WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Журнал технической физики, 1997, том 67, № 10 01;11 Расчет пробегов тяжелых ионов низких энергий в аморфной среде © Е.Г. Шейкин Научно-исследовательское предприятие гиперзвуковых систем, 196066 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 21 февраля 1996 г. В окончательной редакции 26 июля 1996 г.) Исследован диапазон низких энергий, соответствующих значениям приведенной энергии 0.1. Разработан метод расчета пробегов тяжелых ионов в аморфной среде. Получены аналитические выражения для расчета проективного пробега ионов и среднеквадратичного отклонения проективных пробегов. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментом.

Имплантация ионов низких энергий (E 100 keV) в упругого рассеяния иона на атоме мишени считается аморфные вещества является важным технологическим зависящим от энергии иона. Изменение же энергии процессом, применяемым для создания новых матери- и направления движения иона в процессе упругого расалов, в частности, в полупроводниковой микроэлектро- сеяния описывается в рамках модели твердых шаров.

нике. Характеристики материалов зависят от простран- В этом случае тормозная способность ионов Sn() и ственного распределения имплантированных ионов. Наи- среднее значение квадрата потерь энергии при одном более разработанный аналитический метод для расчета столкновении (старгглинг) () определяются через пробегов ионов в аморфной среде основывается на урав- () следующими соотношениями:

нении Линхарда–Шарфа–Шиота (см., например, [1,2]).

() Это уравнение позволяет рассчитать пробеги ионов Sn() =, при заданной энергетической зависимости тормозной 2a2 способности ионов. Расчеты обычно проводятся с использованием безразмерных переменных. Безразмерная () w() = 2. (1) энергия, в частности, вводится соотношением 3a2 n2 a Таким образом, в модифицированной модели твердых = E, шаров, старгглинг w() связан с тормозной способно(m1 + m2) Z1Z2e2 стью Sn() соотношением w() =(2/3)Sn(). Согласно где m1 и m2 — соответственно масса иона и атома работе [3], это соотношение вполне удовлетворительно ”мишени”; Z1 и Z2 — соответственно заряд иона ядра согласуется с результатами численных расчетов для 2/3 2/и атома ”мишени”; a = 0.8853· a0/(Z1 + Z2 )1/2, a0 — модельных потенциалов взаимодействия при <1.

боровский радиус.

Расчет среднего значения проективного пробега ионов При выводе уравнения Линхарда–Шарфа–Шиота был в веществе Rp и среднеквадратичного отклонения проексделан ряд существенных допущений, ограничивающих тивных пробегов Rp будем проводить с помощью анадиапазон его применимости. Согласно [1], данное уравлитического моделирования траектории движения ионов нение нельзя использовать для расчета пробегов медленв веществе с последующим ее усреднением, учитывая ных ионов, когда доминирующий вклад в полное сечение вероятностный характер процессов рассеяния. Введем упругого торможения.

следующие обозначения: xk — расстояние от поверхноЦель работы состоит в создании метода для рас- сти до точки, в которой быстрая частица испытывает k-е чета пробегов ионов в аморфной среде при энергиях столкновение, qk — вероятность того, что после k-го 0.1, когда торможение ионов в веществе определяет- столкновения ион остановится. В этих терминах получим ся процессом упругого рассеяния на атомах ”мишени”.

Движение ионов в веществе рассматривается в рамках Rp = qkxk, R2 = qkx2, p k следующей модели. Ион падает на поверхность раздела k=1 k=сред с энергией 0 под углом к поверхности со значением косинуса направляющего угла µ0 (при ортогональном падении µ0 = 1). При движении в веществе ион те- p Rp = R2 - R2. (2) p ряет энергию в процессе упругих соударений с атомами ”мишени”, столкновения носят парный характер, между Для определения величины qk необходимо построить столкновениями ион двигается по прямой. Остановка ио- функцию распределения по энергиям иона, испытавшего на в веществе происходит, когда его энергия становится k столкновений Fk(). В рассматриваемой модели энерменьше некоторой пороговой величины пор.

гия иона изменяется только в процессе упругого рассеяСтолкновения будем рассматривать в модифицирован- ния на атомах ”мишени”. Следовательно, уравнение для ной модели твердых шаров [3], для которой сечение функции распределения ионов по энергиям может быть Расчет пробегов тяжелых ионов низких энергий в аморфной среде s записано в форме рекуррентных соотношений При F0() = ( - 0) имеем W0(s) = 0-1. Таким образом, из рекуррентного соотношения (8) получаем явное выражение для функции Wk(s) Fk() = Fk-1( ) · p( )d ; k =1, 2, 3..., (3) s 0 Wk(s) =0-1Qk(1 -s)k/sk. (9) где p( ) определяет вероятность изменения энерДля нахождения Fk() необходимо осуществить обратгии иона при упругом рассеянии от значения до ное преобразование Меллина от функции Wk(s). С значения. Функция p( ) нормирована на единицу этой целью представим (9) в виде ряда (используя биномальное разложение для (1 - s)k) p( )d = 1.

