WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 5 01;03 Нелинейные осцилляции капли, движущейся с постоянной скоростью относительно диэлектрической среды в электростатическом поле © В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 1 июля 2005 г.) В нелинейных асимптотических расчетах второго порядка малости по амплитуде начальной деформации капли показано, что во внешнем электростатическом поле и параллельном ему потоке идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости, ламинарно обтекающем идеально проводящую каплю, имеет место взаимодействие мод как в первом, так и во втором порядках малости. И линейное, и нелинейное взаимодействие мод осцилляций капли приводит к возбуждению мод, отсутствующих в спектре мод, определяющих начальную деформацию равновесной формы капли. Эффект взаимодействия мод приводит во втором порядке малости к снижению критических для реализации неустойчивости капли по отношению к поляризационному заряду величин напряженности электростатического поля, скорости и плотности внешней среды.

PACS: 47.55.DВ разнообразных приложениях технической формы, сказанным представлением целесообразно исследовать геофизики и технологии приходится сталкиваться с влияние внешнего электростатического поля на неликаплями, движущимися относительно среды во внешних нейные осцилляции движущейся капли.

электростатических полях [1–5]. Исследование законо- Пусть среда, которую будем моделировать идеальной мерности реализации осцилляций и устойчивости таких несжимаемой диэлектрической жидкостью с плотнокапель представляет значительный интерес. В частности, стью 2 и диэлектрической проницаемостью, занииз экспериментов [5] известно, что обдувание обвод- мающая все пространство, движется с постоянной сконенной градины или крупной капли потоком воздуха ростью U, параллельной вектору E0 — напряженности снижает критическую для зажигания коронного разряда однородного электростатического поля (U E0) отновеличину напряженности внешнего электрического по- сительно неподвижной капли сферической радиуса R ля, что связано со взаимодействием двух видов неустой- идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкочивости на свободной поверхности капли или градины: сти, с плотностью 1. Коэффициент поверхностного неустойчивости поверхности раздела по отношению к натяжения границы раздела сред обозначим. Примем, индуцированному заряду [2,3] и по отношению к тан- что обтекание капли потоком внешней среды ламигенциальному разрыву поля скоростей [6,7] на поверх- нарное. Согласно [8–10], при ламинарном обтекании ности капли (в модели идеальной жидкости). Детальное первоначально сферической капли потоком идеальной исследование обсуждаемого вопроса представляет инте- несжимаемой жидкости (газа) она деформируется к рес для понимания физических механизмов эволюции форме сплющенного по потоку сфероида. С другой заряженных жидкокапельных систем искусственного и стороны, в однородном внешнем электростатическом естественного происхождения. поле электропроводная капля деформируется к вытянуНесмотря на обилие экспериментальных работ, по- тому по полю сфероиду [17]. При некотором соотносвященных исследованию деформации, устойчивости и шении между величиной напряженности электрического дроблению капель в газовых потоках, строгий анализ ос- поля и скорости обтекающего потока, при условии цилляций и устойчивости капли, движущейся в электро- U E0, капля сохраняет сферическую форму [10,11].

статическом поле относительно диэлектрической среды, Именно для такой ситуации, существенно снижающей проведен только в линеаризованных математических мо- громоздкость расчетов (иначе пришлось бы вводить делях электрогидродинамики [7–11]. В последние годы два малых параметра: один для характеристики стаципоявилось несколько работ, посвященных аналитическо- онарной деформации равновесной формы капли, другой му асимптотическому исследованию нелинейных осцил- для характеристики амплитуды осцилляций), и проволяций заряженных капель, покоящихся относительно дятся последующие расчеты нелинейных осцилляций инерционной диэлектрической внешней среды (см., на- капли.

пример, [12–15]). Однако аналитическое исследование Итак, примем, что в начальный момент времени t = нелинейных осцилляций и устойчивости капли, движу- равновесная сферическая форма капли претерпела вирщейся относительно диэлектрической среды, выполнено туальное осесимметрическое возмущение конечной ампока только для заряженной капли [16]. В связи со плитуды, существенно меньшей радиуса капли, пропорНелинейные осцилляции капли, движущейся с постоянной скоростью относительно... циональное одной из мод ее капиллярных осцилляций, и ее объема и зададимся вопросом о закономерностях временной 0 r 1 + (, t);

эволюции начальной деформации при t > 0. Все расr2dr d = ; V1 = 0 ; (9) суждения проведем в сферической системе координат, 0 2, связанной с центром масс капли. Полярный угол будем Vотсчитывать от положительного направления вектора где d — элемент телесного угла. Условие неподвижнапряженности электрического поля.

