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова М.В. // ЭОМ.

2002. № 4. С. 50–53.

[12] Гаибов А.Р., Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 4. С. 22–27.

[13] Гаибов А.Р., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 7.

С. 13–20.

[14] Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2003. Т. 73. Вып. 9. С. 44–51.

[15] Рыбакова М.В., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2004. Т. 74. Вып. 1. С. 24–31.

[16] Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2004. Т. 74. Вып. 9. С. 23–31.

[17] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. // ЖТФ.

1989. Т. 59. Вып. 6. С. 27–34.

[18] Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып. 9. С. 60–63.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.