1 Qk k Wk(s) = (-1)ici (i0)s, (10) 0 sk i=0 k Энергия иона после столкновения связана с энергией иона до столкновения соотношением [4] где k! ci = — m2 m2 2 m2 2 k i!(k - i)! = 1 + 2 cos + 1 +, (4а) m1 m1 mбиномиальные коэффициенты.

Применим к (10) обратное преобразование Меллина где — угол рассеяния иона на атоме ”мишени” в системе центра масс.

c+i Определим функцию p( ) для изотропного в Fk() = Wk(s)-sds.

системе центра масс рассеяния. В этом случае плотность 2i вероятности рассеяния иона на угол описывается c-i выражением Согласно [6], обратное преобразование Меллина от функции b-sW(s) соответствует функции F(b), что p() = sin, 0. (4б) с использованием результатов [6] позволяет для Fk() получить из (10) следующее выражение Используя выражения (4а), (4б) и закон преобразования случайных величин [5], согласно которому 1 Qk p( )d = p()d, получим Fk() = 0 (k -1)! Q/,, p( ) = (5) 0, >, <, (-1)ici lnk-1(i0/) /(i0), (11) k i= где = (m1 - m2)/(m1 + m2), Q = 1/(1 - ).

где После подстановки (5) в (3) система рекуррентных со1, 0 x 1, отношений для фунции Fk() предпринимает следующий (x) = 0, x >1, x <0.

вид:

/ Используем функцию распределения Fk() для опреFk() =Q Fk-1( )/ d. (6) деления входящих в выражение (2) коэффициентов qk, которые определяют вероятность остановки иона после Найдем решение системы уравнений (6) для функции k-го столкновения. Так как остановка иона происходит распределения Fk() при исходном моноэнергетическом при выполнении условия

соотношения из работы [6]), получим Wk(s) =Wk-1(s)Q(1 -s)/s, (8) При этом величина k определяет вероятность того, что энергия иона, испытавшего k столкновений, имеет где значение меньше порогового, а величина qk определяет вероятность того, что условие

иона только после k-го столкновения.

2 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 18 Е.Г. Шейкин Проинтегрировав Fk(), получим для k следующее p() =1/(2), 0 2. Длина пробега иона между выражение: столкновениями j при зависящем от энергии сечении упругого рассеяния () определяется через функцию N thr распределения ионов по энергиям Fj().

k = Qk (-1)ici k Усредняя соотношение (15), используем результаты i=работы [9], согласно которой изменения угловых и k-1 k энергетических характеристик тяжелых быстрых частиц lnj(i0/thr) + (-1)ici i, (13) (m1/m2 2) при упругом рассеянии можно рассматриk j! j=0 i=N+1 вать как независимые. В этом приближении получим k-где N — целая часть числа ln(thr/0)/ ln.

xk = jµj, С учетом тождественного соотношения j=k k-(1 - )k = (-1)ici i k x2 = x2 + 2 µ2 - 2µ2. (17) k i=0 k j j j j j=(см., например, [7]) выражение (13) для k упрощается Величины µj и µ2, входящие в [17], определяют j N ся с использованием рекуррентного соотношения (16).

k = 1 - Qk (-1)ici Усреднение проводится по случайным величинам и.

k i=После несложных преобразований получаем thr k-1 µj = µ0(cos )j, i - lnj(i0/thr). (14) 0 j=0 j! 1 1 3cos2 - 1 j µ2 = + µ0 -, (18) j 3 3 Полученные соотношения (12)–(14) определяют знагде чения qk, входящие в формулу (2). Для расчета сред него проективного пробега Rp и среднеквадратичного cos = cos ()p()d, отклонения Rp по формуле (2) необходимо определить значение координаты xk, при котором ион испытает k-е столкновение с атомом ”мишени”, и средние значения xk и x2. В том случае, когда коэффициент отражения ионов cos2 = cos2 ()p()d.

k от поверхности ”мишени” равен нулю, координата k-го столкновения иона с атомом ”мишени” определяется Для p() в форме (4б) получаем следующим образом:

1 - 1 mk-, m1 >m2, 3 mcos = xk = jµj, (15) 2 m, m1 m2, 3 mj=1 m2 где j — расстояние, проходимое ионом между j- и j+1cos2 =1 - 1 + столкновениями; µj — косинус угла между направлени4 mем движения иона после j-го столкновения и осью x.

1 m1 m2 2 Изменение величины µj в результате упругого рассе+ 1 - ln(1/).

яния описывается соотношениями из [8] 16 m2 m Величины k и k, входящие в (17), определим с µj = µj-1 cos + 1-µ2 sin cos, j-учетом вероятностного характера процессов рассеяния следующим образом:

m2 m2 m2 cos = 1 + cos 1 + 2 cos +, m1 m1 m k = Fk() nl() · e-n()ldld, (16) 0 где — угол рассеяния иона в лабораторной системе, — азимутальный угол рассеяния.

Закон распределения случайной величины µj опредеk = Fk() nl2() · e-n()ldld, (19) ляется угловыми характеристиками рассеяния p() и 0 p(). Рассматривается изотропное в системе центра масс рассеяние, поэтому p() = sin, 0 ; где n — концентрация атомов ”мишени”.

