WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. 1 Оствальдовское созревание в условиях смешанного типа диффузии © Р.Д. Венгренович, А.В. Москалюк, С.В. Ярема Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича, 58012 Черновцы, Украина (Поступила в Редакцию 12 января 2006 г.

В окончательной редакции 4 апреля 2006 г.) Изучено оставльдовское созревание в металлических сплавах и квазинульмерных полупроводниковых структурах в условиях смешанного типа диффузии (дислокационно-матричной), когда нельзя пренебречь ни одним из слагаемых jd и jv в общем диффузионном потоке. Получены функция распределения по размерам и временные зависимости для максимальных (rg) и критических (средних) размеров частиц rk( r ) в зависимости от соотношения x между потоками. Показана возможность реализации смешанного, дислокационно-матричного типа диффузии в процессе формирования квантовых точек CdS, получаемых химическим осаждением.

PACS: 81.10.Aj, 64.60.Qb, 66.30.Fq Оствальдовское созревание (ОС) дисперсных фаз В металлических сплавах, упрочненных дисперсными в металлических сплавах, островковых металлических выделениями второй фазы, ОС является одной из причин пленках или полупроводниковых гетеросистемах явля- их разупрочнения. По мере роста крупных и исчезновения вследствие растворения мелких частиц расстояние ется последней заключительной стадией формирования между ними увеличивается, что приводит к уменьшению их структуры. Явление ОС отражает позднюю стадию напряжения, необходимого для проталкивания дислокаразвития зародышей новой фазы во времени, когда пересыщение между ними снижается, а их диффузи- ций между частицами, и соответственно к уменьшению предела текучести.

онные поля перекрываются, т. е. рост зародышей проПри дислокационном механизме укрупнения когеисходит при их взаимодействии между собой. Согласрентных с матрицей частиц поток вдоль дислокаций jd но [1], взаимодействие между частицами новой фазы намного превышает поток матричной диффузии jv осуществляется через „обобщенное самосогласованное диффузионное поле“. При этом малые частички из-за dC dC DdZq Dv4r2, (1) своей большей кривизны поверхности (или основания dR dR R=r R=r островка в пленках и гетероструктурах) в соответствии где Dd, Dv — коэффициенты дислокационной и матричс эффектом Гиббса–Томсона (зависимость давления или ной диффузии соответственно; Z — число дислокациконцентрации на границе с частичкой от кривизны ее онных линий, закрепленных или перерезающих частицу поверхности) растворяются и пропадают, а большие — радиуса r; q — площадь сечения дислокационной трубрастут. Этот процесс называют ОС, реже коалесценци dC ки; — градиент концентрации на границе с чаей. Считается, что ОС является ключевым фактором, dR R=r стицей. Если учесть, что при нарушении когерентности определяющим форму распределения частиц по развследствие релаксации упругих напряжений [24] Z не мерам.

остается постоянным (Z = const), а изменяется обратно Основы теории ОС были заложены в работах Лифпропорционально радиусу частицы, неравенство (1) нашица, Слезова и Вагнера (теория ЛСВ), в которых кладывает ограничение на размеры частиц, при котором считалось, что рост выделений новой фазы лимитируеще возможен трубочный механизм диффузии [14] ется либо коэффициентом матричной диффузии [2,3], либо кинетикой перехода на границе раздела частица– DdZ0q3/матрица [4]. Впоследствии в рамках этой теории был r, (2) 42Dv решен ряд других задач, когда рост частиц происходит в условиях диффузии по границам зерен [5,6], поверхгде Z0 — начальное число дислокаций, закрепленных на ностной диффузии [7,8], диффузии по дислокационным поверхности частицы. Если условие (2) нарушается, это трубкам [9–14] и т. п.

