WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

j b01( f ch(2k(d + z )) + h1 sh(2k(d + z )) = exp t - iK(x - z ), + b11 h1 ch(2k(d + z )) + f · h(2k(d + z )) где, K, Q — постоянные, Aj и H — трехэлементные j + c01 n1 ch(w1(d + z )) + p1 · sh(w1(d + z )) столбцы, имеет следующую форму:

+ c11 p1 ch(w1(d + z )) + n1 · sh(w1(d + z )) + c.c., B(u, w, p, ) =exp( t - iKx) B1(K)Aj + B2(Q)H j (22) где a0, a1, b00, b01, b10, b11, c00, c01, c10, c11 — ch dQ + B1(K)H + B2(Q)Aj sh dQ + · E(K) ;

j неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий (10)-(15), 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -2Q S + S 2S B1(K) = w0 =, w1 = 4k2 +, 0 -iK 0 ; B2(Q) = Q 0 0 ;

0 0 0 0 0 0 f = 0, j0 =, E0K -(S + S) E(K) =.

-w0 -2ik 2k p0 = 0, f = 0, h1 =, 0 -2S Всилу равенства (18) будем иметь 0 -w1 B u, w, p, + 2 = G - B u+, w+, p+, 0. (24) 2 j -2ik 2 2 2 2 2 n1 =, p1 = 0.

0 Согласно известным выражениям для величин гибкой 5в. Для большей компактности и наглядности даль- части решения (21), (22), а также (23), левая часть (24) нейших выводов представим граничные условия 2-й за- имеет вид дачи второго порядка при z = 0 (10)-(15) в матричной B u, w, p, + 2 2 форме B(u2, w2, p2, ) + 2 = G, 2 j = 2 exp (S + S)t B1(0) (b00 + b10d) f + b10 jB(u, w, p, ) + b10B2(1) f + c10B1(0) +c00B2(w0) p0 ch(dw0) 0 -1 0 u -E+ c00B1(0) +c10B2(w0) p0 sh(dw0) +a0E(0) 0 -2 w z 4 z ; = · p + Z0Y0 + 2 exp(2St - 2ikx) B1(2k)(b01 f + b11h1) 0 z x 0 0 0 + B2(2k)(b01h1 + b11 f ) ch(2dk) + B1(2k)(b01hz = + b11 f ) +B2(2k)(b01 f + b11h1) sh(2dk) 1 t + B1(2k)(c01n1 + c11p1) +B2(w1) c01p1 + c11n = +.

-g x ch(dw1) + B1(2k)(c01 p1 + c11n1) +B2(w1) -EЗдесь B — линейный оператор, — оператор умно- (c01n1 + c11p1) sh(dw1) +a1E(2k) +Z1Y1 +c.c..

жения вектора на скаляр, G задано выражением (17). (25) j Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 14 А.В. Климов, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев ik2 ikq Подставляя в правую часть выражения (24) величины R11 = 1 sh(dk) - 1 sh(dq) (17) и (19), получим 2 ikq ikq G - B(u+, w+, p+, 0) j + 2 ch(dk) - 2 ch(dq) 2 = 2 exp (S + S)t N + N ch(dk) +Uj1 sh(dk) j0 jkS212 ch(d(k + q)) - 4 S(S - 4k2) - 8k32(k - q) + N ch(dq) +Uj2 sh(dq) - B1(0)a j2 ji 2 k(k - q)S(k1 + q2 ) sh(d(k + q)) i= + 4 S(S - 4k2) - 8k32(k - q) + B2(Qi )hji ch(dQi) + B1(0)hji + B2(Qi)a ji kS212 ch d(k - d) sh(dQi) + 2 exp(2St - 2ikx) M + M + j0 j4 S(S - 4k2) - 8k32(k + q) ch(dk) +Tj1 sh(dk) +M ch d(q) +Tj2 sh(dq) j2 k(k + q)S(k1 - q2 ) sh d(k - q) + ;

4 S(S - 4k2) - 8k32(k + q) - B1(2k)g - B1(2k)g + B2(Qi)c j0 ji ji E0k2 i i=R12 = - + (S + 6k2)(q2 sh(dk) +k1 ch(dk)) 8 ch(dQi)+ B1(2k)c + B2(Qi)g sh(dQi) + c.c..