Журнал технической физики, 1997, том 67, № Расчет пробегов тяжелых ионов низких энергий в аморфной среде Проинтегрировав данные соотношения по пространственной переменной l, получим:

k =0 Fk() 0/() d, k = 20 Fk() 0/() d, (20) где 0 = (0), 0 = 1/(n0).

Полагая, что зависимость () может быть представлена в виде ряда по степеням, получим выражение для k и k в простейшем случае, когда зависимость () описывается степенной функцией с произвольным показателем степени () = 0(0/). Поставив это выражение в [20], где Fk() описывается формулой (11), получим k = 0k(), k = 20k(2), (21) где () =(1 -1+)/ (1 -)(1 + ).

Сечение упругого рассеяния () может быть определено с использованием формулы (1) через известные экспериментальные или теоретические зависимости тормозной способности от энергии. В работе [10] предложена удобная аппроксимационная формула для Sn(), хорошо согласующаяся с результатами численных расчетов для потенциала взаимодействия в модели Томаса–Ферми при Рис. 1. Энергетические зависимости пробегов ионов в ”мише 10, ни” из углерода. a — Rp, b — Rp;,, — эксперименg Sn() =, (22а) тальные данные из [11] для ионов Pb, Cs, Kr соответственно;

b + сплошные линии — результаты расчета данной работы.

где g = 0.45, b = 0.3.

Из формул (22а) и (1) получим выражение для () в виде 2a2g передать атому ”мишени” для того, чтобы сместить его () =. (22б) (b +) с занимаемого места. Величина sh рассчитывалась в предположении Esh = 25 eV.

В том случае, когда () описывается формулой (22б), для k и k в соответствии с (20), (21) получаем На рис. 1 проводится сравнение рассчитанных значе следующие выражения: ний средних проективных пробегов ионов Rp и среднеквадратичных отклонений Rp с экспериментальными k = 0 bk(1/2) +0k(3/2) /(b+0), результатами работы [11]. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментом. На рис. 2 проводится 2 k =20 b2k(1)+2b0k(2)+0k(3) /(b+0)2, (23) сопоставление наших расчетов с результатами расчетов методом Монте-Карло по программе TRIM, также где приведенных в работе [11]. Видно, что TRIM дает су0 = 0(b + 0)/(2a2ng).

щественно заниженные результаты. В программе TRIM Полученные соотношения (2), (12), (14), (17), (18), используется жидкостная модель, согласно которой дли(23) позволяют рассчитать первые два момента про- на пробега иона в веществе постоянна, = n-1/3.

странственного распределения имплантированных ио- Процесс упругого рассеяния ионов на атомах мишени нов. Величина thr, входящая в (23), определяется ана- описывается в приближении универсального потенцилогично [3] из условия равенства max — максимальной ала взаимодействия. Для того чтобы приблизить распередаваемой энергии при упругом столкновении иона с четные результаты к экспериментальным, авторы [11] атомом ”мишени” и sh — энергии, которую необходимо были вынуждены предположить существенное влияние 2 Журнал технической физики, 1997, том 67, № 20 Е.Г. Шейкин Список литературы [1] Кумахов М.А., Комаров Ф.Ф. Энергетические потери и пробеги ионов в твердых телах. Минск: изд. БГУ, 1979.

320 с.

[2] Ashworth D.A., Bowger M.O.J., Oven R. // Nucl. Instr. and Meth. 1995. Vol. B100. N 4. P. 471–482.

[3] Шейкин Е.Г. // Решение кинетического уравнения для быстрых частиц в аморфной среде. Ч. II. ЖТФ. 1996. Т. 66.

Вып. 10. С. 63.

[4] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988.

216 с.

[5] Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

[6] Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969. 344 с.

[7] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. 832 с.

[8] Франк-Каменецкий А.Д. Моделирование траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-Карло. М.:

Атомиздат, 1978. 96 с.

[9] Шейкин Е.Г. // ЖТФ. 1995. Т. 65. Вып. 10. С. 1–12.

[10] Юдин В.В. // ДАН СССР. 1972. Т. 207. № 2. С. 325–332.

[11] Grande P.L., Zawislak F.C., Fink D., Behor M. // Nucl. Instr.

and Meth. 1991. Vol. B61. N 3. P. 282–290.

Рис. 2. Энергетические зависимости пробегов ионов Pb в ”ми шени” из углерода. a — Rp, b — Rp; — экспериментальные данные [11], — результаты расчета по программе TRIM [11], сплошные линии — результаты расчета данной работы.

неупругих процессов на характеристики упругого рассеяния. Результаты наших расчетов с использованием простейших моделей согласуются с экспериментом без подгоночных параметров. Возможно, это свидетельствует об алгоритмических погрешностях программы TRIM, которые проявляются при описании движения тяжелых ионов низких энергий в легких материалах.

Перечислим основные результаты работы. Разработан метод расчета пробегов тяжелых ионов низких энергий в аморфной среде. Использование модифицированной модели твердых шаров для описания процесса упругого рассеяния ионов на атомах ”мишени” позволило получить аналитические выражения для расчета основных характеристик имплантированных ионов — Rp и Rp.

Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментом.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.