означает, что в общем потоке j вещества к (от) частице Особого внимания заслуживают работы, связанные уже нельзя пренебрегать составляющей jv за счет матс ОС островковой структуры, возникающей в про- ричной диффузии. В этом случае рост частиц происходит цессе самоорганизации в полупроводниковых гетероси- в условиях смешанного типа диффузии (дислокационностемах [15–21]. Теория ЛСВ используется также для матричной), когда в общемпотоке анализа возникновения и последующей эволюции дисj = jd + jv (3) сипативных структур, образующихся в неравновесных полупроводниковых системах в процессе фазового пе- ни одной из составляющих jd или jv пренебрегать рехода [22,23]. нельзя.

14 Р.Д. Венгренович, А.В. Москалюк, С.В. Ярема Настоящая работа посвящена изучению особенностей на rg dC R=rg, где rg — предельный размер частиц, dR ОС в условиях дислокационно-матричной диффузии и, dC — градиент концентрации на границе с частиdR R=rg в частности, расчету функции распределения частиц цей радиусом rg по размерам и временных зависимостей для средних (критических) и максимальных размеров частиц в зави- dr 1 v2 CDdZ0q3/m = симости от соотношения между потоками jd и jv.

dt r5 22RT dC r3 r g 1. Скорость роста частиц 1 Dv4r2 dR r=rg + - 1.

Z0q1/2 dC Dd · 2 q r3 rk Функцию распределения частиц по размерам f (r, t) 2rg dR r=rg g (10) определяют из уравнения непрерывности В (10) отношение f (r, t) dC + f (r, t) = 0, (4) Dv4r2 dR r=rg g t r dC Z0q1/dr Dd · 2 q где — скорость роста (растворения) частиц.

2rg dR r=rg dt Ее находят из условия, что изменение объема частицы jv обусловлено потоком вещества к (от) частице радиуса r равно отношению потоков для частицы максимальjd ного размера rg и его, согласно (9), можно заменить d x на, поскольку никаких ограничений на размеры r3 = jvm, (5) 1-x dt частиц (9) не содержит. Поэтому уравнение (10) преобразуется к виду где vm — объем атома растворенного вещества, т. е.

dr 1 v2 CZ0q3/2Dd m dr = = jvm. (6) dt r5 22RT dt 4rx r3 r При этом j задается уравнением (3), где jd и jv при 1 + - 1. (11) 1 - x r3 rk нимают значения левой и правой частей неравенства (1) g соответственно Уравнение (11) описывает скорость роста частиц при доминирующем вкладе в общий поток вещества диффуZ0q1/2 dC dC j = Dd · 2 q + Dv4r2, (7) зии вдоль дислокаций с долевым участием x матричной 2r dR dR R=r R=r диффузии.

Z0q1/Если из (8) за скобки вынести Dv4r2 и повторить здесь учтено, что в потоке jd Z = [14].

2r предыдущие выкладки, то получим Подставляя (7) в (6) и учитывая, что rdr 1 v2 CDv 1 - x r g m dC 2vm 1 r = + 1 - 1. (12) = C · - 1, dt r2 RT x r3 rk dR TR r2 rk R=r Уравнение (12) описывает скорость роста частиц в услогде — поверхностная энергия, C — равновесная конвиях матричной диффузии с долевым вкладом (1 - x) центрация твердого раствора, R — газовая константа, диффузии вдоль дислокаций.

T — температура, а rk — критический размер частиц, получим 2. Временные зависимости для rg и rk dr 1 2v2 C m = Уравнения (11) или (12) позволяют определить основdt 4r4 RT rg ной параметр теории ЛСВ, отношение (в терминах rk Z0q1/2 r Dd · 2 q + Dv4r2 - 1. (8) работ [2,3] запирающую точку u0), при значении которо2r rk го можно проинтегрировать после разделения переменных уравнение (4) и найти функцию распределения по Обозначим через x и (1 - x) долю jv и jd в общем r относительным размерам f (u), где u =. Отношение потоке j rg rg определяют из условия [12] jv jd jd 1 - x rk x =, 1 - x =, =. (9) j j jv x d = 0, (13) dr r r=rg Для того чтобы скорость роста (8) выразить через Z0q1/ долевые потоки jv и jd, вынесем за скобки Dd · 2 q соответствующего точке на кривой в зависимости от r, 2r r и умножим числитель и знаменатель второго слагаемого схематически изображенной на рис. 1, где производная Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. Оствальдовское созревание в условиях смешанного типа диффузии Проинтегрировав при аналогичных условиях уравнение (12), получим 6B 1/rg = t, (19) x(5 - 3x) 1/6B(5 - 3x)rk = t, (20) x(6 - 3x)2vmCDv где B =.