ji ji - ik(2S + 3k2) 1 ch(dq) +2 sh(dq) (26) 5г. Подставив (25) и (26) в (24), а затем собрав (S + 2k2) (S + k2) 2 коэффициенты при exp (S + S)t и exp(2St - 2ikx) и - 1 + 4 приравняв их нулю, получим уравнения для определения неизвестных постоянных am, bmn, cmn, Zm. Если к этим k 3S + 2k(3k - q) уравнениям добавить те, что получатся подстановкой + 2(3k - q) S + 2k(k + q) (18) в граничные условия (14), то получим систему линейных алгебраических уравнений, из которых по2 S12 sh d(k - q) + (k + q)(k1 - q2 ) стоянные am, bmn, cmn, Zm определяются единственным образом. Решая эту систему методом Гаусса, получим k 3S + 2k(3k + q) следующие выражения для Z0 и Z1: ch d(k - q) 2(3k + q) S + 2k(k - q) Z0 = 0; Z1 = 2kw1(8k(S + 4k2)R S12 sh d(k + q) - (k - q) + i(S + 8k2)R13 + 8k2w1SR22 ch(2dk) 2 (k1 + q2 ) ch d(k + q) ;

+ 8ik2w1SR21 sh(2dk) - 2w1S(S + 4k2) R13 = - k31 sh(dk) +k2q1 sh(dq) - k2q2 ch(dk) R22 ch(dw1) - 4ikS(S + 4k2)R21 sh(dw1) iS S + 2k(3k + q) - 2w1((S2 + 8k2S + 32k42)R11 + ik(S + k2q2 ch(dq) 82(3k + q) S + 2k(k - q) + 8k2)R13) ch(2dk) ch(dw1) +4k((S 2 (k + q)12 ch d(k + q) +(k1 + q2 ) + 16k2S + 32k42)R11 + ik(3S + 8k2)R13) iS S + 2k(3k - q) sh d(k + q) + sh(2dk) sh(dw1) - 2k2SR12 ch(2dk) sh(dw1) 82(3k - q) S + 2k(k + q) + kw1SR12 sh(2dk) ch(dw1) / ;

Z (k - q)12 ch d(k - q) 2 = S 32k2w1(S + 4k2) - 4w1(S2 + 8k2S + 32k4 - (k1 - q2 ) sh d(k - q) ;

Z ik S(S - 4k2) - 8kR21 = - 2) ch(2dk) ch(dw1) +8k(S2 + 16k2S + 32k4S(S - 8k2) k3 E0 k2ik3(S + k2) 2) sh(2dk) sh(dw1) + 2gk + 8 + 2 ;

S(S - 8k2) 4k4q 2k ch(2dk) sh(dw1) - w1 sh(2dk) ch(dw1) ; R22 = - 12. (27) S(S - 8k2) Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные капиллярно-гравитационные периодические волны на заряженной поверхности... Подставим выражения (27) в соотношение (21) для и приведем его к вещественному виду 2 = 22|Z1| exp(2ReS · t) cos(2ImS · t - 2kx + Arg Z1).

В итоге для профиля нелинейной волны получим с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде волны выражение (x, t) = exp(r · t) cos + 22|Z1| exp(2r · t) cos(2 + Arg Z1);

Q Im S · t - k · x; r Re S. (28) 6. Наиболее информативная часть полученного решения — амплитудный множитель нелинейной поправки к профилю волны Z1, который является комплексной величиной, а его вещественная и мнимая части зависят от физических параметров задачи, в том числе от толщины слоя и вязкости жидкости. Абсолютная величина, или модуль амплитудного множителя нелинейной поправки |Z1|, характеризует интенсивность внутреннего нелинейного взаимодействия между линейным по амплитуде слагаемым в выражении (28) для профиля волны и квадратичным по слагаемым. Рис. 1. Зависимости абсолютной величины амплитудного При аналитическом исследовании нелинейных волн множителя нелинейной поправки к профилю волны Z1 (a) и отношения мнимой и действительной частей Z1(b) от вязкости на поверхности жидкости часто обращают внимание на для коротких волн длиной = 0.1 cm при больших значениях профиль бегущей волны. При этом оцениваются такие толщины слоя: d = 4 (1), 0.4 (2), 0.25 (3), 0.2 (4).