ности центра масс системы, как показано в [18], при доДля упрощения последующих расчетов перейдем к статочно больших линейных масштабах внешней среды безразмерным переменным, в которых R = = 1 = 1.

Уравнение границы раздела сред, возмущенной осесим- выполняется автоматически, поэтому расчет амплитуды трансляционной (первой) моды, как и более высоких, буметричным капиллярным движением, запишем в виде дем производить на основе системы гидродинамических r = 1 + (, t), || 1.

граничных условий.

Начальные условия сформулируем, определяя в наДвижения жидкости будем полагать потенциальными, чальный момент времени осесимметричную деформат. е. примем, что поля скоростей волнового движения цию сферической формы капли и полагая равной нулю жидкости в капле V = (r, t) и в среде U = (r, t) начальную скорость движения границы раздела сред определяются функциями потенциалов скоростей (r, t) и (r, t) соответственно.

t = 0 : (, t) =0P0(µ) +Pk(µ);

Математическая формулировка задачи расчета нелиµ cos ; (k 2); (10) нейных осцилляций границы раздела сред в описанной системе состоит из системы уравнений Лапласа для (, t) = 0. (11) потенциалов скоростей (r, t) и (r, t) и потенциала t электрического поля (r, t) Здесь — безразмерная амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи; Pk(µ) — (r, t) =0; (r, t) =0; (r, t = 0) (1) полином Лежандра k-го порядка; 0 —константа, определяемая условием (9) и имеющая во втором порядке и граничных условий к ним малости вид r 0 : (r, t) 0; (2) 0 = -2 + O(3), (12) 2k + r : (r, t) -E0; (r, t) U0; (3) где k — номер изначально возбужденной моды.

Решение задачи (1)–(11) в квадратичном по ампли r = 1 + : = - ; (4) туде осцилляций приближении будем искать на основе t r rасимптотического метода многих временных масштабов.

1 - = - ; (5) Для этого искомые функции (, t), (r, t), (r, t), r r2 r r (r, t) представим в виде рядов по степеням малого параметра и будем считать их зависящими не просто - - ()2 + pin + pE - p t от времени t, а от различных его масштабов Tm = mt:

= - - ()2 + pex; (6) t 2 (, t) = m(m)(, T0, T1,...);

m=( )pE = ; p = div n;

(r, t) = m(m)(r,, T0, T1,...);

(r, t) = (t), (7) S m=где pin и pex определяют давления в капле и среде соответственно; pE — давление электрического поля на (r, t) = m(m)(r,, T0, T1,...);

границу раздела сред; p — лапласовское давление, n — m=единичный вектор внешней нормали к поверхности кап ли; (t) — постоянный электростатический потенциал S (m) (r, t) = m (r,, T0, T1,...). (13) вдоль поверхности капли; 2/1.

m=Следует учесть также условия неизменности собственного электрического заряда капли Производные по времени в соответствии с идеей метода многих временных масштабов будем вычислять r = 1 + (, t);

по правилу: = + + O(2).

t T0 T - (n )dS = 0; S = 0 ; (8) Подставляя разложения (13) в краевую задачу (1)–(9) 0 и приравнивая в каждом из уравнений слагаемые при S 2 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 18 В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева (0) (0) (0) (0) (0) равных степенях малого параметра, несложно получить (1) 2 - + + - (1) набор краевых задач для последовательного определеT0 4 r r2 r (m) ния неизвестных функций (m), (m), (m),, где (0) (1) (0) (1) m = 0, 1, 2,....