RT Второй предельный случай соответствует значению x = 3 4 rg r3 = Bt, r3 = Bt, =, (21) g k 2 9 rk Рис. 1. Схематическое изображение зависимости от r.

r а распределение по размерам описывается функцией Лифшица–Слезова равна нулю. Максимального размера rg достигает та из -11/3 -7/частиц, для которой скорость роста в расчете на единицу g(u) =u2 1 - u u + 2 exp. (22) 1 - u длины ее радиуса имеет максимальное значение.

Из (13) получаем 3. Распределение по размерам rg 6 - 3x =. (14) rk 5 - 3x Для определения функции распределения по размерам rg в интервале 0 x 1 ее представляют в виде [12] Если в (11) положить r = rg, а отношение заменить rk его значением из (14), то после интегрирования получаf (r, t) =(rg)g(u), (23) ем временную зависимость для максимальных где g(u) — распределение частиц по относительным 1/r 6A размерам u =. Из закона сохранения массы M дисrg = t (15) rg (5 - 3x)(1 - x) персной фазы и критических rg 1/6 6A(5 - 3x)M = r3 f (r, t) dr, (24) rk = t (16) (6 - 3x)6(1 - x) v2 CZ0q3/2Dd m после подстановки в него f (r, t) из (23) находим (rg ) размеров частиц, где A =.

2RT Формулы (15) и (16) описывают изменение со вреQ (rg ) =, (25) менем размеров частиц в условиях дислокационноrg матричной диффузии при преобладающем вкладе в общий поток вещества диффузии вдоль дислокаций. При где M x = 0, что соответствует первому предельному случаю, Q =, рост частиц лимитируется диффузией вдоль дислокаций u3g(u) du 6 5 rg r6 = At, r6 = At, =. (17) g k — плотность частиц.

5 6 rk Если в (4) вместо f (r, t) и подставить их значения Функция распределения по относительным размерам из (22) и (12) (или (11)), а затем перейти от дифференпри этом имеет вид [14] цирования по r и t к дифференцированию по u, то в (4) разделяются переменные 0.2u+a u5 exp exp (- ) -0.0287 arctg (1 - u) 4b - a 1 d 4g + 2 dg(u) du u3 u2u+c exp -0.1127 arctg = - du, (26) 4d - cg(u) ug ug(u) =, (1 - u)(u2 + au + b)(u2 + cu + d) gr3 du (18) r3 g где учтено, что =, g =, =, B B dr rg где a 2.576, b 2.394, c -0.576, d 0.088, = = = = du = -ru, значению константы B соответствует (19).

= 41/15, 1.562, 1.572.

= = drg g Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. 16 Р.Д. Венгренович, А.В. Москалюк, С.В. Ярема 1-x На рис. 3 показаны результаты сравнения экспериПосле подстановки в (26) значений = + x uментальной гистограммы с распределением Лифшица– 6-3x u - 1 и g = и разложения в знамена5-3x x(5-3x) Слезова (a) и распределением (28) при x = 0.7 (b).