величины, как заостренность гребня волны и его наклон, которые также определяются множителем Z1. Так, модуль |Z1| является мерой отличия формы профиля нелинейной волны от точной косинусоидальной формы.

С ростом |Z1| у капиллярных волн, имеющих притупленные вершины, радиус кривизны вершин еще больше увеличивается, а для гравитационных волн, отличающихся от капиллярных волн более заостренными вершинами, радиус их кривизны уменьшается, т. е. увеличивается степень их заострения.

Величина отношения Im (Z1)/Re (Z1), характеризующая аргумент комплексной величины Z1, характеризует и степень наклона профиля волны по сравнению с симметричной косинусоидальной формой: если Im (Z1)/Re (Z1) < 0, то профиль наклонен по направлению движения волны, а если Im (Z1)/Re (Z1) > 0, то в противоположную сторону.

На рис. 1-6 показаны зависимости абсолютного значения |Z1| и величины отношения Im (Z1)/Re (Z1) от динамической вязкости жидкости при E0 = 0 и различных значениях толщины слоя жидкости, в качестве которой берется вода ( = 0.998 g/cm3, = 72.8 dyne/cm, g = 981 cm/s2). Известно, что капиллярные волны на поверхности глубокой идеальной жидкости имеют притупленные гребни. Из рис. 1 видно, что в слое жидкости конечной толщины с ростом вязкости жидкости вершиРис. 2. Зависимости абсолютной величины Z1 (a) и отношения ны таких волн заостряются и, кроме того, появляется мнимой и действительной частей Z1(b) от вязкости для коротнаклон в сторону, обратную движению волны, котоких волн длиной = 0.1 cm при малых значениях толщины рый увеличивается с ростом вязкости. C уменьшением слоя: d = 0.1 (1), 0.095 (2), 0.09 (3), 0.085 (4).

толщины слоя имеет место обратный эффект: гребни Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 16 А.В. Климов, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев волн увеличивается, а наклон уменьшается и при значениях 0.2 изменяется в противоположную сторону.

Влияние вязкости таково, что заостренность гребней уменьшается с ее ростом, а их наклон увеличивается.

Похожие зависимости имеют место и для малых толщин слоя жидкости 0.05 (рис. 5–6) с той разницей, что вязкость жидкости не уменьшает, а увеличивает заостренность гребней волн.

Влияние электрического заряда на закономерности реализации волнового движения в вязкой жидкости ранее рассматривалось для волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости [5–6] и в основном сводится к измеРис. 3. Зависимости абсолютной величины Z1 от вязкости для нению положений внутренних нелинейных резонансов, волн длиной = 30 cm при больших значениях толщины слоя:

не рассматриваемых в настоящей постановке (хотя из d = 4 (1), 0.73 (2), 0.63 (3), 0.58 (4).

структуры выражения (27) видно, что резонансное взаимодействие волн должно иметь место и будет зависеть как от вязкости, так и от толщины слоя жидкости), и к изменению кривизны гребней волн. В качественном отношении все ранее отмеченные закономерности влияния электрического заряда на условия реализации волнового движения в вязкой жидкости, обнаруженные для волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости, сохраняются и для слоев жидкости конечной толщины.

Анализ же влияния заряда на волновое движение в тонких d 0.1 и толстых d 0.1 слоях жидкости Рис. 4. Зависимости отношения мнимой и действительной частей Z1 от вязкости для волн длиной = 30 cm при больших значениях толщины слоя: d = 4 (1), 0.33 (2), 0.23 (3), 0.19 (4), 0.17 (5).

волн притупляются, а их наклон в сторону, обратную движению волны, исчезает. Уменьшение толщины слоя до 0.1, где — длина волны, приводит к изменению качественного хода указанных зависимостей: с ростом Рис. 5. Зависимости абсолютной величины Z1 от вязкости вязкости радиус кривизны гребней волн увеличивается для волн длиной = 30 cm при малых значениях толщины (рис. 2), а зависимость наклона гребней от вязкости при слоя: d = 5 · 10-2 (1), 4.93 · 10-2 (2), 4.87 · 10-2 (3), столь малой глубине слоя жидкости имеет немонотон4.8 · 10-2 (4).