+ + +(2 + )(1) В нулевом порядке малости задача (1)–(9) имеет вид r r (0) = 0; (0) = 0; (0) = 0;

(1) (0) 2 (0) (1) = - + (1) - ;

r 0 : (0) 0;

T0 (0) r : (r, t) -E0; (0) U0;

(0) (1) (1) (0) (0) + (1) = ;

S r = 1 : = = 0;

r r r (0) ( )2 (1) (0) (0) (0) 2 (1) pin - ((0))2 + - 2 = - ((0))2 + pex;

+ +2 (1)- d = 0;

2 8 r r2 r (0) (0) = ;

S (1) d (0) t = 0 : (1) = Pk(µ); = 0; (1)d = 0, d = 0. (14) T4 dr 0 (18) Решения (14), описывающие равновесное состояние где — угловая часть оператора Лапласа.

системы, имеют вид Подставив разложения (16), (17) (при m = 1), а также (0) решения нулевого порядка малости (15) в систему (18), 0; (0) = 0;

S можно получить бесконечную систему связанных обык(0) новенных дифференциальных уравнений, определяющих (0)(r, ) U r + µ; (r, ) -E0 µ(r - r-2).

2rнеизвестные коэффициенты (15) (1) (1) В силу линейности уравнений (1)–(3) им должна G(1)(T0, T1,...), En (T0, T1,...), Fn (T0, T1,...), n (m) удовлетворять каждая из функций (m), (m), в разложениях (13), потому представим последние для M(1)(T0, T1,...) : M(1)(T0, T1,...) 0;

n m 1 в виде рядов по полиномам Лежандра M(1)(T0, T1,...) 0; n 1;

(m) (m)(r,, T0, T1,...) = En (T0, T1,...)rnPn(µ);

M(1) (T0, T1,...) n=AnM(1) (T0, T1,...) +Bn n-n-T (m)(r,, T0, T1,...) = G(m)(T0, T1,...)r-n-1Pn(µ);

n 2M(1)(T0, T1,...) n n=+ + nM(1)(T0, T1,...) n T (m) (r,, T0, T1,...) = Fn(m)(T0, T1,...)r-n-1Pn(µ).

M(1) (T0, T1,...) n=0 + Cn n+1 + DnM(1) (T0, T1,...) =0;

n+T(16) (19) В аналогичном виде будем искать и последовательные 1 M(1)(T0, T1,...) n поправки (m) к выражению, определяющему форму (1) En (T0, T1,...) = ;

n Tповерхности капли 1 M(1)(T0, T1,...) n (m)(, T0, T1,...) = M(m)(T0, T1,...) Pn(µ). (17) G(1)(T0, T1,...) =n n n + 1 Tn=В первом порядке малости по для определения 2 n + U M(1) (T0, T1,...) (1) n-неизвестных коэффициентов G(1), En, Fn(1), M(1) в ре- 3 2n - n n шениях (16), (17) (при m = 1) система граничных и на- n чальных условий (4)–(11) с учетом (12) преобразуется - M(1) (T0, T1,...) ;

n+2n + к виду n (1) (1) (1) Fn (T0, T1,...) =3E0 M(1) (T0, T1,...) r = 1 : = ;

n-2n - T0 r n + (1) (1) 2(0) (0) (1) + M(1) (T0, T1,...) ;

= + (1) - ; n+2n + r r rЖурнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейные осцилляции капли, движущейся с постоянной скоростью относительно... n2(n - 1)(n - 2) (2) 2(1) (1) (1) (2) 2(1) (1) 0; An =(We - w)(n) ; + (1) - = + (1) S (2n - 3)(2n - 1) r r2 r r(1) (1) 2(0) 1 3(0) Bn = - We n (n);

- + (2) + ((1)) r2 2 rn(2n + 1) Cn = We (n) ; (2) (0) (1) (0) 2n + 3 - + 2(1) ;

n2(n + 1)(n + 2) (2) (1) 2(1) 1 (1) 2 (1) Dn =(We - w) (n) ;

- - -(1) - + (2n + 3)(2n + 5) T0 T1 r T0 2 r n2(4n3 + 2n2 - 6n - 1) (0) (2) (0) (2) (1) (1) n = (n) n(n - 1)(n + 2) - w + 2 + 2 + + (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) 8 r r r 2n2 (2n + 1)(n2 - 1) +(0) (0) (0) (0) (0) - We ;