теле многочлена шестой степени на простые множитеАвтор работы [25] считает, что приведенная на рис. ли (26) принимает вид экспериментальная гистограмма из работы [26], соответствующая распределению по размерам нанокристаллов 4u6 + u4(6x - 3x3) - 2u3(5x - 3x2)+ CdS, априори описывается распределением Лифшица– f g(u) + 4u(3x2 - 9x + 6) - 5(3x2 - 8x + 5) Слезова. Однако, как видно из рис. 3, b, рассчитанная = - du, g(u) u(1 - u)2(u2 + au + d)(u2 + bu + p) нами кривая является более узкой и лучше охватывает (27) гистограмму, чем кривая на рис. 3, a. Это означает, A +n A -n E +m E -m где a =, b =, d =, p =, A = 2, что формирование в процессе ОС квантовых точек 2 2 2b 2a (A 2-n2)M-2A E CdS, получаемых методами химического осаждения, E = 3x2 - 7x + 4, m =, n = 2(a-b) происходит в условиях смешанной диффузии с доле = A 2 - 4B + 8 D, M = 2 D, D = 3x2 - 8x + 5, вым участием примерно 70% матричной (x = 0.7) и B = 3x2 - 6x + 3 (для проверки A = a + b, = ab + d 30% дислокационной (x = 0.3) диффузии. При этом B + p, E = ap+ bd, D = dp, 2E = A M - n M2 - 4D ).

важно, что увеличение со временем нанокристаллов CdS Проинтегрировав (27), получаем аналитический вид функции распределения по относительным размерам для любого 0 x D F 2 u5 u2 + au + d u2 + bu + p C g(u) = exp (1 - u)B 1 - u Da a E - u + 2 exp arctg, (28) a2 ad - d 4 где коэффициенты D, F, C, E, B, A и G находятся путем матричного решения (метод Гаусса) системы из семи уравнений, получаемой при интегрировании (27).

4. Обсуждение На рис. 2, a приведены кривые, соответствующие распределению по размерам (28), рассчитанные при различных значениях x. В выбранном масштабе изобразить кривую при x = 1 (распределение Лифшица–Слезова) на рисунке не представляется возможным. Поэтому она показана в другом масштабе на вставке.

Хорошо видно, что максимумы кривых, достигаемые в точке u, с ростом x уменьшаются, принимая минимальное значение для кривой x = 1. Само значение u для заданного x определяется из уравнения 4u6 + u4(6x - 3x2) - 2u3(5x - 3x2) +4u(3x2-9x + 6) - 5(3x2 - 8x + 5) u=u = 0. (29) Как видно из рис. 2, b, на котором приведены эти же кривые, нормированные на свои максимумы, с ростом x значения u сдвигаются влево, т. е. уменьшаются (см.

вставку).

В таком нормированном по координатным осям виде рассчитанные кривые на рис. 2, b удобны для сравнения Рис. 2. Распределение по размерам (28) для различных с аналогично нормированными экспериментальными ги- значений x (a), эти же распределения, нормированные на свои стограммами. максимумы (b).

Физика твердого тела, 2007, том 49, вып. Оствальдовское созревание в условиях смешанного типа диффузии подчиняется кубическому закону r t, формула (20).

Это свидетельствует, во-первых, что само распределение по размерам формируется в процессе ОС и, во-вторых, что рост нанокристаллов CdS в основном лимитируется матричной диффузией с указанным выше долевым вкладом дислокационной диффузии.

Отметим, что существует ряд массивов квантовых точек полупроводниковых соединений II-VI, получаемых методами химического осаждения, размером от до 5 nm [25], для которых распределение по размерам является более узким, чем распределение Лифшица– Слезова. Подобно тому как кристаллические решетки многих веществ обеспечиваются одновременным действием различных типов связи, рост кристаллов происходит в условиях смешанной диффузии, где может преобладать только один из ее видов (матричная, поверхностная, дислокационная, диффузия по границам зерен и т. п.).

Рис. 4. Пример случайного совпадения экспериментальной гистограммы с теоретической кривой (28) для гетерогенного зарождения нанокристаллов алюминия [29], когда стадия ОС еще не наступила: a — x = 0, b —0.4.

Следует отметить, что идея об одновременном действии нескольких механизмов массопереноса диффузии была высказана ранее в ряде работ, например, в [27,28].

Однако в аналитическом виде функция распределения частиц по размерам, когерентно сопряженных с матрицей (28), при одновременном действии двух механизмов массопереноса — диффузии вдоль дислокаций и матричной диффузии — впервые получена в настоящей работе.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.