ный вид. Во-первых, в отличие от глубокой жидкости в обсуждаемой ситуации имеет место наклон в сторону движения волны, во-вторых, с ростом вязкости этот наклон увеличивается до определенного значения, а затем начинает уменьшаться и изменяет свой знак.

Несколько иной характер имеют аналогичные зависимости для коротких гравитационных волн: в толстых d 0.1 и в тонких d 0.1 слоях жидкости обсуждаемые зависимости имеют качественно сходный вид, но интенсивность нелинейного взаимодействия в толстых слоях на два-три порядка меньше, чем для капиллярных волн, тогда как в тонких слоях она имеет тот же порядок величины, что и у капиллярных волн (рис. 3-6).

Гребни гравитационных волн на поверхности слоя Рис. 6. Зависимости отношения мнимой и действительной жидкости с глубиной порядка длины волны заострены частей Z1 от вязкости для волн длиной = 30 cm при малых и имеют слабый наклон в сторону движения волны.

значениях толщины слоя: d = 5.67 · 10-2 (1), 5.17 · 10-2 (2), С уменьшением толщины слоя заостренность вершин 4.83 · 10-2 (3), 4.67 · 10-2 (4).

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Нелинейные капиллярно-гравитационные периодические волны на заряженной поверхности... требует отдельного детального рассмотрения на основе [10] Ильичев А.Т. // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 2. С. 3–27.

[11] Крылов В.С., Воротилин В.П., Левич В.Г. // ТОХТ. 1969.

расчетов с учетом поправок более высоких порядков Т. 3. № 4. С. 499–507.

малости и будет выполнено позднее.

[12] Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., БелоЧто касается закономерностей затухания нелинейных ножко Д.Ф. // ЖТФ. 1997. Т. 67. Вып. 8. С. 27–33.

капиллярно-гравитационных волн в вязкой жидкости [13] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.:

конечной толщины, то, согласно (28), они в использоГИФМЛ., 1959. 699 с.

ванном квадратичном по амплитуде волны приближении полностью определяются введенным в линейной теории декрементом затухания [13], который характеризуется вещественной компонентой комплексной частоты r = Re (S). Как видно из (28), нелинейная, квадратичная по амплитуде волны, компонента полного решения убывает во времени с удвоенным декрементом по сравнению с линейной частью решения. Зависимость же величины декремента затухания от вязкости и толщины слоя жидкости была подробно исследована ранее в [12], где, в частности, было показано, что толщина слоя жидкости сказывается на величине декремента только в тонких слоях жидкости при d /. При d затухание на дне практически не влияет на временную эволюцию амплитуды волны, которая полностью определяется затуханием в объеме жидкости.

Заключение Как для капиллярных, так и для гравитационных волн зависимости степени кривизны и наклона гребней волн от вязкости имеют различный вид в толстых d 0.1 и тонких d 0.1 слоях жидкости, что указывает на существование качественных различий волновых движений в тонких и толстых слоях жидкости. Сказанное оправдывает традиционно сложившееся существенное различие в методах исследования так называемых длинных (по сравнению с глубиной) и коротких волн на поверхности вязкой жидкости.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (грант № 03-01-00760).

Список литературы [1] Зубарев Н.М. // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. Вып. 6 (12). С. 1990– 2005.

[2] Зубарев Н.М., Зубарева О.В. // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып. 7.

С. 21–29.

[3] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // Изв. РАН. МЖГ. 2003.

№6. С. 102–109.

[4] Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ.

2004. Т. 74. Вып. 1. С. 32–39.

[5] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2003. Т. 73.

Вып. 11. С. 37–46.

[6] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004. Т. 74.

Вып. 3. С. 5–13.

[7] Жакин А.И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 3. С. 94–102.

[8] Gonzalez A., Castellanos A. // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49.

N 4. P. 2935–2940.

[9] Gonzalez A., Castellanos A. // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53.

N 4. P. 3573–3578.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.