2 (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3) + 2(2) + r r2 r -n 9E0 (0) (1) (0) (1) (0) (0) (n) = 1 + ; w = ; We = U2. 2 2 n + 1 4 4 + 2(1) + + - r2 r r r2 r Бесконечная система дифференциальных уравне(1) (0) (1) (0) (0) ний (19) позволяет определить зависимость коэффици 2 + +((1))ентов разложений только от временного масштаба T0.

r r rЧтобы завершить рассмотрение задачи в линейном (0) (0) (0) по приближении, величины M(1)(T0, T1,...) положим n 3 2 2 (1) 2 2 (0) + + + + не зависящими от временного масштаба T1 и более r2 r2 r высоких временных масштабов, т. е. представим в виде (0) (1) M(1)(T0, T1,...) M(1)(T0) +O(T1). При этом для воз- n n - 4 + (2 + )(2) - 2(1)(1 + )(1) мущения поверхности получается оценка r (, t) =(1)(, t) +O(, t). (20) (2) (1) 2(1) 1 (1) 2 (1) = - - -(1) - + T0 T1 rT0 2 r Это разложение равномерно пригодно при t O(0), в этом случае ошибка составляет величину 2. Для 1 2(0) 2 ((1))2 (0) 2 (0) 3(0) значений t O(-1) данное разложение становится - ((1))2 - 3 + 2 r2 2 rнепригодным, однако при исследовании тенденций движения поверхности использовать (20) можно и на вре(0) (2) (0) (1) (0) 2(1) менных интервалах t O(-1) в рамках требования - + (1) 2 - ;

r асимптотичности.

В отличие от случая нелинейно осциллирующей дви(1) d (0) 1 d2 (0) (2) (2) жущейся относительно среды заряженной капли [16] + (2) + (1) + ((1))2 = ;

dr r 2 dr2 S линейное взаимодействие мод, определяемое (19), не исчезает даже при отсутствии движения внешней среды (1) (1) (0) (2) 2 2 (1) (при U = 0), поскольку коэффициенты An и Dn зависят и + (1) + 2 r r2 r r от параметра Вебера (We) и от параметра Тейлора (w).

В общем случае при We = 0; w = 0 n-я мода взаимо (0) (0) (0) d2 d 1 d3 d2 (0) действует с четырьмя ближайшими: (n - 2)-й, (n - 1)-й, + (2) + 2 +((1))2 + (n + 1)-й, (n + 2)-й, а при отсутствии движения внешней dr2 dr 2 dr3 drсреды с (n - 2)-й, (n + 2)-й.

(0) (1) (0) d (1) (2) Для определения поправок второго порядка ма+ - - d = 0;

dr d d d лости, т. е. для отыскания функций G(2)(T0, T1,...), n (2) En (T0, T1,...), Fn (T0, T1,...), M(2)(T0, T1)..., из систеn 1 (2) (1) (2) мы граничных условий (4)–(12), сохраняя в (13) слагае- t = 0 : 0 = - ; + = 0;

2k + 1 T0 Tмые второго порядка малости по, получим уравнения (2) +((1))2 d = 0. (21) (2) (1) (2) 2(1) (1) (1) r = 1 : + = + (1) - ;

T0 T1 r r2 2 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 20 В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева Подставим разложения (16), (17) (при m = 2), а n (2) Fn (T0, T1,...) =3E0 M(2) (T0, T1,...) n-также решения (15) и (19) в (21), и выпишем систему 2n - неоднородных дифференциальных уравнений для на хождения неизвестных коэффициентов G(2)(T0, T1,...), n n + 1 m+ M(2) (T0, T1,...) + M(1) (T0) (2) n+1 m-En (T0, T1,...), Fn(2)(T0, T1,...), M(2)(T0, T1,...). Исклюn 2n + 3 2m - m=2 l=чив из получившихся уравнений слагаемые, пропорциональные (M(1)(T0, T1,...)/T1), которые приводят к n m(m + 1) + M(1) (T0) Km,l,nM(1)(T0) ;

m+1 l появлению секулярных членов в решениях, найдем, что 2m + амплитуды разложения M(1) не зависят от временного n (2) масштаба T1. Таким образом, в дальнейшем будем по- 0;

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.